1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第九讲 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两 个相异的公共点 (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消 元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线 l 的方程为 AxByC 0，圆锥曲线方程 f(x，y)0 由 AxByC0， fx，y0 消元，如消去 y 后
2、得 ax2bxc0， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行； 当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合) 若a0，设b24ac 当_0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当_0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当_0时，直线和圆锥曲线没有公共点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k(k 不为 0)的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)、P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|_或|P1P2|_ (2)当斜率 k
3、 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离 公式) 1k2 |x1x2| 1 1 k2 |y1y2| 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点三 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭 圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k b2x0 a2y0；在双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直 线的斜率 kb 2x 0 a2y0；在抛物线 y 22px(p0)中，以 P(x 0，y0)为中点的弦所 在直线的斜率 k p y0 返
4、回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大 小关系 2判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置 关系 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近 线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相 切，可能与渐近线平行 4过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可 能与对称轴平行 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D 1(2021 天津模拟)若双曲线x 2 3 16y 2 p2 1(p0
5、)的左焦点在抛物线 y2 2px 的准线上，则 p ( ) A1 4 B1 2 C2 D4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 因为双曲线x 2 3 16y 2 p2 1(p0)的左焦点为 3 p2 16，0 ， 抛物线 y22px 的准线方程为 xp 2，所以 3 p2 16 p 2，得 p4， 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 2(2021 宁夏模拟)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该 抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2， 则此抛物线的方程是 ( ) Ay212x By28x C
6、y26x Dy24x B 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1 x2)p8又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，x 1x2 2 2，x1x2 4，p4，所求抛物线的方程为 y28x故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 3(2021 安徽宣城调研)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右 焦点为 F， 若过点 F 且倾斜角为 45 的直线与双曲线的右支有且只有一个 交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A 2，) B( 2，) C(2，) D(1，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
7、考） 第八章 解析几何 解析 双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜 率的绝对值小于或等于渐近线的斜率b a，所以 b a1，e 2c 2 a2 a2b2 a2 2， e 2故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C 4 (2021 贵阳市质量监测)已知抛物线 x22py(p0)的焦点 F 是椭圆 y2 a2 x2 b21(ab0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A，B 两点，若FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为 ( ) A1 2 B 2 2
8、C 3 3 D 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 如图，由|AB|2b 2 a ， FAB 是正三角形，得 3 2 2b 2 a 2c， 化简可得(2a23b2)(2a2b2)0， 所以 2a23b20，所以b 2 a2 2 3， 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 3 3 故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 5(2019 全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直 线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB ，
9、求|AB| 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设直线 l：y3 2xt，A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，0 ， 故|AF|BF|x1x23 2 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20， 则 x1x24t1 3 从而4t1 3 5 2，得 t 7 8 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由AP 3PB 可得 y13y2 由 y3 2xt，
10、 y23x 可得 y22y2t0， 所以 y1y22，从而3y2y22， 故 y21，y13 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 代入 C 的方程得 x13，x21 3， 即 A(3,3)，B 1 3，1 故|AB| 31 3 23124 13 3 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系自主练透 例 1 (1)(2021 兰州检测)若直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没 有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x 2 9 y 2 4 1 的交点个数为 ( ) A至多一个 B2 C1
11、D0 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D (2)(2021 湖北武汉调研)已知不过原点 O 的直线交抛物线 y22px 于 A，B 两点，若 OA，AB 的斜率分别为 kOA2，kAB6，则 OB 的斜率为 ( ) A3 B2 C2 D3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B (3)(2021 辽宁沈阳二中月考)直线 l：yk(x 2)与曲线 x2y21(x 0)相交于 A，B 两点，则直线 l 倾斜角 的取值范围是 ( ) A0，) B 4， 2 2， 3 4 C 0， 2 D 4， 2 2， 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（
12、新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)直线mxny4和圆O： x2y24没有交点， 4 m2n2 2，m2n24m 2 9 n 2 4 m 2 9 4m 2 4 1 5 36m 21， 点(m，n)在椭圆x 2 9 y 2 4 1 的内部，过点(m，n)的直线与椭圆x 2 9 y2 4 1 的交点有 2 个，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由题意可知，直线 OA 的方程为 y2x，与抛物线方程 y22px 联 立得 y2x， y22px，得 xp 2， yp， 即 A p 2，p ， 则直线 AB 的方程为 yp6 xp 2 ， 即 y6x2p，与
13、抛物线方程 y22px 联立得 y6x2p， y22px， 得 x2p 9 ， y2p 3 或 xp 2， yp， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以 B 2p 9 ，2p 3 ，所以直线 OB 的斜率为 kOB 2p 3 2p 9 3故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)直线 l 过定点( 2，0)，曲线 x2y21(x0)的渐近线的倾斜角分 别为 4， 3 4 ，又直线的斜率存在，结合图形可知选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥 曲线
14、方程组成的方程组的解的个数注意：(1)在没有给出直线方程时， 要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空 题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解 注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半 径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注 意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 直线与圆锥曲线相交的弦的问题多维探究 例 2 角度 1 弦长问题 (2021 河北质检)已知 M( 2，0)，N( 2，0)，动点 P 满足： 直线 PM 与直线
15、 PN 的斜率之积为常数1 2设动点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中垂线与 y 轴交于点 0，1 2 ，点 O 为坐标原点，OA OB 0，求|AB| 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设动点 P(x，y)(x 2)， 则 kPM y x 2，kPN y x 2 因为 kPMkPN1 2，所以 y x 2 y x 2 1 2， 即 y2 x22 1 2，即 x2 2 y21(x 2)， 所以曲线 C 的方程为x 2 2 y21(x 2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
16、考） 第八章 解析几何 (2)当直线 l 的斜率不存在时与题设矛盾，故直线 l 的斜率存在 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：ykxt 由 x22y22， ykxt， 得(2k21)x24ktx2t220 所以 x1x2 4kt 12k2，x1x2 2t22 12k2 8(2k2t21)02k2t210 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 A，B 的中点为 D(m，n)， 则 mx 1x2 2 2kt 12k2，nkmt t 12k2 故线段 AB 的中垂线方程为 yn1 k(xm) 当 x0 时，ym k n1 2， 所以 2kt 12k2 k t 12
17、k2 1 2，化简得 12k 22t 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 因为OA OB 0，得 x1x2y1y20 又 y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2， 所以 x1x2y1y2(k21)x1x2kt(x1x2)t22t 21k21 12k2 4k2t2 12k2 t20， 化简得 2k223t2又 12k22t， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 得 t1 或 t1 3(舍去)，所以 k 21 2 所以|AB| 1k2x1x224x1x2 1k2 4kt 12k2 24 2t22 12k2 81k22k2t2
18、1 12k2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 处理弦长问题的两个注意点 (1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时， 可直接求交点坐标再求弦长 (2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (2021 四省八校质检)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F(1,0)，且点 1， 2 2 在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，直线 m：x2，过 F 作垂直于 l 的直线与直线 m 交
19、于点 T，求|TF| |AB|的最小值和此时 l 的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意可得： c1 a2b2c2 1 a2 1 2b21 a 2 b1 ， 所以椭圆的方程为：x 2 2 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)当直线 l 的斜率不存在时，l：x1，T(2,0)， A 1， 2 2 ，B 1， 2 2 ，此时|TF| |AB| 2 2 ， 当直线 l 的斜率存在时，设 l：yk(x1)(k0)， 且 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ykx1 x22y220(12k 2)x24k2x2k2
20、20， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 则 x1x2 4k2 12k2，x1 x2 2k22 12k2，8(k 21)0， 所以|AB| 1k2|x1x2|2 2k 21 12k2 ， 由 y1 kx1 x2 T 2，1 k ，|TF| 1k2 k2 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以|TF| |AB| 12k2 2 2 k2k21 1k2k2 2 2 k2k21 2 1k2 k2 2 2 k2k21 2 2 (1k2k2，所以无法取等号) 所以|TF| |AB|的最小值为 2 2 ，此时 l 的方程为：x1 返回导航 高考一轮总复
21、习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 3 A 角度 2 中点弦问题 已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a，b0)上的一点到双曲线的左、右 焦点的距离之差为 4，若抛物线 yax2上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于 直线 yxm 对称，且 x1x21 2，则 m 的值为 ( ) A3 2 B5 2 C2 D3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由双曲线的定义知 2a4，得 a2，所以抛物线的方程为 y 2x2因为点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y2x2上，所以 y12x2 1，y2 2x2 2，两式相减得 y1y22(x1x2
22、)(x1x2)，不妨设 x1x2，又 A，B 关 于直线 yxm 对称，所以y 1y2 x1x21，故 x1x2 1 2，而 x1x2 1 2， 解得 x11，x21 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为 M(x0，y0)，则 x0 x 1x2 2 1 4，y0 y 1y2 2 2x 2 12x 2 2 2 5 4， 因为中点 M 在直线 yxm 上， 所以 5 4 1 4m， 解得 m3 2，选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 处理中点弦问题常用的求解方法 根与系 数的关系 即联立直线
23、与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程 后由根与系数的关系求解 点差法 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减， 式中含有x1x2，y1y2，y 1y2 x1x2三个未知量，这样就直接联系了 中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 2 已知椭圆x 2 2 y21 的左焦点为 F，O 为坐标原点设过点 F 且不与 坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，点 A 和点 B 关于直线 l 对称，l 与 x 轴交于点 G，则点 G 横坐标的取值范围是_ 1 2，0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
24、第八章 解析几何 解析 设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)， 代入x 2 2 y21，整理得(12k2)x24k2x2k220 因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于 x 轴， 所以方程有两个不等实根 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 N(x0，y0)， 则 x1x2 4k2 2k21， x01 2(x1x2) 2k2 2k21，y0k(x01) k 2k21， 因为点 A 和点 B 关于直线 l 对称， 所以直线 l 为 AB 的垂直平分线，其方程为 yy01 k(xx0) 返回导航 高考一轮总
25、复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 令 y0，得 xGx0ky0 2k2 2k21 k2 2k21 k2 2k21 1 2 1 4k22， 因为 k0，所以1 2xG0， 即点 G 横坐标的取值范围为 1 2，0 故填 1 2，0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 角度3 求直线的方程 (2021 广东梅州质检)已知F为抛物线T：x24y的焦点，直 线l：ykx2与T相交于A，B两点 (1)若k1，求|FA|FB|的值； (2)点C(3，2)，若CFACFB，求直线l的方程 例 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意，可
26、得 F(0,1)， 设 A x1，x 2 1 4 ，B x2，x 2 2 4 ， 联立方程组 ykx2 x24y ，整理得 x24kx80， 则 x1x24k，x1x28， 又由|FA|FB|x 2 1 4 1x 2 2 4 1x 1x2 22x 1x2 4 2 显然当 k1 时，|FA|FB|10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由题意可知，FA x1，x 2 1 4 1 ， FB x2，x 2 2 4 1 ，FC (3，3)， 由CFACFB， 可得 cosFA ，FC cosFB ，FC ， 即 FA FC |FA |FC | FB FC |FB |FC
27、 | ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又|FA|x 2 1 4 1，|FB|x 2 2 4 1，|FC|3 2， 整理得 42(x1x2)x1x20， 即 48k80，解得 k3 2， 所以直线 l 的方程为 3x2y40 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分 类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为yk(xa) b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为xm(yb) a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 3 (
28、2021 广西桂林、崇左模拟)椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 2 2 ，过点 A(a,0)和 B(0，b)的直线与原点间的距离为 6 3 (1)求椭圆 M 的方程； (2)过点 E(1,0)的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点，且点 D 位于第一 象限，当CE DE3 时，求直线 l 的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)据题知，直线 AB 的方程为 bxayab0 依题意得 ab a2b2 6 3 e a2b2 a2 2 2 解得 a22，b21， 所以椭圆 M 的方程为x 2 2 y21 返回导航 高考一轮总复习
29、数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)(x20，y20)， 设直线 l 的方程为 xmy1(mR) 代入椭圆方程整理得：(m22)y22my10 8m280， y1y2 2m m22，y1y2 1 m22 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由CE DE3，依题意可得：y13y2， 结合得 y 2 m m22 3y2 2 1 m22 ， 消去 y2解得 m1，m1(不合题意) 所以直线 l 的方程为 yx1 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 5 “设而不求，整体代换”解
30、决圆锥曲线问题 (2021 山西太原模拟)已知动点 C 到点 F(1,0)的距离比到直 线 x2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E (1)求曲线 E 的方程； (2)若直线 l：ykxm(km0)与曲线 E 相交于 A，B 两个不同点， 且OA OB 5，证明：直线 l 经过一个定点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意可得动点 C 到点 F(1,0)的距离等于到直线 x1 的距离，曲线 E 是以点(1,0)为焦点，直线 x1 为准线的抛物线设 其方程为 y22px(p0)， p 21，p2， 曲线 E 的方程为 y24x 返回导航 高考一轮总复习
31、 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ykxm， y24x 得 k2x2(2km4)xm20， x1x242km k2 ，x1x2m 2 k2 ， (2km4)24m2k216(1km)0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 OA OB 5， x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m 24km k2 5， m24km5k20，mk 或 m5k km0，则 mk 舍去，m5k，满足 16(1km)0， 直线 l 的方程为 yk(x5)， 直线 l 必经过定点(5,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（
32、新高考） 第八章 解析几何 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程 等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元 二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减 少计算”的效果 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 4 (2021 福建龙岩质检)已知椭圆 E 的方程为x 2 a2y 21，点 A 为长轴的 右端点B，C 为椭圆 E 上关于原点对称的两点直线 AB 与直线 AC 的 斜率 kAB和 kAC满足：kAB kAC1 2 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若直线 l：ykxt 与圆 x2y22
33、3相切，且与椭圆 E 相交于 M，N 两点，求证：以线段 MN 为直径的圆恒过原点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设 B(x0，y0)，则 C(x0，y0) 由x 2 0 a2y 2 01 得，y 2 01x 2 0 a2 a2x2 0 a2 ， 由 kAB kAC1 2，即 y0 x0a y0 x0a 1 2得， y2 0a 2x2 0 2 ，所以a 2x2 0 a2 a 2x2 0 2 ，所以 a22， 即椭圆 E 的标准方程为：x 2 2 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y
34、2)， 由 x2 2 y21 ykxt 得：(12k2)x24ktx2t220， x1x2 4kt 12k2，x1x2 2t22 12k2 y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2 k 22t22 12k2 4k 2t2 12k2t 2t 22k2 12k2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又 l 与圆 C 相切，所以 6 3 |t| 1k2即 2 3 t2 1k2， 所以OM ON x1x2y1y22t 22t22k2 12k2 3t 221k2 12k2 21k 221k2 12k2 0， 所以，OM ON ，即MON90 ， 所以，以线段 MN 为直径的圆经过原点 谢谢观看