1、20212021- -20222022 学年江苏省八年级数学上册第学年江苏省八年级数学上册第 1 1 章全等三角形竞赛题精选章全等三角形竞赛题精选 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2015黄冈校级自主招生）如图，在ABC 中，ABAC，ABC40，BD 是ABC 的平分 线，延长 BD 至 E，使 DEAD，则ECA 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 2 （4 分） （2012大田县校级自主招生）如图是 55 的正方形网格，以点 D，E 为两个顶点作位置不同的 格点三角形，使所作的格点三角形与ABC
2、全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 3 （4 分） （2008诸暨市校级自主招生）如图，已知 ABCD，ABCD，AEFD，则图中的全等三角形有 （ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 4 （4 分） （2012乐平市校级自主招生）如图，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于 点 N，且 AB10，BC15，MN3，则ABC 的周长是（ ） A38 B39 C40 D41 5 （4 分） （2007安庆校级自主招生）如图，AD 是ABC 的中线，E、F 分别在 AB、AC 上（且 E，F 不与 端点重合） ，且 D
3、EDF，则（ ） ABE+CFEF BBE+CFEF CBE+CFEF DBE+CF 与 EF 的大小关系不确定 6 （4 分） （2007玉溪）如图，AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BCCD，请按照图中所标注的数据，计 算图中实线所围成的图形的面积 S 是（ ） A50 B62 C65 D68 7 （4 分） （2000江苏自主招生）如图在ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC， 垂足分别是 R、S，若 AQPQ，PRPS，下面三个结论：ASAR；PQAB；BRPCSP， 其中正确的是（ ） A B C D 8 （4 分） （2020浙江自主招生）如图，
4、在ABC 中，AD 是A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意 一点，设 PBm，PCn，ABc，ACb，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ） Am+nb+c Bm+nb+c Cm+nb+c D无法确定 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） （2012鼓楼区校级模拟）如图 EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，EF90， BC，AEAF给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中 正确的结论有 （填序号） 10 （5 分） （2020浙江自主招生）如图所示，一位同学拿
5、了两块 45的三角尺MNK、ACB 做了一个探 究活动；将MNK 的直角顶点 M 放在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 ACBCa 猜想此时重叠部分四边形 CEMF 的面积为 ； 简述证明主要思路 11 （5 分） （2013天心区校级自主招生）如图，ABC 中，A 的平分线交 BC 于 D，ABAC+CD，C 80，那么B 的度数是 12 （5 分） （2000江苏自主招生）ABC 中，AB5，中线 AD7，则 AC 边的取值范围是 13 （5 分） （2010慈溪市校级自主招生）如图，ABC 中，ABAC，A40在ABC 所在平面内， 除了ABC 外，还有 个以ABC 的某条边为边且与A
6、BC 全等的三角形 14 （5 分） （2007青羊区校级自主招生）ABC 的平分线 BE 与 BC 边的中线 AD 垂直且相等，已知 BE AD4，则 AC 三解答题（共三解答题（共 4 小题，满分小题，满分 38 分）分） 15 （8 分） （2020南岸区自主招生）如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 E，AF 平分BAD，交 BC 于点 F，交 CD 的延长线于点 G （1）若G29，求ADC 的度数； （2）若点 F 是 BC 的中点，求证：ABAD+CD 16 （10 分） （2020 秋西山区期末）已知如图 AD 为ABC 上的高，E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F
7、 且有 BF AC，FDCD求证： （1）ADCBDF； （2）BEAC 17 （10 分） （2020九龙坡区自主招生）如图，过ABC 的顶点 A 作 ADBC，ABC48，P 为 AB 的 中点，点 E 为射线 AD 上（不与点 A 重合）的任意一点，连接 EP，并使 EP 的延长线交射线 BC 于点 F （1）求证：AEBF； （2）当 EF2BF 时，求BFP 的度数 18 （10 分） （2018 秋临洮县期末）如图：在ABC 中，ACB90，ACBC，过点 C 在ABC 外作直 线 MN，AMMN 于 M，BNMN 于 N （1）求证：MNAM+BN （2）若过点 C 在ABC 内
8、作直线 MN，AMMN 于 M，BNMN 于 N，则 AM、BN 与 MN 之间有什么 关系？请说明理由 20212021- -20222022 学年江苏省八年级数学上册第学年江苏省八年级数学上册第 1 1 章全等三角形竞赛题精选章全等三角形竞赛题精选 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2015黄冈校级自主招生）如图，在ABC 中，ABAC，ABC40，BD 是ABC 的平分 线，延长 BD 至 E，使 DEAD，则ECA 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 【分析】在 BC 上截取 BFAB，连 DF，
9、可得ABDFBD，得出对应边、对应角相等，进而又得出 DCEDCF，即可得出结论 【解答】解：在 BC 上截取 BFAB，连 DF， 则有ABDFBD（SAS） ， DFDADE， 又ACBABC40，DFC180A80， FDC60， EDCADB180ABDA1802010060， DCEDCF（SAS） ， 故ECADCB40 故选：C 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形内角和定理，能够掌握并进行一些简单的 计算 2 （4 分） （2012大田县校级自主招生）如图是 55 的正方形网格，以点 D，E 为两个顶点作位置不同的 格点三角形，使所作的格点三角形与ABC 全等
10、，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】观察图形可知：DE 与 AC 是对应边，B 点的对应点在 DE 上方两个，在 DE 下方两个共有 4 个 满足要求的点，也就有四个全等三角形 【解答】解：根据题意，运用 SSS 可得与ABC 全等的三角形有 4 个，线段 DE 的上方有两个点，下方 也有两个点 故选：B 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL，做题时要做到不重不漏 3 （4 分） （2008诸暨市校级自主招生）如图，已知 ABCD，ABCD，AEFD，则图中的全等三角形有
11、（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 【分析】分别利用 SAS，SAS，SSS 来判定ABEDCF，BEFCFE，ABFCDE 【解答】解：ABCD， AD， ABCD，AEFD， ABEDCF（SAS） ， BECF，BEACFD， BEFCFE， EFFE， BEFCFE（SAS） ， BFCE， AEDF， AE+EFDF+EF， 即 AFDE， ABFCDE（SSS） ， 全等三角形共有三对 故选：C 【点评】主要考查全等三角形的判定，常用的判定方法有 AAS，SSS，SAS，HL 等做题时要根据已知 结合判定方法，由易到难，循序渐进地找寻，做到不重不漏 4 （4 分） （2
12、012乐平市校级自主招生）如图，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于 点 N，且 AB10，BC15，MN3，则ABC 的周长是（ ） A38 B39 C40 D41 【分析】可以延长 BN 交 AC 于点 D，易证得 RtANBRtAND，可得 N 为 BD 的中点；由已知 M 是 BC 的中点可得 MN 是BCD 的中位线，可得 CD 的长，据 ACAD+CD 可得 AC 的长，即可得ABC 的周长 【解答】解：如图，延长 BN 交 AC 于点 D， AN 平分BAC，BNAN 于点 N， 在 RtANB 和 RtAND 中，BANDAN，ANBAND，ANAN
13、， ANBAND（ASA） ， ADAB10，BNDN， 即 N 为 BD 的中点， M 是ABC 的边 BC 的中点， CD2MN6，ACAD+CD10+6， ABC 的周长为：AB+AC+BC10+（10+6）+1541 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键 5 （4 分） （2007安庆校级自主招生）如图，AD 是ABC 的中线，E、F 分别在 AB、AC 上（且 E，F 不与 端点重合） ，且 DEDF，则（ ） ABE+CFEF BBE+CFEF CBE+CFEF DBE+CF 与 EF 的大小关系不确定 【分析】延长 ED
14、 到 G，使 EDDG，连接 CG，FG，则BEDCGD，根据线段的等量代换，以及 三边关系可求得 BE+CFEF 【解答】解：延长 ED 到 G，使 DGED，连接 CG，FG， 在BED 与CGD 中， ， BEDCGD（SAS） ， CGBE，EDDG， 又DEDF FD 是 EG 的垂直平分线， FGEF GC+CFFG BE+CFEF 故选：A 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质以及三边关系，关键知道两边之和大于第三边 6 （4 分） （2007玉溪）如图，AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BCCD，请按照图中所标注的数据，计 算图中实线所围成的图形的面积 S 是（ ） A5
15、0 B62 C65 D68 【分析】由 AEAB，EFFH，BGAG，可以得到EAFABG，而 AEAB，EFAAGB，由 此可以证明EFAABG，所以 AFBG，AGEF； 同理证得BGCDHC，GCDH，CHBG 故 FHFA+AG+GC+CH3+6+4+316，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积 【解答】解：AEAB 且 AEAB，EFFH，BGFH， EABEFABGA90， EAF+BAG90，ABG+BAG90， EAFABG， AEAB，EFAAGB，EAFABG， EFAAGB， AFBG，AGEF 同理证得BGCCHD 得 GCDH，CHBG 故 FHFA+AG
16、+GC+CH3+6+4+316 故 S（6+4）16346350 故选：A 【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，是中考常见题型 7 （4 分） （2000江苏自主招生）如图在ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC， 垂足分别是 R、S，若 AQPQ，PRPS，下面三个结论：ASAR；PQAB；BRPCSP， 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】连接 AP，APRAPS，可得 ASAR；PQCAPQ+QAP2QAPPAB+PAQ BAQ，则 PQAB； 在 RtBRP 和 RtCSP 中，只有 PRPS，因而不能判定全等 【解答】解：连接 AP
17、， 在APR 和APS 中， ARPASP90， 在 RtAPR 和 RtAPS 中， ， APRAPS（HL） ， ASAR，故是正确的， BAPSAP， SABBAP+SAP2SAP， 在AQP 中， AQPQ， QAPAPQ， CQPQAP+APQ2QAP2SAP PQAB，故是正确的， RtBRP 和 RtCSP 中， 只有 PRPS， 不满足三角形全等的条件， 故是错误的 故选：A 【点评】考查三角形全等的性质和线段平行条件辅助线是解决本题的关键 8 （4 分） （2020浙江自主招生）如图，在ABC 中，AD 是A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意 一点，设 PBm，
18、PCn，ABc，ACb，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ） Am+nb+c Bm+nb+c Cm+nb+c D无法确定 【分析】在 BA 的延长线上取点 E，使 AEAC，连接 EP，证明ACP 和AEP 全等，推出 PEPC， 根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到 m+nb+c 【解答】解：在 BA 的延长线上取点 E，使 AEAC，连接 EP， AD 是BAC 的外角平分线， CADEAD， 在ACP 和AEP 中， ACPAEP（SAS） ， PEPC， 在PBE 中，PB+PEAB+AE， PBm，PCn，ABc，ACb， m+nb+c 故选：A 【点评】 本题主要考查三角
19、形全等的证明， 全等三角形的性质， 三角形的三边关系， 作辅助线构造以 m、 n、b、c 的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） （2012鼓楼区校级模拟）如图 EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，EF90， BC，AEAF给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中 正确的结论有 （填序号） 【分析】由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定 正确的结论 【解答】解：B+BAE90，C+CAF
20、90，BC 12（正确） EF90，BC，AEAF ABEACF（ASA） ABAC，BECF（正确） CANBAM，BC，ABAC ACNABM（正确） CNBM（不正确） 所以正确结论有 故填 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 AAS、 ASA 得 到三角形全等是正确解决本题的关键 10 （5 分） （2020浙江自主招生）如图所示，一位同学拿了两块 45的三角尺MNK、ACB 做了一个探 究活动；将MNK 的直角顶点 M 放在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 ACBCa 猜想此时重叠部分四边形 CEMF 的面积为 a2 ；
21、简述证明主要思路 【分析】连 CM，由点 M 为等腰直角ABC 的斜边 AB 的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边 的中线的性质得到 CMMBMA，AACMMCB45，CMA90，利用等角的余角相等 得到AMFEMC， 根据 “SAS” 可得AFMCEM， 则 SAFMSCEM， 于是重叠部分四边形 CEMF 的面积SACMSACB，然后利用三角形的面积公式计算即可 【解答】解：重叠部分四边形 CEMF 的面积为a2证明如下： 连 CM，如图， 点 M 为等腰直角ABC 的斜边 AB 的中点， CMMBMA， AACMMCB45，CMA90， 又MNK 为直角三角形， EMF90， AM
22、FEMC90CMF， 在AFM 和CEM 中， AFMCEM， SAFMSCEM， 重叠部分四边形 CEMF 的面积SACMSACBaaa2 故答案为：a2 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质： 判定三角形全等的方法有：“SAS” 、“ASA” 、“AAS” 、“SSS” ； 全等三角形的对应边相等，对应角相等也考查了等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质 11 （5 分） （2013天心区校级自主招生）如图，ABC 中，A 的平分线交 BC 于 D，ABAC+CD，C 80，那么B 的度数是 40 【分析】在 AB 上截取 AEAC，先根据角平分线的定义得BADCAD，再根据“S
23、AS”可判断AED ACD，则 EDCD，AEDC80，由于 ABAC+CD 得到 EBCDED，即EBD 为等腰 三角形，所以AEDB+EDB，于是BAED40 【解答】解：在 AB 上截取 AEAC，如图， AD 平分BAC， BADCAD， 在AED 和ACD 中 ， AEDACD（SAS） ， EDCD，AEDC80， ABAC+CD， EBCDED， BEDB， AEDB+EDB， BAED40 故答案为 40 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质： 判定三角形全等的方法有 “SSS” 、“SAS” 、“ASA” 、“AAS” ； 全等三角形的对应边相等，对应角相等也考查了等腰
24、三角形的性质 12 （5 分） （2000江苏自主招生） ABC 中， AB5， 中线 AD7， 则 AC 边的取值范围是 9AC19 【分析】延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE利用全等三角形的性质把要求的线段和已知的线段构造 到了一个三角形中，从而根据三角形的三边关系进行求解 【解答】解：延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE BDCD，ADCEDB，ADED， ACDEBD BEAC 根据三角形的三边关系，得 145BE14+5， 即 9AC19 故填 9AC19 【点评】注意此题中的辅助线，构造全等三角形综合考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三 边关系 13 （5
25、分） （2010慈溪市校级自主招生）如图，ABC 中，ABAC，A40在ABC 所在平面内， 除了ABC 外，还有 7 个以ABC 的某条边为边且与ABC 全等的三角形 【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有 6 个，以底 为公共边时有一个，答案可得 【解答】解：以 AB 为公共边有三个，以 AC 为公共边有三个，以 BC 为公共边有一个，所以一共能作出 7 个 故答案为 7 【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进 行讨论是解决本题的关键 14 （5 分） （2007青羊区校级自主招生）ABC 的平分
26、线 BE 与 BC 边的中线 AD 垂直且相等，已知 BE AD4，则 AC 【分析】取 CE 的中点 F，连接 DF，可证 DF 是BCE 的中位线，则 DFBE2，DFBE，通过 ASA 证明ABGDBG 得 AGDG，可知 GE 是ADF 的中位线，在 RtAEG 中，利用勾股定理求得 AE 的长即可解决问题 【解答】解：取 CE 的中点 F，连接 DF， AD 是中线， 点 D 是 BC 的中点， DF 是BCE 的中位线， DFBE2，DFBE， BE 是ABC 的平分线， CBEABE， BEAD， AGBBGD90， 在ABG 和DBG 中， ， ABGDBG（ASA） ， AG
27、DG2， 又DFBE， AEEF， GE 是ADF 的中位线， GEDF1， 在 RtAEG 中，由勾股定理得： AE， AC3AE3， 故答案为：3 【点评】 本题主要考查了三角形的中位线定理， 全等三角形的判定与性质， 勾股定理等知识， 证明ABG DBG，利用中位线定理是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 4 小题，满分小题，满分 38 分）分） 15 （8 分） （2020南岸区自主招生）如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 E，AF 平分BAD，交 BC 于点 F，交 CD 的延长线于点 G （1）若G29，求ADC 的度数； （2）若点 F 是 BC 的中点，求证：ABAD+
28、CD 【分析】 （1）根据平等线的性质得BAGG，BADADC进而证由角平分线的性质得ADC BAD2G便可求得结果； （2）先由角平分线条件证明 ADDG，再证明ABFGCF，便可得结论 【解答】证明： （1）ABCD， BAGG，BADADC AF 平分BAD， BAD2BAG2G ADCBAD2G G29， ADC58； （2）AF 平分BAD， BAGDAG BAGG， DAGG ADGD 点 F 是 BC 的中点， BFCF 在ABF 和GCF 中， ABFGCF（AAS） ， ABGC ABGD+CDAD+CD 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形
29、的性质与判定，关键是 证明三角形全等 16 （10 分） （2020 秋西山区期末）已知如图 AD 为ABC 上的高，E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC，FDCD求证： （1）ADCBDF； （2）BEAC 【分析】 （1）因为 AD 为ABC 上的高，所以ADBADC90，又因为 BFAC，FDCD，则可 根据 HL 判定ADCBDF； （2）因为ADCBDF，则有EBCDAC，又因为DAC+ACD90，所以EBC+ACD 90，则 BEAC 【解答】证明： （1）ADBC， ADBADC90 又BFAC，FDCD， ADCBDF（HL） （2）ADCBDF， E
30、BCDAC 又DAC+ACD90， EBC+ACD90 BEAC 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL发现并利用两个直角三角形全等是正确解决本题的关键 17 （10 分） （2020九龙坡区自主招生）如图，过ABC 的顶点 A 作 ADBC，ABC48，P 为 AB 的 中点，点 E 为射线 AD 上（不与点 A 重合）的任意一点，连接 EP，并使 EP 的延长线交射线 BC 于点 F （1）求证：AEBF； （2）当 EF2BF 时，求BFP 的度数 【分析】 （1）根据 AAS 证明：APEBPF 便可得结论； （2）
31、由（1）中的全等得，EF2PF，所以 PFBF，由等边对等角可得结论 【解答】解： （1）证明：P 是 AB 的中点， PAPB， ADBC， EAPB， 在APE 和BPF 中， ， APEBPF（ASA） ， AEBF； （2）由（1）得：APEBPF， PEPF， EF2PF， EF2BF， BFPF， BPFB48， BFP180484884 【点评】本题考查了三角形全等的判定以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题，属于中考常考题型 18 （10 分） （2018 秋临洮县期末）如图：在ABC 中，ACB90，ACBC，过点 C 在ABC 外作直 线 MN，AMM
32、N 于 M，BNMN 于 N （1）求证：MNAM+BN （2）若过点 C 在ABC 内作直线 MN，AMMN 于 M，BNMN 于 N，则 AM、BN 与 MN 之间有什么 关系？请说明理由 【分析】 （1）利用互余关系证明MACNCB，又AMCCNB90，ACBC，故可证AMC CNB，从而有 AMCN，MCBN，利用线段的和差关系证明结论； （2）类似于（1）的方法，证明AMCCNB，从而有 AMCN，MCBN，可推出 AM、BN 与 MN 之间的数量关系 【解答】证明： （1）AMMN，BNMN， AMCCNB90， ACB90， MAC+ACM90，NCB+ACM90， MACNCB， 在AMC 和CNB 中， AMCCNB， MACNCB， ACCB， AMCCNB（AAS） ， AMCN，MCNB， MNNC+CM， MNAM+BN； （2）结论：MNBNAM AMMN，BNMN， AMCCNB90， ACB90， MAC+ACM90，NCB+ACM90， MACNCB， 在AMC 和CNB 中， AMCCNB， MACNCB， ACCB， AMCCNB（AAS） ， AMCN，MCNB， MNCMCN， MNBNAM 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质 关键是利用互余关系推出对应角相等， 证明三角形全等