1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第五讲 椭圆 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的_的点 的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫 做椭圆的_ 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点 焦距 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 注：若集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c 0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若ac，则集合P为_； (2)若ac
2、，则集合P为_； (3)若ac，则集合P为_ 椭圆 线段F1F2 空集 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 性 质 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)
3、，B2(b,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 轴 长轴 A1A2的长为_；短轴 B1B2的长为_ 焦距 |F1F2|_ 性 质 离心率 e_(0,1) a、b、c 的关系 _ 2a 2b 2c c a c2a2b2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1ac 与 ac 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值 2过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|2b 2 a ，称为通径 3若过焦点 F1的弦为 AB，则ABF2的周长为 4a 4e1b 2 a2 5椭圆的
4、焦点在 x 轴上标准方程中 x2项的分母较大，椭圆的焦点 在 y 轴上标准方程中 y2项的分母较大 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 6AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中 点 M(x0，y0)，则 (1)弦长 l 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|； (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0 7若 M、N 为椭圆x 2 a2 y2 b21 长轴端点，P 是椭圆上不与 M、N 重合 的点，则 KPM KPNb 2 a2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组一 走
5、出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆 ( ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (3)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(必修 2P42T4)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m 等于( ) A4 B8 C4 或 8 D12 C 解析 当焦点在x轴上时，10mm
6、20， 10m(m2)4，m4 当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8. m4或8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 3(必修 2P68A 组 T3)过点 A(3，2)且与椭圆x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点 的椭圆的方程为 ( ) A x2 15 y2 101 B x2 25 y2 201 C x2 10 y2 151 D x2 20 y2 151 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组三 走向高考 4(2018 课标全国)已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上 的一点，若 PF1PF2，且PF2F
7、160 ，则 C 的离心率为 ( ) A1 3 2 B2 3 C 31 2 D 31 D 解析 设|PF2|x，则|PF1| 3x，|F1F2|2x，故 2a|PF1|PF2| (1 3)x,2c|F1F2|2x，于是离心率 ec a 2c 2a 2x 1 3)x 31 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B 5(2019 课标，10)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方 程为 ( ) Ax 2 2 y21 Bx 2 3 y 2 2 1 Cx 2 4 y
8、2 3 1 Dx 2 5 y 2 4 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设|F2B|x(x0)， 则|AF2|2x，|AB|3x， |BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x， 由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x， 所以|AF1|2x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B| |F1F2|cos BF2F1，即 9x2x2224x cosBF2F1， 在 AF1F2中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 |AF1|2 |AF2|2 |F1F2|
9、2 2|AF2| |F1F2|cosAF2F1，即 4x2 4x2228x cosBF2F1， 由得 x 3 2 ，所以 2a4x2 3，a 3， 所以 b2a2c22 所以椭圆的方程为x 2 3 y 2 2 1故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 椭圆的定义及应用自主练透 (1)(2021 泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上 的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 例 1 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)
10、已知F是椭圆5x29y245的左焦点， P是此椭圆上的动点， A(1,1) 是一定点则|PA|PF|的最大值和最小值分别为_ (3)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且F1PF260 若PF1F2的面积为 3 3，则 b_ 6 2，6 2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)如图所示， 由题知|PF1|PF2|2a， 设椭圆方程： x2 a2 y2 b2 1(其中 ab0)连接 MO，由三角形的中位线可得：|F1M|MO|a(a |F1O|)，则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆
11、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)如下图所示，设椭圆右焦点为 F1，则|PF|PF1|6 |PA|PF|PA|PF1|6 由椭圆方程x 2 9 y 2 5 1 知 c 952， F1(2,0)，|AF1| 2 利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P、A、F1共线时等号成立) |PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2 故|PA|PF|的最大值为 6 2，最小值为 6 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)|PF1|PF2|2a，又F1PF260 ， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2
12、， 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2， 所以|PF1|PF2|4 3b 2， 又因为 SPF1F21 2|PF1|PF2|sin 60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3，所 以 b3故填 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申本例(2)中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF|PA|的最 大值为_，|PF|PA|的最大值为_ 解析 设椭圆的右焦点为F1，则|PF1|PA|AF1|2(P在线段 AF1上 时 取 等 号 ) ， |PF| |PA| 6 (|PF1| |P
13、A|)4 ， |PA| |PF1|AF1|2，(当P在AF1延长线上时取等号)，|PF|PA|6|PA| |PF1|8 4 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)椭圆定义的应用范围： 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆 解决与焦点有关的距离问题 (2)焦点三角形的应用： 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角 形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过 整体代入可求其面积等 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (1)(2021 大庆模拟)已知点 M( 3，0)，椭圆x 2
14、4 y21 与直线 yk(x 3)交于点 A、B，则ABM 的周长为_ (2)(2019 课标，15)设 F1，F2为椭圆 C：x 2 36 y2 201 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为 _ 8 (3， 15) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)(2021 河北衡水调研)设 F1、F2分别是椭圆 x2 25 y2 161 的左、右焦 点，P 为椭圆上任意一点，点 M 的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值 为_ 5 解析 (1)直线 yk(x 3)过定点 N( 3，0) 而 M、N 恰为椭圆x 2 4
15、 y21 的两个焦点， 由椭圆定义知ABM 的周长为 4a428 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)因为 F1，F2分别是椭圆 C 的左，右焦点，由 M 点在第一象限， MF1F2是等腰三角形，知|F1M|F1F2|，又由椭圆方程 x2 36 y2 201，知 |F1F2|8，|F1M|F2M|2612， 所以|F1M|F1F2|8，所以|F2M|4 设 M(x0，y0) (x00，y00)， 则 x04)2y2 064， x04)2y2 016， 解得 x03，y0 15，即 M(3， 15) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)
16、由题意可知 F2(3,0)， 由椭圆定义可知|PF1|2a|PF2| |PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a， 当且仅当 M，P，F2三点共线时取得等号， 又|MF2| 63)240)25,2a10， |PM|PF2|5105，即|PM|PF1|的最小值为5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 求椭圆的标准方程师生共研 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的 距离为 3； (3)经过点 P(2 3，1)，Q(
17、 3，2)两点； (4)与椭圆x 2 4 y 2 3 1 有相同离心率，且经过点(2， 3) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)若焦点在 x 轴上，设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 椭圆过点 A(3,0)， 9 a21，a32a32b， b1方程为x 2 9 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 若焦点在 y 轴上，设方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 椭圆过点 A(3,0)， 9 b21，b3 又 2a32b，a9方程为 y2 81 x2 9 1 综上所述，椭圆方程为x 2 9 y21 或 y2 81 x
18、2 9 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由已知，有 a2c， ac 3，解得 a2 3， c 3. 从而 b2a2c29 所求椭圆方程为 x2 12 y2 9 1 或x 2 9 y2 121 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)， 点 P(2 3，1)，Q( 3，2)在椭圆上， 12mn1， 3m4n1，解得 m 1 15，n 1 5 故椭圆方程为 x2 15 y2 5 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)若焦点在 x 轴上， 设所求椭圆方程为x
19、 2 4 y 2 3 t(t0)， 将点(2， 3 )代入，得 t2 2 4 3) 2 3 2 故所求方程为x 2 8 y 2 6 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 若焦点在 y 轴上，设方程为y 2 4 x 2 3 (0)代入点(2， 3)，得 25 12，所求方程为 y2 25 3 x2 25 4 1 综上可知椭圆方程为x 2 8 y 2 6 1 或 y2 25 3 x2 25 4 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形 状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件 (2)
20、用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： 作判断：根据条件判断焦点的位置； 设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2ny2 1(m0，n0，m0)； 找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； 求解，得方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)椭圆的标准方程的两个应用 方程x 2 a2 y2 b21(ab0)与 x2 a2 y2 b2(0)有相同的离心率 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)共焦点的椭圆系方程为 x2 a2k y2 b2k 1(ab0，kb20)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
21、高考） 第八章 解析几何 B 变式训练 2 (1)“2m6”是“方程 x2 m2 y2 6m1 表示椭圆”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D (2)(2021 广东深圳二模)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 3 1(a0)的右焦点为 F， O 为坐标原点，C 上有且只有一个点 P 满足|OF|FP|，则 C 的方程为 ( ) A x2 12 y2 3 1 Bx 2 8 y 2 3 1 Cx 2 6 y 2 3 1 Dx 2 4 y 2 3 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
22、 第八章 解析几何 解析 (1) x2 m2 y2 6m1 表示椭圆 m20 6m0 m26m 2m6 且 m4， “2m6”是方程“ x2 m2 y2 6m1 表示椭圆”的必要不充分 条件，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)根据对称性知 P 在 x 轴上，|OF|FP|， 故 a2c，a23c2，解得 a2，c1， 故椭圆方程为：x 2 4 y 2 3 1故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 椭圆的几何性质师生共研 例 3 D (1)(2017 全国)椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，点 P
23、在 C 上，F2P2，F1F2P2 3 ，则 C 的长轴长为 ( ) A2 B2 3 C2 3 D22 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 河北省衡水中学调研)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦 点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4，则该椭圆的离心率为( ) A1 3 B1 2 C2 3 D3 4 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)(2021 广东省期末联考)设 F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0) 的左、 右焦点， 若在直线 xa 2 c 上存在点 P， 使线段 PF1的中垂线过
24、点 F2， 则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A 0， 2 2 B 0， 3 3 C 2 2 ，1 D 3 3 ，1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，则 c1， |PF2|2，|PF1|2a|PF2|2a2， 由余弦定理可得|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2| |PF2| cos 2 3 ， 即(2a2)244222 1 2) ， 解得 a1 3，a1 3(舍去)， 2a22 3，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)不妨设直线 l：x c y
25、b1，即 bxcybc0椭圆中心到 l 的距离 |bc| b2c2 2b 4 ec a 1 2，故选 B (3)如图 F2HPF1，|F1F2|PF2|， 由题意可知a 2 c c2c，e2 c2 a2 1 3，即 e 3 3 ， 又 0e1， 3 3 e1 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 椭圆离心率的求解方法 求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程 组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位 置，求出离心率 椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值
26、范围求解，遇直线与 椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式的符号求 解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求椭圆离心率的取值范围的方法 方法 解读 适合题型 几何法 利用椭圆的几何性质，如|x|a，|y|b,0 e1，建立不等关系，或者根据几何 图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的 几何关系 直接法 根据已知条件得出不等关系，直接转化 为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不 等关系 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 变式训练 3 (1)(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、
27、右顶点分 别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D (2)(2021 内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的 左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 是椭圆上的动点，若A1PA2的最大可以 取到 120 ，则椭圆 C 的离心率为 ( ) A1 2 B 2 2 C 3 2 D 6 3 (3)已知 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存 在点 P，使F1P
28、F290 ，则椭圆的离心率的取值范围是_ 2 2 ，1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a 又直线 bxay2ab0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2ab a2b2a，解得 a 3b， b a 1 3， ec a a2b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)当 P 为短轴端点时A1PA2最大， 由题意可知a btan 60 3， b2 a2 1 3，e 1b 2 a2 6 3 ，故选 D (3)由题意可知当
29、P 为椭圆短轴端点时OPF1OPF245 ，即 cb， c2a2c2，c 2 a2 1 2，即 e 2 2 ， 又 0e1， 2 2 e1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点四 直线与椭圆多维探究 例 4 角度 1 直线与椭圆的位置关系 (多选题)若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y 2 m1 总有公共点，则 m 的值可能是 ( ) A1 2 B1 C 3 D4 BCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 解法一：由于直线 ykx1 恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则 0 1 m1 且 m5， 故 m1 且
30、 m5故选 B、C、D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：由 ykx1， mx25y25m0， 消去 y 整理得(5k2m)x210kx5(1m)0 由题意知 100k220(1m)(5k2m)0 对一切 kR 恒成立， 即 5mk2m2m0 对一切 kR 恒成立， 由于 m0 且 m5，m1 且 m5故选 B、C、D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 5 C 角度 2 中点弦问题 (1)(2021 湖北省宜昌市调研)过点 P(3,1)且倾斜角为3 4 的直 线与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若AP
31、 PB ，则该椭圆的 离心率为 ( ) A1 2 B 2 2 C 6 3 D 3 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)已知椭圆x 2 2 y21，点 P 1 2， 1 2 ，则以 P 为中点的椭圆的弦所在直 线的方程为_ 2x4y30 解析 (1)由题意可知 P 为 AB 的中点，且 kAB1，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 x2 1 a2 y2 1 b2 1， x2 2 a2 y2 2 b21，两式相减得 x1x2)x1x2) a2 y1y2)y1y2) b2 ，kABy 1y2 x1x2 b2x1x2) a2y1y2) 3b2 a2 1，即b
32、 2 a2 1 3，e 1b 2 a2 6 3 ，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 M(x0，y0)，则有x 2 1 2 y2 11，x 2 2 2 y2 21 两式作差，得x 2x1)x2x1) 2 (y2y1)(y2y1)0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 x1x22x0，y1y22y0，y 2y1 x2x1kAB， 代入后求得 kAB x0 2y0 1 2， 其方程为 y1 2 1 2 x1 2 ，即 2x4y30 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
33、八章 解析几何 例 6 角度 3 弦长问题 已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 P 3，1 2 ，椭圆 E 的一个焦点为( 3，0) (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 l 过点 M(0， 2)且与椭圆 E 交于 A，B 两点，求|AB|的最大 值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)依题意， 设椭圆 E 的左、 右焦点分别为 F1( 3， 0)， F2( 3， 0) 由椭圆 E 经过点 P 3，1 2 ，得|PF1|PF2|42a， a2，c 3，b2a2c21 椭圆 E 的方程为x 2 4 y21 返回导航 高考一轮总复习 数
34、学（新高考） 第八章 解析几何 (2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx 2，A(x1，y1)， B(x2，y2) 由 ykx 2， x2 4 y21 得(14k2)x28 2kx40 由 0 得(8 2k)24(14k2)40，4k21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由 x1x2 8 2k 14k2，x1x2 4 14k2 得|AB| 1k2 x1x2)24x1x2 26 1 14k2 2 1 14k21 设 t 1 14k2，则 0t 1 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 |AB|2 6t2t126 t 1
35、12 225 24 5 6 6 ，当且仅当 t 1 12 时等号成立 当直线 l 的斜率不存在时，|AB|25 6 6 综上，|AB|的最大值为5 6 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)直线与椭圆位置关系的判断方法 联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；借助几何性 质来判断 (2)求椭圆方程或有关几何性质可依据条件寻找满足条件的关于 a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)关于弦长问题一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解设 直
36、线 与 椭 圆 的 交 点 坐 标 为A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则 |AB| 1k2)x1x2)24x1x2 1 1 k2 y1y2)24y1y2(其中 k 为直线斜 率). 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下 进行的，不要忽略判别式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解若直线l与圆 锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代 入曲线方程，通过作差，构造出x1x2，y1y2，x1x2，y1y2，从而建 立中点坐标和斜率的关系注意答题时不要
37、忽视对判别式的讨论 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 4 (1)(角度 1)直线 ykxk1 与椭圆 x2 9 y2 4 1 的位置关系是 _ (2)(角度 2)(2021 广东珠海期末)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦 点为 F，离心率 2 2 ，过点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 中点为 (1,1)，则直线 l 的斜率为 ( ) A2 B2 C1 2 D1 2 相交 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C (3)(角度 3)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4 y21 相交于 A，B
38、两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A2 B4 5 5 C4 10 5 D8 10 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由于直线 ykxk1k(x1)1 过定点(1,1)，而( 1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交 (2)因为c a 2 2 ，4c22a2，4(a2b2)2a2，a22b2，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，且 x1x22，y1y22， b2x2 1a 2y2 1a 2b2 b2x2 2a 2y2 2a 2b2，相减得 b 2(x 1 x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0， 所以 2b2(x1x2)2a2(y1y2)
39、0，所 以 2b24b2y 1y2) x1x2)0，所以 12k0，k 1 2，选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y xt， 由 x24y24， yxt 消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x28 5t，x1x2 4t21) 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x2)24x1x2 2 8 5t 244t 21) 5 4 2 5 5t2， 当 t0 时，|AB|max4 10 5 故选 C 返
40、回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 7 利用换元法求解与椭圆相关的最值问题 4 如图，焦点在 x 轴上的椭圆x 2 4 y 2 b21 的离心率 e 1 2，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA 的最大值 为_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 e2c 2 a21 b2 a21 b2 4 1 4，b 23， 椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1，且 F(1,0)，A(2,0)，设 P(2sin ， 3cos )， 则 PF PA (12sin ， 3cos ) (22si
41、n ， 3cos )sin22sin 1(sin 1)24 当且仅当 sin 1 时取等号，故PF PA 的最大值为 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 另解：设 P(x，y)，由上述解法知PF PA (1x，y) (2x，y) x2y2x21 4(x2) 2(2x2)，显然当 x2 时，PF PA 最大且 最大值为 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 遇椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问 题，一般用三角换元法求解，即令 xasin ，ybcos ，将其化为三角 最值问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 5 椭圆 x2 16 y2 4 1 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是 ( ) A3 B 11 C2 2 D 10 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设椭圆 x2 16 y2 4 1 上的点 P(4cos ，2sin )，则点 P 到直线 x 2y 20 的距离为 d|4cos 4sin 2| 5 |4 2sin 4) 2| 5 ， dmax|4 2 2| 5 10 谢谢观看