1、第第 4 章一元一次方程竞赛题精选章一元一次方程竞赛题精选 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2015黄冈中学自主招生）已知关于 x 的方程（2a+b）x10 无解，那么 ab 的值是（ ） A负数 B正数 C非负数 D非正数 2 （4 分） （2011城关区校级自主招生）已知关于 x 的方程 mx+22（mx）的解满足|x|10，则 m 的值是（ ） A10 或 B10 或 C10 或 D10 或 3 （4 分） （2007温州校级自主招生）某商店同时卖出两套西服，售出价均为 1680 元/套，以成本计算，其 中一
2、套盈利 20%，而另一套亏损 20%，则此时商店（ ） A不赔不赚 B赚 372 元 C赚 140 元 D赔 140 元 4 （4 分） （2016北仑区校级自主招生）方程|x|1|a 恰有 3 个实数根，则 a 等于（ ） A0 B C1 D 5 （4 分） （2015广西自主招生）方程|x+1|+|x5|6 的整数解有（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D无穷多个 6 （4 分） （2005日照）中百超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过 100 元，不享受优惠； （2）一 次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折； （3）一次性购物超过 300 元一律 8 折
3、王波两次购物 分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ） A288 元 B332 元 C288 元或 316 元 D332 元或 363 元 7 （4 分） （2000江苏自主招生）商场的自动扶梯在匀速上升，一男孩与一女孩在这自动扶梯上往上爬，已 知男孩往上爬的速度是女孩往上爬的速度的 2 倍，男孩爬了 27 级到楼上，女孩爬 18 级到楼上，则从楼 下到楼上自动扶梯的级数是（ ） A108 B54 C45 D36 8 （4 分） （2006罗田县校级自主招生）某队伍长 6 公里，以每小时 5 公里的速度行进，通讯员骑马从队头 到队尾送信，到队尾后立即返回
4、队头，共用了半小时，则通讯员的速度为每小时（ ）公里 A25 B24 C20 D18 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） （2015温州校级自主招生） 对于实数 a， b， c， d， 规定一种数的运算：adbc， 那么当 10 时，x 10 （5 分） （2011德州）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于 矩形宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽 度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方
5、形，则操作 终止当 n3 时，a 的值为 11 （5 分） （2010合肥校级自主招生）一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向 匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了 10 分钟，小轿车 追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上客车；再过了 -分钟货车追上客车 12 （5 分） （2012 秋河北区期末）关于 x 的方程中，a、b 为定值，无论 k 为何值，方程 的根总是 1，则 a ，b 13（5 分）（2011浙江校级自主招生） 方程 x+2009 的解是 x 14 （5 分） （2017奉化市自主招生）一辆客车、一辆货车和一辆小轿
6、车在一条笔直的公路上朝同一方向匀 速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了 12 分钟，小轿车追 上了货车，又过了 8 分钟，小轿车追上了客车，再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t 三解答题（共三解答题（共 4 小题，满分小题，满分 38 分）分） 15 （8 分） （2009荣县校级自主招生）荣中自行车队两队员 A、B 相距 3000 米，都以 500 米/分的速度相向 而行，同时 A 肩上的一只苍蝇以 1000 米/分的速度飞向 B，苍蝇遇 B 后立即回头飞向 A，遇 A 后又立即 飞向 B直到 A、B 相遇，求苍蝇一共飞了多少米？ 16 （8 分） （
7、2014南平校级自主招生）解关于 x 的方程：mx23m+5x 17 （10 分） （2019 秋天峨县期末）如图，点 A 从原点出发沿数轴向左运动，同时，点 B 也从原点出发沿 数轴向右运动，3 秒后，两点相距 15 个单位长度已知点 B 的速度是点 A 的速度的 4 倍（速度单位：单 位长度/秒） （1）求出点 A、点 B 运动的速度，并在数轴上标出 A、B 两点从原点出发运动 3 秒时的位置； （2）若 A、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处 在点 A、点 B 的正中间？ （3）若 A、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴
8、向左运动时，另一点 C 同时从 B 点位置出发向 A 点运动，当遇到 A 点后，立即返回向 B 点运动，遇到 B 点后又立即返回向 A 点运动，如 此往返，直到 B 点追上 A 点时，C 点立即停止运动若点 C 一直以 20 单位长度/秒的速度匀速运动，那 么点 C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 18 （12 分） （2019 秋吉安县期末） “五一”长假日，弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了 1 小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追，如果弟弟和 妈妈每小时行 2 千米， 他们从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟，
9、 问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追 上他们吗？ 第第 4 章一元一次方程竞赛题章一元一次方程竞赛题 精选精选 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2015黄冈中学自主招生）已知关于 x 的方程（2a+b）x10 无解，那么 ab 的值是（ ） A负数 B正数 C非负数 D非正数 【分析】根据一元一次方程 axb 无解，则 a0，b0，依此可以得出关于 x 的方程（2a+b）x10 中 2a+b0，从而得出 ab 的取值范围 【解答】解：关于 x 的方程（2a+b）x10 无解，则 2a+b0 有 ab0 或者 a、b
10、 异号 ab 的值为非正数 故选：D 【点评】本题考查了一元一次方程的解注意形如 axb 的方程无解，a0，b0 2 （4 分） （2011城关区校级自主招生）已知关于 x 的方程 mx+22（mx）的解满足|x|10，则 m 的值是（ ） A10 或 B10 或 C10 或 D10 或 【分析】解此题分两步： （1）求出|x|10 的解； （2）把求出的解代入方程 mx+22（mx） ，把 未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可 【解答】解：先由|x|10， 得出 x或； 再将 x和 x分别代入 mx+22（mx） ， 求出 m10 或 故选：A 【点评】解答本题
11、时要格外注意，|x|10 的解有两个解出 x 的值后，则可把已知解代入方程的 未知数中， 使未知数转化为已知数， 从而建立起未知系数的方程， 通过未知系数的方程求出未知数系数， 这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法 3 （4 分） （2007温州校级自主招生）某商店同时卖出两套西服，售出价均为 1680 元/套，以成本计算，其 中一套盈利 20%，而另一套亏损 20%，则此时商店（ ） A不赔不赚 B赚 372 元 C赚 140 元 D赔 140 元 【分析】由题意可得，这两套西服的进价不同，等量关系分别为：实际售价进价（1+利润率） ；实际
12、 售价进价 （1亏损率） 分别计算两套西服的进价， 然后再进一步比较总进价和总售价， 得出结论 【解答】解：设盈利 20%的进价是 x 元，则（1+20%）x1680，x1400； 设亏损 20%的进价是 y 元，则有（120%）y1680，y2100 则进价和是 1400+21003500 元，售价和是 168023360 元， 35003360140 元即亏损 140 元 故选：D 【点评】分别计算两套西服的进价是解题的关键，等量关系：实际售价进价（1+利润率） ；实际售价 进价（1亏损率） 4 （4 分） （2016北仑区校级自主招生）方程|x|1|a 恰有 3 个实数根，则 a 等于（
13、 ） A0 B C1 D 【分析】将绝对值去掉，与坐标轴上以直线解析式形式画出即可 【解答】解：令 ay 解 析 式 y |x|为 y x 在 x 轴 以 下 的 部 分以 x 轴 为 对 称 轴 ，画对 称 线 段 如 图 所 示， y|x|1 为 y|x|下移一个单位； y|x|1|为 y|x|1 将 x 轴以下的部分以 x 轴为对称轴，画对称线段 a 恰有 3 个实数根，所以 a1 故选：C 【点评】本题主要掌握直线解析式取绝对值时在坐标轴上的画法 5 （4 分） （2015广西自主招生）方程|x+1|+|x5|6 的整数解有（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D无穷多个 【分析】分三
14、种情况：x1；1x5；x5 去掉绝对值符号，化为常规的一元一次方程解答 【解答】解：当 x1 时，原方程可化为x1+5x6，解得 x1； 当1x5 时，原方程可化为 x+1+5x6，x 为1x5 中任意整数，即 x0，1，2，3，4； 当 x5 时，原方程可化为 x+1+x56，解得 x5， 由上可知，原方程的整数解有 7 个， 故选：C 【点评】本题主要考查了解绝对值方程，关键是根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程 6 （4 分） （2005日照）中百超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过 100 元，不享受优惠； （2）一 次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律
15、 9 折； （3）一次性购物超过 300 元一律 8 折王波两次购物 分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ） A288 元 B332 元 C288 元或 316 元 D332 元或 363 元 【分析】按照优惠条件第一次付 80 元时，所购买的物品价值不会超过 100 元，不享受优惠，因而第一次 所购物品的价值就是 80 元；300 元的 9 折是 270 元，8 折是 240 元，因而第二次的付款 252 元所购买的 商品价值可能超过 300 元，也可能超过 100 元而不超过 300 元，因而应分两种情况讨论计算出两次购 买物品的价值的和，按优惠条
16、件计算出应付款数 【解答】解： （1）若第二次购物超过 100 元，但不超过 300 元， 设此时所购物品价值为 x 元，则 90%x252，解得 x280 两次所购物价值为 80+280360300 所以享受 8 折优惠， 因此王波应付 36080%288（元） （2）若第二次购物超过 300 元，设此时购物价值为 y 元，则 80%y252，解得 y315 两次所购物价值为 80+315395， 因此王波应付 39580%316（元） 故选：C 【点评】能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键 7 （4 分） （2000江苏自主招生）商场的自动扶梯在匀速上升，一男孩与一
17、女孩在这自动扶梯上往上爬，已 知男孩往上爬的速度是女孩往上爬的速度的 2 倍，男孩爬了 27 级到楼上，女孩爬 18 级到楼上，则从楼 下到楼上自动扶梯的级数是（ ） A108 B54 C45 D36 【分析】应先根据男孩和女孩所走的路程得到所用的时间的比等量关系为：男孩所走的路程+扶梯在相 同时间（男孩所走的路程所花时间）运行的路程女孩所走的路程+扶梯在相同时间（女孩所走的路程所 花时间）运行的路程 【解答】解：设男孩的速度为 2，则女孩的速度为 1 男孩步行了 27 级，女孩步行了 18 级， 男孩用的时间为 27213.5，女孩用的时间为 18118， 设在男孩步行的时间里扶梯运行了 x
18、 级，那么在女孩步行的时间里扶梯运行了x 级， 可以列式为：27+x18+x， 解得：x27， 所以扶梯有 27+2754 级故选 B 【点评】读懂题意，找到相应的等量关系是解决问题的关键注意楼梯的级数等于扶梯上升的高度加上 人走的级数 8 （4 分） （2006罗田县校级自主招生）某队伍长 6 公里，以每小时 5 公里的速度行进，通讯员骑马从队头 到队尾送信，到队尾后立即返回队头，共用了半小时，则通讯员的速度为每小时（ ）公里 A25 B24 C20 D18 【分析】等量关系为：队伍长（通讯员和队伍的速度之和）+队伍长（通讯员和队伍的速度之差） 0.5，把相关数值代入求解即可 【解答】解：设
19、通信员骑马的速度为每小时 xkm +0.5， 解得 x25 或 x1， 经检验 x25 或 x1 都是原方程的解， 但 x1 应舍去， 故选：A 【点评】 本题考查一元一次方程的应用， 关键在于找出题目中的等量关系， 根据等量关系列出方程解答 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） （2015温州校级自主招生） 对于实数 a， b， c， d， 规定一种数的运算：adbc， 那么当 10 时，x 1 【分析】先根据：adbc 得出关于 x 的一元一次方程，求出 x 的值即可 【解答】解：由题意得，2x+1210， 解得 x1
20、 故答案为：1 【点评】本题考查的是解一元一次方程，根据题意得出关于 x 的一元一次方程是解答此题的关键 10 （5 分） （2011德州）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于 矩形宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽 度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作 终止当 n3 时，a 的值为 或 【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩 形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽当a1 时，矩形的长为 1，宽为 a
21、，所以第一次操作时所 得正方形的边长为 a，剩下的矩形相邻的两边分别为 1a，a由 1aa 可知，第二次操作时所得正方 形的边长为 1a，剩下的矩形相邻的两边分别为 1a，a（1a）2a1由于（1a）（2a1） 23a，所以（1a）与（2a1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论又因为可以进行三次 操作，故分两种情况：1a2a1；1a2a1对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形 的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出 a 的值 【解答】解：由题意，可知当a1 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 1a，所以第二次 操作时正方形的边长为 1a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别
22、为 1a，2a1此时，分两种情 况： 如果 1a2a1，即 a，那么第三次操作时正方形的边长为 2a1 经过第三次操作后所得的矩形是正方形， 矩形的宽等于 1a， 即 2a1（1a）（2a1） ，解得 a； 如果 1a2a1，即 a，那么第三次操作时正方形的边长为 1a 则 1a（2a1）（1a） ，解得 a 故答案为：或 【点评】 本题考查了一元一次方程的应用， 解题的关键是分两种情况： 1a2a1； 1a2a1 分 别求出操作后剩下的矩形的两边 11 （5 分） （2010合肥校级自主招生）一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向 匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在
23、后，货车在客车与小轿车的正中间，过了 10 分钟，小轿车 追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上客车；再过了 15 分钟货车追上客车 【分析】首先设出货车，客车，小轿车的速度为 x、y、z，它们在某一时刻的间距，根据过了 10 分钟， 小轿车追上了货车； 又过了 5 分钟， 小轿车追上客车， 先表示出小轿车与货车、 小轿车与客车的速度差， 再求出货车与客车的速度差，从而求出答案 【解答】解：设货车，客车，小轿车速度为 x、y，z，间距为 s，则：10（zx）s，15（zy）2s， 则 zx，zy 所以，xy， 得：30，301515 故答案为：15 【点评】此题考查的知识点是元一次方程的应用
24、追及问题解题的关键是先表示出已知两种情况的速 度差，再求出货车与客车的速度差 12 （5 分） （2012 秋河北区期末）关于 x 的方程中，a、b 为定值，无论 k 为何值，方程 的根总是 1，则 a ，b 4 【分析】先把方程化简，然后把 x1 代入化简后的方程，因为无论 k 为何值时，它的根总是 1，就可求 出 a、b 的值 【解答】解：方程两边同时乘以 6 得： 4kx+2a12+xbk， （4k1）x+2a+bk120 ， 无论 k 为何值时，它的根总是 1， 把 x1 代入， 4k1+2a+bk120， 当 k0 时，1+2a120 当 k1 时，41+2a+b120 解方程组：，
25、 解得， 当 a，b4 时，无论为 k 何值时，它的根总是 1 故答案是：，4 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未 知数的值本题利用方程的解求未知数 a、b 13 （5 分） （2011浙江校级自主招生）方程 x+2009 的解是 x 1005 【分析】本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答 【解答】解：原方程可化为：2009； 即； 提取公因式，得； 化简得：2x（1）2009； 解得：x1005 【点评】本题难度极大，需要很强的计算能力和创造性思维能力要注意寻找规律（ ，） 14 （5 分） （2017奉化市自主招生）一辆客车、
26、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀 速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了 12 分钟，小轿车追 上了货车，又过了 8 分钟，小轿车追上了客车，再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t 40 【分析】设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 s 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 a， b，c（千米/分） ，并设货车经 x 分钟追上客车，列出有关多元一次方程组求得 x 的值即可 【解答】解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 s 千米，小轿车、货车、客车的速度分别 为 a，b，c（千米/分） ，并设货车经 x 分钟追上客车， 由题意
27、得， 60（bc）s， x60 故 t6012840（分） 答：再过 40 分钟，货车追上了客车 故答案为 40 【点评】此题主要考查了多元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，准确寻找等量关系，然 后列出方程组解决问题 三解答题（共三解答题（共 4 小题，满分小题，满分 38 分）分） 15 （8 分） （2009荣县校级自主招生）荣中自行车队两队员 A、B 相距 3000 米，都以 500 米/分的速度相向 而行，同时 A 肩上的一只苍蝇以 1000 米/分的速度飞向 B，苍蝇遇 B 后立即回头飞向 A，遇 A 后又立即 飞向 B直到 A、B 相遇，求苍蝇一共飞了多少米？ 【分析】根
28、据题意设 AB 两人相遇时用时 t 分钟，再表示出 A 的路程500t，B 的路程500t，A、B 两人 的路程和为 3000 米，列出方程算出相遇时间，苍蝇飞行路程1000A、B 两人相遇时所用的时间 【解答】解：设 AB 两人相遇时用时 t 分钟， 500t+500t3000， 解得：t3， 苍蝇一共飞了：100033000（米） 答：苍蝇一共飞了 3000 米 【点评】 此题主要考查了一元一次方程的应用， 此题是一个相遇问题， 关键把握 A 的路程+B 的路程3000 米 16 （8 分） （2014南平校级自主招生）解关于 x 的方程：mx23m+5x 【分析】方程移项合并，将 x 系
29、数化为 1，即可求出解 【解答】解：方程移项合并得： （m5）x3m+2， 当 m50，即 m5 时，解得：x m5 时，方程无解 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为 1， 求出解 17 （10 分） （2019 秋天峨县期末）如图，点 A 从原点出发沿数轴向左运动，同时，点 B 也从原点出发沿 数轴向右运动，3 秒后，两点相距 15 个单位长度已知点 B 的速度是点 A 的速度的 4 倍（速度单位：单 位长度/秒） （1）求出点 A、点 B 运动的速度，并在数轴上标出 A、B 两点从原点出发运动 3 秒时的位置； （2）若 A、B 两点从（
30、1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处 在点 A、点 B 的正中间？ （3）若 A、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点 C 同时从 B 点位置出发向 A 点运动，当遇到 A 点后，立即返回向 B 点运动，遇到 B 点后又立即返回向 A 点运动，如 此往返，直到 B 点追上 A 点时，C 点立即停止运动若点 C 一直以 20 单位长度/秒的速度匀速运动，那 么点 C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【分析】 （1）设点 A 的速度为每秒 t 个单位，则点 B 的速度为每秒 4t 个单位，由甲的路程+乙的路程
31、 总路程建立方程求出其解即可； （2）设 x 秒时原点恰好在 A、B 的中间，根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可； （3）先根据追击问题求出 A、B 相遇的时间就可以求出 C 行驶的路程 【解答】解： （1）设点 A 的速度为每秒 t 个单位，则点 B 的速度为每秒 4t 个单位，由题意，得 3t+34t15， 解得：t1， 点 A 的速度为每秒 1 个单位长度，则点 B 的速度为每秒 4 个单位长度 如图： （2）设 x 秒时原点恰好在 A、B 的中间，由题意，得 3+x124x， 解得：x1.8 A、B 运动 1.8 秒时，原点就在点 A、点 B 的中间； （3）由题意，得 B
32、追上 A 的时间为：15（41）5， C 行驶的路程为：520100 单位长度 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追及问题 的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键 18 （12 分） （2019 秋吉安县期末） “五一”长假日，弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了 1 小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追，如果弟弟和 妈妈每小时行 2 千米， 他们从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟， 问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追 上他们吗？ 【分析】等量关系为：哥哥所走的路程弟弟和妈妈所走的路程 【解答】解：设哥哥追上弟弟需要 x 小时 由题意得：6x2+2x， 解这个方程得： 弟弟行走了1 小时 30 分1 小时 45 分，未到外婆家， 答：哥哥能够追上 【点评】难点是得到弟弟和妈妈所用的时间，关键是找到相应的等量关系