1、人教版九年级数学上册期中考试试卷人教版九年级数学上册期中考试试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，没有 实数根的是（ ） A. 2 20 xx B. 2 440 xx C. 2 (2)30 x D. 2 320 x 3. 已知O的半径为 4cm，点 P在O上，则 OP的长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm 4. 在平面直角坐标系中，抛物线( 5)(3)yxx 经过变换后得到抛物线(3)(5)yxx，则这个变换 可以是（ ） A. 向左
2、平移 2 个单位 B. 向右平移 2个单位 C. 向左平移 8个单位 D. 向右平移 8 个单位 5. 已知：如图， O的两条弦 AE、BC相交于点 D，连接 AC、BE，若ACB50 ，则下列结论中正确的 是（ ） A. AOB50 B. ADB50 C. AEB30 D. AEB50 6. 已知二次函数 2 3yaxbx自变量 x部分取值和对应函数值 y如下表： 则下列说法正确的是 （ ） x -2 -1 0 1 2 3 y 5 0 -3 -4 -3 0 A. 抛物线开口向下 B. 对称轴直线0 x C. 在对称轴左侧 y随 x 的增大而减小 D. 一元二次方程 2 35axbx （a 为
3、常数，且0a）的根为2x 7. 如图， 将RtABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90 后得到RtDEC， 连接AD， 若B55 ， 则ADE 等于( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是 16m，跨度为 40m，现把它的示意图（如图）放在坐标 系中，则抛物线的解析式为（ ） A. 2 15 252 yxx B. 18 255 x yxx C. 2 51 825 yxx D. 2 18 16 255 yxx 9. 如图抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴为直线2x，与 x 轴一个交点在( 3,0) 和( 4,0)之间， 其部分
4、图象如图所示则下列结论：40ab ；0c；30ac ； 2 42abatbt （t 为实数） ； 点 1 9 , 2 y ， 2 5 , 2 y ， 3 1 , 2 y 是该抛物线上的点， 则 123 yyy 正确的个数有 （ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 在 x 轴上，点 C 的坐标为（1，0） ，AC=2将 RtABC 先绕 点 C 顺时针旋转 90 ，再向右平移 3 个单位长度，则变换后点 A 的对应点坐标是（ ） A. （2，2） B. （1，2） C. （1，2） D. （2，1） 二、填空题（每小题二、填空
5、题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 如果抛物线 y=ax2+bx+c 经过(2，3)、(4，3)，那么抛物线的对称轴是_ 12. 在平面直角坐标系中，点 A（-5，b)关于原点对称的点为 B（a，6） ，则(a+b)2019=_ 13. 已知点 1 ( 3,)Ay ， 2 (2,)By， 3 (3,)Cy在抛物 2 24yxxc上， 则 1 y， 2 y， 3 y的大系是_ 14. 如图，在四边形 ABCD中，AB=AD，BAD=BCD=90 ，连接 AC若 AC=6，则四边形 ABCD的面 积为_ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x22x+4上运动过点A作
6、ACx轴于点C，以AC为对角 线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_ 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16. 解方程： （1） 2 320 xx （2）3 ( 1)22x xx 17. 在平面直角坐标系中，ABCV的位置如图所示， （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABCV沿 x轴方向向左平移 6个单位长度，画出平移后得到 111 A B C ； （2）将ABCV绕着点 A顺时针旋转 90 ，画出旋转后得到的 22 AB C，并直接写出点 2 B， 2 C的坐标 18. 关于 x 的二次函数 2 4()28yaxx与 x轴有交点 （1）求 a
7、的取值范围； （2）当3a 时，求抛物线与 x轴两个交点间的距离 19. 如图，已知 Rt ABC中，ABC=90 ，先把 ABC 绕点 B 顺时针旋转 90 至 DBE 后，再把 ABC沿射 线平移至 FEG，DF、FG相交于点 H （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连结 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形 20. 如图，在Oe中，AB为直径，点 M 为AB延长线上的一点，MC与 Oe相切于点 C，圆周上有另一 点 D 与点 C分居直径AB两侧，且使得MCMDAC，连接AD 求证：MD与Oe相切； 四边形ACMD是_形； ADM_ 21. 某商场销售某种商品每件
8、的标价是 80元，若按标价的八折销售，仍可盈利 60%，市场调查发现：在 以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出 220 件，该种商品每降价 1元，每星期可多卖 20 件设每件商品降价 x元（x为整数） ，每星期的利润为 y元 （1）求该种商品每件的进价为多少元； （2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形OABC的顶点 A、C 分别在 y轴、x轴的正半轴上，点 O 在原点现将正方形OABC绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为，当点 A 第一次落在直线y x 上时 停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x 于
9、点 M，BC边交 x轴于点 N （1）若30时，求点 A的坐标； （2）设MBN周长为 P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论； 23. 已知在 RtOAB 中，OAB=90 ，BOA=30 ，OA=2 3，若以 O为坐标原点，OA所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一象限内，将 RtOAB沿 OB折叠后，点 A 落在第一象限 内的点 C 处 （1）求经过点 O，C，A三点的抛物线的解析式 （2）若点 M是抛物线上一点，且位于线段 OC的上方，连接 MO、MC，问：点 M 位于何处时三角形 MOC 的面积最大？并求出三角形 MOC 的最大面
10、积 （3）抛物线上是否存在一点 P，使OAP=BOC？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明 理由 人教版九年级数学上册期中考试试卷人教版九年级数学上册期中考试试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐一对所给图形进行判断即可 【详解】根据中心对称图形的定义，逐一对所给图形进行判断即可 解：A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选
11、项错误 故选 A 【点睛】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图形重合 充 分理解中心对称图形的概念是此类题目的解题关键，注意与轴对称图形的区别 2. 下列一元二次方程中，没有 实数根的是（ ） A. 2 20 xx B. 2 440 xx C. 2 (2)30 x D. 2 320 x 【答案】D 【解析】 【分析】先将各项一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程根的判别式情况即得 详解】A选项 2 24 1 040 ，则 A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项16+16320 ，则 B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程
12、的一般式为： 2 410 xx ， 则= 1 6 4 = 1 2 0， 则 C选项有两个不等实数根， 不符合题意； D 选项方程=0 4 3 2240 ，则 D选项没有实数根，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项 系数， 根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：0 ， 一元二次方程有两个不相等的实数根；=0， 一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根 3. 已知O的半径为 4cm，点 P在O上，则 OP的长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据
13、圆的半径的定义即可得出. 【详解】点 P 在Oe上， OP 是Oe的半径， Oe的半径为 4cm， OP =4cm， 故选 C. 【点睛】本题主要考查圆的半径的定义，熟知定义即可. 4. 在平面直角坐标系中，抛物线( 5)(3)yxx 经过变换后得到抛物线(3)(5)yxx，则这个变换 可以是（ ） A. 向左平移 2 个单位 B. 向右平移 2个单位 C. 向左平移 8个单位 D. 向右平移 8 个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律 【详解】y=（x+5） （x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16） y=（x+3） （x-5）=（x
14、-1）2-16，顶点坐标是（1，-16） 所以将抛物线 y=（x+5） （x-3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y=（x+3） （x-5） ， 故选 B 【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 5. 已知：如图， O两条弦 AE、BC 相交于点 D，连接 AC、BE，若ACB50 ，则下列结论中正确的 是（ ） A. AOB50 B. ADB50 C. AEB30 D. AEB50 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理知，AEB=C=50，AOB=2C=100，ADB=C+CADC=50， 所以只有 D正确 【详解】解：ACB=50，
15、 AEB=ACB=50， AOB=2ACB=100， ADB=ACB+CADACB=50，故只有 D正确 故选：D 【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆 心角的一半 6. 已知二次函数 2 3yaxbx自变量 x的部分取值和对应函数值 y如下表： 则下列说法正确的是 （ ） x -2 -1 0 1 2 3 y 5 0 -3 -4 -3 0 A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是直线0 x C. 在对称轴左侧 y随 x 的增大而减小 D. 一元二次方程 2 35axbx （a 为常数，且0a）的根为2x 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格
16、数据代入解析式即可求得 a、b的值，再根据解析式与图形关系逐一判断即可 【详解】由表格数据可知 当1x时， 0y ， 当1x 时， 4y ， 代入 2 3yaxbx， 则 30 34 ab ab ， 解得 1 2 a b ， 故二次函数解析式为： 2 23yxx， 0a，抛物线开口向上，故 A选项错误； 对称轴 2 1 21 2 b a ，故 B 选项错误； 当2x时，5y ，当1x时， 0y ，故 C 选项正确； 2 235xx，解得 1 2x 、 2 4x ，故 D选项错误 故选 C 【点睛】本题主要考查了二次函数 2 +yaxbx c的性质熟练掌握二次函数系数与图形的关系、对称轴 的表达
17、式、二次函数图形变化趋势以及二次函数与一元二次方程的关系是解答此类题目的关键 7. 如图， 将RtABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90 后得到RtDEC， 连接AD， 若B55 ， 则ADE 等于( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得 AC=CD，CED=B，再判断出ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰 直角三角形的性质求出CAD=45， 然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算 即可得解 【详解】解：RtABC绕其直角顶点 C按顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC， AC=CD，CED=B=55， A
18、CD是等腰直角三角形， CAD=45， 由三角形的外角性质得，ADE=CED-CAD=55-45=10 故选：B 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和的性质，解题关键是熟记各性质并准确识图 8. 有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是 16m，跨度为 40m，现把它的示意图（如图）放在坐标 系中，则抛物线的解析式为（ ） A. 2 15 252 yxx B. 18 255 x yxx C. 2 51 825 yxx D. 2 18 16 255 yxx 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题 【
19、详解】由图可知该抛物线开口向下，对称轴为 x20， 最高点坐标为（20，16） ，且经过原点， 由此可设该抛物线解析式为 2 2016ya x， 将原点坐标代入可得400160a， 解得：a 1 25 ， 故该抛物线解析式为 y 21 2016 25 x 2 18 255 xx 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等难度不大，找到顶点坐标设出 顶点式是解题关键 9. 如图抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴为直线2x，与 x 轴一个交点在( 3,0) 和( 4,0)之间， 其部分图象如图所示则下列结论：40ab ；0c；30ac ； 2 42abatb
20、t （t 为实数） ； 点 1 9 , 2 y ， 2 5 , 2 y ， 3 1 , 2 y 是该抛物线上的点， 则 123 yyy 正确的个数有 （ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线解析式以及二次函数图像性质分别判断每个结论即可求解 【详解】Q 抛物线对称轴 2 b x a 2， 4ba， 即：40ab ，故正确； Q抛物线的对称轴为直线2x，与 x 轴一个交点在( 3,0)和( 4,0)之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在（1，0）和（0，0）之间， 抛物线与 y轴的交点在 y轴的下方， 0c，故正确； 当1x时， 0yabc
21、 ， 又4baQ， 则=430a b c aacac ，故正确； 当2t 时， 2 42ab=atbt，故错误； Q 抛物线的对称轴 2 b x a 2， 3 1 , 2 y 3 7 , 2 y ， 又Q抛物线的开口向下，点 2 5 , 2 y 到对称轴的距离比点 3 7 , 2 y 近，点 3 7 , 2 y 到对称轴的距离比 点 1 9 , 2 y 近， 132 yyy，故错误； 综上分析可知：正确的为、，共 3个 故选 B 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型 10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，C
22、 在 x 轴上，点 C 的坐标为（1，0） ，AC=2将 RtABC 先绕 点 C 顺时针旋转 90 ，再向右平移 3 个单位长度，则变换后点 A 的对应点坐标是（ ） A. （2，2） B. （1，2） C. （1，2） D. （2，1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点 A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可 【详解】点 C的坐标为（1，0），AC=2， 点 A的坐标为（3，0）， 如图所示， 将 RtABC先绕点 C 顺时针旋转 90 ， 则点 A的坐标为（1，2）， 再向右平移 3个单位长度，则变换后点 A的对应点坐标为（2，2）， 故选 A 【点睛】本
23、题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 如果抛物线 y=ax2+bx+c 经过(2，3)、(4，3)，那么抛物线的对称轴是_ 【答案】x=1 【解析】 【分析】根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴 【详解】解：由抛物线 y=ax2+bx+c 经过（-2，-3） 、 （4，-3） ，得 （-2，-3） 、 （4，-3）关于对称轴对称， 即对称轴过（-2，-3） 、 （4，-3）的中点， x= 2 4 1 2 - + =， 故答案为：x=1 【点睛】本题考查了
24、二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴 12. 在平面直角坐标系中，点 A（-5，b)关于原点对称的点为 B（a，6） ，则(a+b)2019=_ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于原点对称点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得 a，b，再根据负数的奇数次幂是负 数，可得答案 【详解】解：点 A（-5，b）关于原点对称的点为 B（a，6） ，得 a=5，b=-6 （a+b）2019=（-1）2019=-1， 故答案为：-1 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点， 横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称
25、的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的 点，横坐标与纵坐标都互为相反数 13. 已知点 1 ( 3,)Ay ， 2 (2,)By， 3 (3,)Cy在抛物 2 24yxxc上， 则 1 y， 2 y， 3 y的大系是_ 【答案】 2 y 3 y 1 y 【解析】 【分析】根据 2 24yxxc，可知对称轴1x ，抛物线开口向上，再根据二次函数的图像的性质，即 可比较 1 y， 2 y， 3 y的大小关系 【详解】 2 24yxxcQ， 抛物线的对称轴为直线 1x ， 1 ( 3,)Ay 1 (5,)y， Q 抛物线的开口向上，而点 2 (2,)By到对称轴的距离比 3 (3,)Cy
26、近，点 3 (3,)Cy到对称轴的距离比 1 (5,)y 近， 2 y 3 y 1 y 故答案为： 2 y 3 y 1 y 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练 地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键 14. 如图，在四边形 ABCD中，AB=AD，BAD=BCD=90 ，连接 AC若 AC=6，则四边形 ABCD的面 积为_ 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析：如图，作 AMBC、ANCD，交 CD 的延长线于点 N； BAD=BCD=90 ，四边形 AMCN 为矩形，MAN=90 ； BAD=90 ，BAM=DAN； 在 A
27、BM 与 ADN 中，BAM=DAN，AMB=AND，AB=AD，ABMADN（AAS） ， AM=AN（设为 ） ； ABM 与 ADN 的面积相等； 四边形 ABCD 的面积=正方形 AMCN 的面积； 由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而 AC=6； 22=36，2=18，故答案为 18 考点：全等三角形的判定与性质 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x22x+4上运动过点A作ACx轴于点C，以AC为对角 线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_ 【答案】3 【解析】 【详解】四边形 ABCD是矩形， BD=AC，即当 AC最小时，BD 就最小； 在抛物线
28、 22 24(1)3yxxx中，顶点（1，3）距离x轴最近， 当点 A 运动到抛物线的顶点时，AC 最短为 3， BD的最小值为 3. 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16. 解方程： （1） 2 320 xx （2）3 (1) 22x xx 【答案】 （1） 12 1,2xx， （2） 12 2 1, 3 xx 【解析】 【分析】 （1）直接根据十字相乘法因式分解即可求解； （2）直接根据提公因式法因式分解即可求解 【详解】解： （1） 2 320 xx x 1 x20 x 10 或x20 解得： 12 1,2xx （2）3 (1)22x xx 3x x 12 x 1 x 1
29、3x20 x 10 或3x20 解得： 12 2 1, 3 xx 【点睛】此题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键 17. 在平面直角坐标系中，ABCV的位置如图所示， （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABCV沿 x轴方向向左平移 6个单位长度，画出平移后得到的 111 A B C ； （2）将ABCV绕着点 A顺时针旋转 90 ，画出旋转后得到的 22 AB C，并直接写出点 2 B， 2 C的坐标 【答案】 （1）答案见解析； （2）答案见解析，点 B2（4，2） ，C2（1，3） 【解析】 【分析】（1） 利用点平移的规律找到点
30、 A、 B、 C 的对应点 A1、 B1、 C1的坐标， 然后依次描点即可得到A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C的对应点 B2、C2，从而得到AB2C2，再写出点 B2、C2的坐 标即可 【详解】 （1）如图，A1B1C1即为所求； （2）如图，AB2C2即为所求，点 B2（4，2） ，C2（1，3） 【点睛】本题主要考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也 相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后 的图形也考查了平移变换 18. 关于 x 的二次函数 2 4()28yaxx与 x
31、轴有交点 （1）求 a的取值范围； （2）当3a 时，求抛物线与 x轴两个交点间的距离 【答案】 （1）a6且 a2； （2）4 3 【解析】 【分析】 （1）利用判别式、二次函数概念判断； （2）利用一元二次方程根与系数的关系计算 【详解】解： （1）二次函数 y=（a-2）x2-8x+4与 x 轴有交点， 82-4 （a-2） 4=-16a+960，a-20， 解得，a6且 a2； （2）当 a=3时，二次函数为：y=x2-8x+4， 设抛物线与 x轴两个交点的坐标为（x1，0） 、 （x2，0） ， 则 x1+x2=8，x1x2 =4， 2 12212 1 464 164 3xxxxx
32、x 【点睛】本题考查的是抛物线与 x轴的交点，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解 题的关键 19. 如图，已知 Rt ABC中，ABC=90 ，先把 ABC 绕点 B 顺时针旋转 90 至 DBE 后，再把 ABC沿射 线平移至 FEG，DF、FG相交于点 H （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连结 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形 【答案】 （1）FGED，理由详见解析； （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由旋转及平移的性质可得到DEB+GFE=90，可得出结论； （2）由旋转和平移的性质可得 BE=CB，CGBE，从而可证明四边形
33、CBEG 是矩形，再结合 CB=BE可证 明四边形 CBEG是正方形 【详解】 （1）FGED 理由如下： ABC绕点 B顺时针旋转 90 至 DBE后， DEB=ACB， 把 ABC 沿射线平移至 FEG， GFE=A， ABC=90 ， A+ACB=90 ， DEB+GFE=90 ， FHE=90 ， FGED； （2）根据旋转和平移可得GEF=90 ，CBE=90 ，CGEB，CB=BE， CGEB， BCG=CBE=90 ， BCG=90 ， 四边形 BCGE是矩形， CB=BE， 四边形 CBEG 是正方形 【点睛】本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋
34、转或平移前后，对 应角、对应边都相等 20. 如图，在Oe中，AB为直径，点 M 为AB延长线上的一点，MC与 Oe相切于点 C，圆周上有另一 点 D 与点 C分居直径AB两侧，且使得MCMDAC，连接AD 求证：MD与Oe相切； 四边形ACMD是_形； ADM_ 【答案】见解析；菱；120 【解析】 【分析】通过连接两条半径构建全等三角形，利用切线的判定即可证明MD与Oe相切；通过证明 ACMADM可得四边相等，根据菱形的判定即可求解； 通过等腰三角形的性质可得 CAMACM，ACOCAO，再根据切线的性质可得30CAOCMA，再根据菱形的性 质即可求解 【详解】 解：证：连接 OC，OD
35、在OCM和ODM中 OCOD CMDM OMOM ， OCMODM， =OCMODM， QMC是Oe 的切线， =90OCMODM， MD与Oe相切； 由可知：CMODMO， 又CMDM，AMAM， ACMADM， ACAD， ACADCMMD， 四边形ACMD是菱形； 故答案为：菱； AMCM，OCOD， CAMACM，ACOCAO， COMCAOACO， 22COMCAOCMA ， MD与Oe相切， 90OCM， 30CAOCMA， 又ACMD是菱形， 260CADCAM ， 120ADM， 故答案为：120 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、圆的切线的性质与判定、菱形的判定与
36、性质、以及切 线长定理等切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分这两条切线的夹角此类题目综合性较强，熟练掌握每个知识点是解题关键 21. 某商场销售的某种商品每件的标价是 80 元，若按标价的八折销售，仍可盈利 60%，市场调查发现：在 以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出 220 件，该种商品每降价 1元，每星期可多卖 20 件设每件商品降价 x元（x为整数） ，每星期的利润为 y元 （1）求该种商品每件的进价为多少元； （2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】 （1）40 元； （2）售价为 57 或
37、58元时，最大利润为 6120 元 【解析】 【分析】 （1）设成本为 m元，根据题意得：80 0.8-m=0.6m，即可解答； （2）根据题意得到 y=（80 0.8-x-40） （220+20 x）=-20 x2+260 x+5280=-20（x-6.5）2+6125，利用二次函数的 性质，即可解答； 【详解】解： （1）设成本为 m元，根据题意得： 80 0.8-m=0.6m 解得：m=40， 该种商品每件的进价为 40 元； （2）y=（80 0.8-x-40） （220+20 x）=-20 x2+260 x+5280=-20（x-6.5）2+6125， 当 x=6.5时，y最大， x
38、为整数， x1=7，x2=6， 当 x=6 或 7时，y最大为 6120元 80 0.8-7=57（元） ，80 0.8-6=58（元） ， 当售价为 57 元或 58 元时，每星期的利润最大最大值为 6120元 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式 22. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形OABC的顶点 A、C 分别在 y轴、x轴的正半轴上，点 O 在原点现将正方形OABC绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为，当点 A 第一次落在直线y x 上时 停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x 于点 M，BC边交 x轴于点 N （1
39、）若30时，求点 A的坐标； （2）设MBN的周长为 P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论； 【答案】 （1） （2，2 3） ； （2）不变 【解析】 【详解】解： （1）如图 1，过 A作 ADy 轴，交 y轴于点 D ADy轴，30，正方形OABC的边长是 4 AD=2，OD=2 3 A 的坐标是（2，2 3） （2）P 值无变化 证明：延长 BA交 y轴于 E点 （如图 2） 在OAE 与OCN中90? AOECON OAEOCN OAOC OAEOCN（AAS） OE=ON，AE=CN 在OME 与OMN中45? OEON MOEMON OMOM ， O
40、MEOMN（SAS） MN=ME=AM+AE， MN=AM+CN， P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8 在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值无变化 【点睛】此题主要考查了一次函数的综合应用、全等三角形的判定与性质等知识，利用图形旋转的变化规 律得出对应边之间关系是解题关键 23. 已知在 RtOAB 中，OAB=90 ，BOA=30 ，OA=2 3，若以 O为坐标原点，OA所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一象限内，将 RtOAB沿 OB折叠后，点 A 落在第一象限 内的点 C 处 （1）求经过点 O，C，A三点的抛物线的解析式 （2）
41、若点 M是抛物线上一点，且位于线段 OC的上方，连接 MO、MC，问：点 M 位于何处时三角形 MOC 的面积最大？并求出三角形 MOC 的最大面积 （3）抛物线上是否存在一点 P，使OAP=BOC？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明 理由 【答案】 （1）y=x2+2 3x； （2） 3 3 3 , 28 , 3 3 8 ； （3）存在，P( 3 3 ， 5 3 )或( 3 3 ， 7 3 ) 【解析】 【分析】 （1）根据折叠的性质可得 OC=OA，BOC=BAO=30，过点 C 作 CDOA 于 D，求出 OD、 CD，然后写出点 C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析
42、式解答； （2）求出直线 OC的解析式，根据点 M 到 OC的最大距离时，面积最大；平行于 OC的直线与抛物线只有 一个交点，利用根的判别式求出 m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）分两种情况求出直线 AP 与 y轴的交点坐标，然后求出直线 AP 的解析式，与抛物线解析式联立求解即 可得到点 P 的坐标 【详解】解： （1）RtOAB沿 OB折叠后，点 A落在第一象限内的点 C处， OC=OA=2 3，BOC=BAO=30 ， AOC=30 +30 =60 ， 过点 C作 CDOA 于 D， 则 OD= 1 2 2 3=3， CD=2 3 3 2 =3， 所以，顶点 C 的坐标为（
43、3，3） ， 设过点 O，C，A抛物线的解析式为为 y=ax2+bx， 则 2 2 ( 3)33 (2 3)2 30 ab ab ， 解得： 1 2 3 a b ， 抛物线的解析式为 y=x2+2 3x； （2）C（ 3，3） ， 直线 OC的解析式为：3yx， 设点 M 到 OC的最大距离时，平行于 OC的直线解析式为3yxm， 联立 2 3 2 3 yxm yxx ， 消掉未知数 y并整理得， 2 30 xxm ， =（3）2-4m=0， 解得：m= 3 4 2 3 30 4 xx， 3 2 x ； 点 M 到 OC的最大距离= 3 4 sin30= 313 428 ； 22 ( 3)32
44、 3OC ， 133 3 2 3 288 MOC S； 此时，M 3 3 3 , 28 ，最大面积为 3 3 8 ； （3）OAP=BOC=BOA =30 ， 3 2 32 3 ， 直线 AP 与 y轴的交点坐标为（0，2）或（0，2） ， 当直线 AP 经过点（2 3，0） 、 （0，2）时，解析式为 3 2 3 yx ， 联立 2 2 3 3 2 3 yxx yx ， 解得 1 1 2 3 0 x y ， 2 2 3 3 5 3 x y 所以点 P 的坐标为（ 3 3 ， 5 3 ） ， 当直线 AP 经过点（2 3，0） 、 （0，2）时，解析式为 3 2 3 yx， 联立 2 2 3 3 2 3 yxx yx 解得 1 1 2 3 0 x y ， 2 2 3 3 7 3 x y ； 所以点 P 的坐标为（ 3 3 ， 7 3 ） 综上所述，存在一点 P（ 3 3 ， 5 3 ）或（ 3 3 ， 7 3 ） ，使OAP=BOA 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数 解析式求交点的方法， （2）判断出点 M到 OC 的距离最大是，平行于 OC 的直线与抛物线只有一个交点是 解题的关键， （3）确定出直线 AP 的解析式是解题的关键