1、必考部分 第七章第七章 立体几何立体几何 第二讲 空间几何体的表面积与体积 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积 侧面积 体积 圆柱 S 侧2rh V_r2h 圆锥 S 侧_ V1 3S 底 h1 3r 2h1 3r 2 l2r2 圆台 S 侧(r1r2)l V1 3(S 上S下 S上 S下) h1 3(r 2 1r 2 2r1r2)h S底 h rl 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 侧面积 体积 直棱柱 S
2、 侧_ V_ 正棱锥 S 侧1 2ch V1 3S 底h 正棱台 S 侧1 2(cc)h V1 3(S 上S下 S上 S下)h 球 S 球面_ V4 3R 3 ch S底h 4R2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点二 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_、_、 _；它们的表面积等于_与底面面积之和 各面面积之和 矩形 扇形 扇环形 侧面积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 1长方体的外接球： 球心：体对角线的交点；半径：r_(a，b，c为长方体 的长、宽、高) 2正方体的外
3、接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r_(a为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r_(a为正方体的棱长)； (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r_(a为 正方体的棱长) a2b2c2 2 3 2 a a 2 2 2 a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 3正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部 分)： (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r_(a为正四面体的 棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r_(a为正四面体的 棱长) 6 4 a 6 12 a 返回导航 高考一
4、轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和 ( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 ( ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的棱长为 a，则 R 3 2 a. ( ) (5)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆 柱的侧面积是 2S. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组二 走进教材 2 (必修 2P27
5、T1)已知圆锥的表面积等于 12 cm2， 其侧面展开图是一 个半圆，则底面圆的半径为 ( ) A1 cm B2 cm C3 cm D3 2 cm B 解析 由条件得： rlr212 2r l ，3r212，r2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组三 走向高考 3(2020 天津卷)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则 该球的表面积为 ( ) A12 B24 C36 D144 C 解析 这个球是正方体的外接球， 其半径等于正方体的体对角线长 的一半，即 R 2 322 322 32 2 3，所以，这个球的表面积为 S4R243236.故选：C 返回导
6、航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 4(2018 课标全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2， 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱 的表面积为 ( ) A12 2 B12 C8 2 D10 B 解析 设圆柱底面半径为 r，则 4r28，即 r22.S 圆柱表面积2r2 4r212. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 5(2020 浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何 体的体积(单位：cm3)是 ( ) A7 3 B14 3 C3 D6 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
7、第七章 立体几何 解析 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是 三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面棱锥的高为 1，棱柱的底面为 等腰直角三角形，棱柱的高为 2，所以几何体的体积为： 1 3 1 221 1 1 221 2 1 32 7 3.故选：A 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点一 几何体的表面积自主练透 例例 1 (1)(2021 北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱 锥的表面积是 ( ) A2 5 B4 5 C22 5 D5 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(20
8、21 安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格 纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为 ( ) A789 2 B789 4 C78 D459 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)(多选题)(2021 山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为 1，现将 该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为 ( ) A 2 B(1 2) C2 2 D(2 2) AB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角 形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA平面 ABC)， 如图
9、所示，由三视图中的数据可计算得 SABC1 222 2，SSAC1 2 51 5 2 ，SSAB1 2 51 5 2 ，SSBC 1 22 5 5，所以 S 表面积22 5.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个1 8球，如图所示 S33235427 4 9 2 789 4.故选 B (3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是 圆锥，其表面积为 2；若绕斜边旋转一 周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为 2，故选 A、 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 空间几何体表面积的求法
10、(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接 部分的处理 (3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间 几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面 积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练 1 (2020 河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中 标出的数据，可得出这个几何体的表面积是 ( ) A6 B84 6 C42 6 D4 6 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 由三视图得几何体如图所示，该几何体是
11、一个三棱锥，底面 是一个底和高均为 2 的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为 2 的等 腰三角形， 另外两个侧面是腰长为 ACAB 2212 5， 底边 AD 长为 2 2的等腰三角形， 其高为 52 22 3， 故其表面积为 S21 22 221 22 2 342 6. 故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点二 几何体的体积师生共研 例例 2 (1)(2021 浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图 (单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm3. ( ) A 6 1 3 B 3 1 6 C 6 1 6 D 3 1 3 A 返回导航 高考一
12、轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2021 云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为 2 的正方形，则该几何体的体积是 ( ) A5 6 B8 3 C1 D16 3 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)(2021 湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为 4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥体积为_. (4)(2020 江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1上一点，且 C1P2PC设三棱锥 P D1DB 的体积为 V1，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为 V，则V1 V 的值为_.
13、 8 3 3 1 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为 1 cm，高为 1 cm 的半个圆锥和三棱锥 SABC 组成的，如图，三棱锥的高为 SO1 cm， 底面ABC 中，AB2 cm，AC1 cm，ABAC故其体积 V1 3 1 2 1211 3 1 2211 6 1 3 cm3.故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方 体的体积减去 2 个三棱锥的体积，即 V2321 3 1 2222 16 3 ，故 选 D 返回导航 高考一
14、轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)该圆锥母线为 4，底面半径为 2，高为 2 3， V1 32 22 38 3 3 . (4)设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长ABBCa， 高AA1b， 则 VABCDA1B1C1D1S 四边形ABCDAA1a2b， VPD1DBVBD1DP1 3SD1DP BC 1 3 1 2ab a 1 6a 2b， VPD1DB VABCDA1B1C1D1 1 6，即 V1 V 1 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为 _，表面积为_. 解析 几何体为如图所示的正
15、三棱锥(棱长都为 2 2) V844 3 8 3， S4 3 4 (2 2)28 3. 8 3 8 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计 算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何 体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求 解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
16、考） 第七章 立体几何 变式训练 2 (1)(2020 海南)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别 为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 ANMD1的体积为_. (2)(2021 开封模拟)如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 的中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为 ( ) A3 B3 2 C1 D 3 2 C 1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)(2017 浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A1 6 B1 3 C1 2 D1 A 返回导航 高考一轮总复习 数学
17、（新高考） 第七章 立体几何 (4)(2021 浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则 该几何体的体积(单位：cm3)是 ( ) A8 B8 C16 D16 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分 别为 BB1、AB 的中点， SANM1 211 1 2， VANMD1VD1AMN1 3 1 22 1 3， 故答案为：1 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)如题图，在正ABC 中，D 为 BC 的中点，则有 AD 3 2 AB 3， 又因为平
18、面 BB1C1C平面 ABC，ADBC，AD平面 ABC，由面面垂直 的性质定理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的底面 B1DC1上的高， 所以 V 三棱锥 AB1DC11 3 SB1DC1 AD 1 3 1 22 3 31，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示其底面是等腰直角三 角形 ACB，直角边长为 1，三棱锥的高为 1，故体积 V1 3 1 2111 1 6.故选 A (4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体 的体积为：1 22 248.故选 B 返回导航 高
19、考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点三 球与几何体的切、接问题多维探究 例例 3 角度 1 几何体的外接球 (1)(2021 河南中原名校质量测评)已知正三棱锥 PABC 的 底面边长为 3，若外接球的表面积为 16，则 PA_. (2)(2020 新课标)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1 为ABC 的外接圆若O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为 ( ) A64 B48 C36 D32 A 2 3或 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)(2019 全国)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，
20、PA PBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E、F 分别是 PA，PB 的中 点，CEF90 ，则球 O 的体积为 ( ) A8 6 B4 6 C2 6 D 6 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)由外接球的表面积为 16，可得其半径为 2，设ABC 的 中心为 O1，则外接球的球心一定在 PO1上，由正三棱锥 PABC 的底面 边长为 3， 得 AO1 3， 在 RtAOO1中， 由勾股定理可得(PO12)2( 3)2 22，解得 PO13 或 PO11，又 PA2PO2 1AO 2 1，故 PA 932 3 或 PA 132，故答案为：2 3或
21、 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)由题意可知图形如图：O1的面积为 4， 可得 O1A2， 则 AB sin60 2O1A4， AB4sin60 2 3， ABBCACOO12 3， 外接球的半径为：R AO2 1OO 2 14， 球 O 的表面积为：44264，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)PAPBPC，ABC为边长为2的等边三角形， PABC为正三棱锥， PBAC， 又E，F分别为PA、AB中点， EFPB， EFAC，又EFCE，CEACC， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何
22、EF平面 PAC，PB平面 PAC，APB90 ， PAPBPC 2， PABC 为正方体一部分，2R 222 6， 即 R 6 2 ，V4 3R 34 3 6 6 8 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 几何体外接球问题的处理 (1)解题关键是确定球心和 半径，其解题思维流程是： (R球半径，r截面圆的 半径，h球心到截面圆心的距 离)注：若截面为非特殊三角 形可用正弦定理求其外接圆半 径r. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外 接球 注意：不共面的四点确定一个球面 返回导航
23、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 角度2 几何体的内切球 (1)(2020 新课标)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3， 则该圆锥内半径最大的球的体积为_. (2)(2021 安徽蚌埠质检)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB， AD的中点，把AEF，CBE，CFD折起构成一个三棱锥P CEF(A，B，D重合于P点)，则三棱锥PCEF的外接球与内切球的半径 之比是_. 例例 4 2 3 2 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS3，底面半径BC1， 返回导航 高考一轮总复
24、习 数学（新高考） 第七章 立体几何 则其高 SC BS2BC22 2， 不妨设该内切球与母线 BS 切于点 D， 令 ODOCr，由SODSBC，则OD OS BC BS ， 即 r 2 2r 1 3，解得 r 2 2 ， V4 3r 3 2 3 ，故答案为： 2 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)不妨设正方形的边长为 2a，由题意知三棱锥 PCEF 中 PC、PF、 PE 两两垂直，其外接球半径 R PC2PF2PE2 2 6 2 a，下面求内切 球的半径 r， 解法一(直接法)： 由几何体的对称性知， 内切球的球心在平面 PCH(H 为 EF 的中
25、点)内，M、N、R、S 为球与各面的切点， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 又 2 2tanCHPtan2OHN， tanOHN 2 2 r NH，NH 2r， 又 PN 2r，2 2rPH 2 2 a，ra 4. 解法二(体积法)：VCPEF1 3r (SPEFSPCESPCFSCEF)， a3r a2 2 a2a2 2a 2 3 2a 2 ，ra 4， 故R r 6a 2 4 a2 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 几何体内切球问题的处理 (1)解题时常用以下结论确定球心和半径：球心在过切点且与切面 垂直的直线上；球心到各面距离相
26、等 (2)利用体积法求多面体内切球半径 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练 3 (1)(角度1)(2020 南宁摸底)三棱锥PABC中， ABC为等边三角形， PA PB PC3，PAPB，三棱锥 PABC 的外接球的体积为 ( ) A27 2 B27 3 2 C27 3 D27 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(角度 1)(2021 山西运城调研)在四面体 ABCD 中，ABAC2 3， BC6，AD平面 ABC，四面体 ABCD 的体积为 3.若四面体 ABCD 的 顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 (
27、) A49 4 B49 C49 2 D4 (3)(角度 2)棱长为 a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_. B 6 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)因为三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PAPB PC3，所以PABPBCPAC因为 PAPB，所以 PAPC， PCPB以 PA，PB，PC 为过同一顶点的三条棱作正 方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥 P ABC 的 外 接 球 因 为 正 方 体 的 体 对 角 线 长 为 3232323 3，所以其外接球半径 R3 3 2 .因此三 棱锥 PABC 的外接球的体积 V4
28、 3 3 3 2 327 3 2 .故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)如图，H 为 BC 的中点，由题意易知 AH 3，设ABC 外接圆圆心为 O1，则|O1C|2 32( 3|O1C|)2，|O1C|2 3，又1 26 3 |AD| 3 3，|AD|1，则|OA|2|O1C|2 1 2 2 49 4 ，S 球O4R249，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正 四面体内切球的球心 O(也是外接球的球心)、 BCD 的中心 O1都在正方体的对角线上，设正四 面体的棱长为 a，则|
29、AO| 6 4 a，又|O1A| a2 3 3 a 2 6 3 a，内切球半径|OO1| 6 12 a， V 正四面体 V内切球 1 3 3 4 a2 6 3 a 4 3 6 12 a 3 6 3 . 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 例例 5 最值问题、开放性问题 (1)(最值问题)(2018 课标全国)设 A，B，C，D 是同一个 半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则 三棱锥 DABC 体积的最大值为 ( ) A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
30、考） 第七章 立体几何 (2)(2021 四川凉山州模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积V 12，AB2，若四面体AB1CD1的外接球的表面积为S，则S的最小值为 ( ) A8 B9 C16 D32 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)设等边ABC 的边长为 a， 则有 SABC1 2a a sin 60 9 3，解得 a6. 设ABC 外接圆的半径为 r，则 2r 6 sin 60 ，解得 r2 3， 则球心到平面 ABC 的距离为 422 322， 所以点 D 到平面 ABC 的最大距离为 246， 所以三棱锥 DABC 体积的最大值为1
31、39 3618 3，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)设 BCx，BB1y，由于 V12，所以 xy 6. 根据长方体的对称性可知四面体 AB1CD1的外接球即为长方体的 外接球，所以 r 4x2y2 2 ， 所以 S4r2(4x2y2)(42xy)16， (当且仅当 xy 6，等号成立) 故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 立体几何中最值问题的解法 (1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值 (2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何
32、(开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是 正四面体，则其体积的值为_(只需写一个可能值) 例例 6 解析 如图， 若 ABACBDCDAD2， BC1，取 AD 的中点 H，则 CHBH 3，且 AH 平面 BCH， 又 SBCH 11 4 ， VABCD1 3SBCH2 11 6 . 如图， 若 ABACBDCD2， ADBC1， 同理可求得 VABCD 14 12 . 11 6 或 14 12 等 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练 4 (2021 河南阶段测试)四面体 ABCD 中，ACAD，AB2AC4，BC 2 5， AD2 2， 当四面体的体积最大时， 其外接球的表面积是_. 28 解析 由已知可得 BC2AC2AB2，所以 ACAB，又因为 AC AD，所以 AC平面 ABD，四面体 ABCD 的体积 V1 3AC 1 2AB ADsin BAD，当BAD90 时 V 最大，把四面体 ABCD 补全为长方体，则它的 外接球的直径 2R 即长方体的体对角线，(2R)2AD2AC2AB228，所 以外接球的表面积为 4R228. 谢谢观看