1、2020-2021 学年四川省成都市武侯区九年级上第一次诊断数学试卷学年四川省成都市武侯区九年级上第一次诊断数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1一元二次方程 x22x0 的根是（ ） Ax10，x22 Bx11，x22 Cx11，x22 Dx10，x22 2一元二次方程 x2+x20 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 3以下四组线段，成比例的是（ ） A2cm，3cm，4cm，6cm B2cm，4cm，6cm，8cm C3cm，4cm，5cm，6cm D4cm，6cm，6cm，8cm 4一个布袋内只装有
2、 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀， 再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ） A B C D 5若，则 的值为（ ） A B C1 D5 6菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A两组对边分别平行 B两组对角分别相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 7已知线段 AB10cm，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC），则 AC 的长为（ ） A B C D 8 如图， 为估算某河的宽度， 在河对岸选定一个目标点 A， 在近岸取点 B， C， D， 使得 ABBC， CDBC， 点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D
3、 在同一条直线上若测得 BE20m，CE10m，CD20m，则河的宽 度 AB 等于（ ） A60m B40m C30m D20m 9如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将OAB 沿直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在 线段 OB 上的点 E 处，若 OE，则 AC：AD 的值是（ ） A1：2 B2：3 C6：7 D7：8 10目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确 的是（ ） A438（1+x）2389 B389（1+
4、x） 2438 C389（1+2x）438 D438（1+2x）389 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11在 1：40000 的地图上，村犀路的距离是 7 厘米，则实际距离是 千米 12若（m2）x|m|5 是一元二次方程，则 m 的值为 13如图，添加一个条件： ，使ADEACB 14如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 与 BD 互相垂直且平分，BD6，AC8， 则四边形周长为 ，面积为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15解方程 （1）x25x60； （2）4
5、x28x+10（用配方法解） 16先化简，再求值：，其中 x2+3x50 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m10 有两个实数根 x1、x2， （1）求实数 m 的取值范围； （2）是否存在实数 m，使得 2（x1+x2）+10+x1x20 成立？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明 理由 18实验探究：甲、乙两个不透明的纸盒中分别装有形状、大小和质地完全相同的两张和三张卡片甲盒 中的两张卡片上分别标有数字 1 和 2，乙盒中的三张卡片分别标有数字 3，4，5小红从甲盒中随机抽取 一张卡片，并将其卡片上的数字作为十位上的数字，再从乙盒中随机抽取一张卡片，将其卡片上的数字 作为
6、个位上的数字，从而组成一个两位数 （1）请用画树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来； （2）求出所组成的两位数是奇数的概率 19如图，在ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的中线，DEAB 于点 E （1）求证：BDECAD （2）若 AB13，BC10，求线段 DE 的长 20在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AD 边上一点，DFC2FCE （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，DFC60，BE4，则 AF （2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，A120，DFC90，BE4，求的值 （3）如图 3，若四边形 ABCD 是矩形，点 E 是 AB 的中
7、点，CE12，CF13，求的值 一填空题（每题一填空题（每题 4 分，共分，共 20 分）分） 21已知（x2+y2）（x2+y21）120，则 x2+y2的值是 22设方程 2x2+3x+10 的根为 x1、x2，则 x12+x22 23 k，则关于 x 的函数 ykxk 的图象必经过第 象限 24如图，正方形 ABCD 的边长为 4，它的两条对角线交于点 O，过点 O 作边 BC 的垂线，垂足为 M1， OBM1的面积为 S1，过点 M1作 OC 的垂线，垂足为 M2，OM1M2的面积为 S2，过点 M2作 BC 的垂线， 垂足为 M3，M1M2M3的面积为 S3，Mn2Mn1Mn的面积为
8、 Sn，那么 S3 ，则 S1+S2+S3+Sn 25如图，在直角坐标系中，点 A（2，0），点 B（0，1），过点 A 的直线 l 垂直于线段 AB，点 P 是直线 l 上一动点，过点 P 作 PCx 轴，垂足为 C，把ACP 沿 AP 翻折 180，使点 C 落在点 D 处若以 A， D，P 为顶点的三角形与ABP 相似，则所有满足此条件的点 P 的坐标为 二解答题（二解答题（26 题题 8 分，分，27 题题 10 分，分，28 题题 12 分，共分，共 30 分）分） 26水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查
9、发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，张阿姨决定降价销售 （1） 若将这种水果每斤的售价降低 x 元， 则每天的销售量是 斤 （用含 x 的代数式表示） ； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 27在ABC 中，ACB45点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一 边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）如果 ABAC如图，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系，并证 明你的结论 （2）如果 ABAC，如图，且点
10、D 在线段 BC 上运动（1）中结论是否成立，为什么？ （3） 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P， 设 AC， BC3， CDx， 求线段 CP 的长（用含 x 的式子表示） 28如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与 ykx+4 分别交 x 轴于点 A、B，两直线交于 y 轴上同 一点 C，点 D 的坐标为（，0），点 E 是 AC 的中点，连接 OE 交 CD 于点 F （1）求点 F 的坐标； （2）若OCBACD，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 F 作 x 轴的垂线 l，点 M 是直线 BC 上的动点，点 N 是
11、x 轴上的动点，点 P 是直线 l 上的动点，使得以 B，P，M、N 为顶点的四边形是菱形，求点 P 的坐标 参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1一元二次方程 x22x0 的根是（ ） Ax10，x22 Bx11，x22 Cx11，x22 Dx10，x22 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解：x22x0， x（x2）0， x0，x20， x10，x22， 故选：D 2一元二次方程 x2+x20 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先计算出根的
12、判别式的值，根据的值就可以判断根的情况 解：b24ac1241（2）9， 90， 原方程有两个不相等的实数根 故选：A 3以下四组线段，成比例的是（ ） A2cm，3cm，4cm，6cm B2cm，4cm，6cm，8cm C3cm，4cm，5cm，6cm D4cm，6cm，6cm，8cm 【分析】根据成比例选段的定义，若 a、b、c、d 是成比例选段，则有，据此即可判断 解：A、，则是成比例线段，选项正确； B、，则不是成比例线段，选项错误； C、，则不是成比例线段，选项错误； D、，则不是成比例线段，选项错误 故选：A 4一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，
13、随机摸出一个球后放回并搅匀， 再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ） A B C D 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 解：列表得： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） 白 （白，黑） （白，白） （白，白） 白 （白，黑） （白，白） （白，白） 共 9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种， 两次摸出的球都是黑球的概率为， 故选：D 5若，则 的值为（ ） A B C1 D5 【分析】根据比例的性质，可得关于 x、y 的方程，根据去括号、移项、合并同类项，等式的性质，可得 答案 解：由，得 3（2xy）2（x+y）， 去括
14、号，得 6x3y2x+2y， 移项、合并同类项，得 4x5y， 两边都除以 5x，得 ， 故选：B 6菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A两组对边分别平行 B两组对角分别相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直 解：A、不正确，两组对边分别平行； B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质 故选：D 7已知线段 AB10cm，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC），则 AC 的长为（ ） A B C D 【分析】根据黄金分割
15、的定义得到 ACAB，把 AB10cm 代入计算即可 解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC）， ACAB， 而 AB10cm， AC10（55）cm 故选：C 8 如图， 为估算某河的宽度， 在河对岸选定一个目标点 A， 在近岸取点 B， C， D， 使得 ABBC， CDBC， 点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上若测得 BE20m，CE10m，CD20m，则河的宽 度 AB 等于（ ） A60m B40m C30m D20m 【分析】由两角对应相等可得BAECDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB 解：ABBC，CDBC， BAECDE， BE20
16、m，CE10m，CD20m， 解得：AB40， 故选：B 9如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将OAB 沿直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在 线段 OB 上的点 E 处，若 OE，则 AC：AD 的值是（ ） A1：2 B2：3 C6：7 D7：8 【分析】过 A 作 AFOB 于 F，如图所示：根据已知条件得到 AF3，OF3，OB6，求得AOB 60，推出AOB 是等边三角形，得到AOBABO60，根据折叠的性质得到CEDOAB 60，求得OCEDEB，根据相似三角形的性质得到 BEOBOE6，设 CEa，则 CAa，CO6a，EDb，则 ADb，DB6b，于是得到
17、结论 解：过 A 作 AFOB 于 F，如图所示： A（3，3），B（6，0）， AF3，OF3，OB6， BF3， OFBF， AOAB， tanAOBOF， AOB60， AOB 是等边三角形， AOBABO60， 将OAB 沿直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在线段 OB 上的点 E 处， CEDOAB60， OCEDEB， CEOEDB， ， OE， BEOBOE6， 设 CEa，则 CAa，CO6a，EDb，则 ADb，DB6b， 则， 6b30a5ab，24a30b5ab， 得：24a6b30b30a， ， 即 AC：AD2：3 故选：B 10目前我国已建立了比较完善的经济困难学生
18、资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确 的是（ ） A438（1+x）2389 B389（1+x） 2438 C389（1+2x）438 D438（1+2x）389 【分析】先用含 x 的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放 的钱数，令其等于 438 即可列出方程 解： 设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x， 则去年下半年发放给每个经济困难学生 389 （1+x） 元， 今年上半年发放给每个经济困难学生 389（1+x）2元， 由题意，得：
19、389（1+x）2438 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11在 1：40000 的地图上，村犀路的距离是 7 厘米，则实际距离是 2.8 千米 【分析】图上距离与实际距离的比即为比例尺，比例尺和图上距离已知，则可求实际距离 解：因为实际距离图上距离比例尺， 则：7280000（厘米）2800（米）2.8 千米； 答：这两地之间的实际距离是 2.8 千米 故答案为：2.8 12若（m2）x|m|5 是一元二次方程，则 m 的值为 2 【分析】依据一元二次方程的定义可得到|m|2，然后再依据二次项系数不零可确定出 m 的值
20、解：（m2）x|m|5 是一元二次方程， m20，|m|2 解得：m2 故答案为：2 13如图，添加一个条件： ADEC（答案不唯一） ，使ADEACB 【分析】ADE 和ACB 有一个公共角，再有一组角对应相等，那么这两个三角形就相似 解：添加ADEC理由如下： ADEC，AA， ADEACB 故答案为：ADEC（答案不唯一） 14如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 与 BD 互相垂直且平分，BD6，AC8， 则四边形周长为 20 ，面积为 24 【分析】首先由 AC 与 BD 互相垂直且平分，可证得四边形 ABCD 是菱形，又由 BD6，AC8，即可求 得答
21、案 解：AC 与 BD 互相垂直且平分， ADABBCCD， 四边形 ABCD 是菱形， BD6，AC8， OAAC4，OBBD3， AB5， 四边形周长为：20，面积为：6824 故答案为：20，24 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15解方程 （1）x25x60； （2）4x28x+10（用配方法解） 【分析】（1）利用因式分解法可得方程的解； （2）利用配方法可得答案 解：（1）x25x60， 因式分解，得（x6）（x+1）0， 于是，得 x60 或 x+10， 解得 x16，x21； （2）4x28x+10， 整理得：x22x， 配方得：x22x+1
22、+1，即（x1）2 ， 开方得：x1， 解得：x11+，x21 16先化简，再求值：，其中 x2+3x50 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后整体思想代入求值 解：原式 ， x2+3x50， x2+3x5， 原式 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m10 有两个实数根 x1、x2， （1）求实数 m 的取值范围； （2）是否存在实数 m，使得 2（x1+x2）+10+x1x20 成立？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明 理由 【分析】（1）由一元二次方程 x2+3x+m10 的两个实数根，根据根的判别式的意义得到b24ac 0，即 324（m1
23、）0，解关于 m 的不等式即可； （2）根据根与系数的关系 x1+x23，x1x2m1，再利用 2（x1+x2）+10+x1x20 成立求出 m 的值即 可 解：（2）一元二次方程 x2+3x+m10 有两个实数根 x1、x2， b24ac0， 即 324（m1）0， 解得 m 所以实数 m 的取值范围为 m； （2）存在 m 的值，使得 2（x1+x2）+10+x1x20 成立成立理由如下： x1、x2是一元二次方程 x2+3x+m10 的两个实数根， x1+x23，x1x2m1， 2（x1+x2）+10+x1x22（3）+10+（m1），若 2（x1+x2）+10+x1x20 成立，则 m
24、+30， 解上述方程得，m3 （1）中 m，（2）中 m3， 存在 m 的值，使得 2（x1+x2）+10+x1x20 成立 18实验探究：甲、乙两个不透明的纸盒中分别装有形状、大小和质地完全相同的两张和三张卡片甲盒 中的两张卡片上分别标有数字 1 和 2，乙盒中的三张卡片分别标有数字 3，4，5小红从甲盒中随机抽取 一张卡片，并将其卡片上的数字作为十位上的数字，再从乙盒中随机抽取一张卡片，将其卡片上的数字 作为个位上的数字，从而组成一个两位数 （1）请用画树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来； （2）求出所组成的两位数是奇数的概率 【分析】（1）根据题意列表，得出所有等可能的情况数；
25、 （2）找出所组成的两位数是奇数的结果数，即可求出所求的概率 解：（1）依题意列表如下： 十位 个位 1 2 3 13 23 4 14 24 5 15 25 故所组成的两位数有：13、14、15、23、24、25； （2）由（1）可知所有可能出现的结果有 6 种，且它们出现的可能性相等， 其中出现奇数的情况有 4 种， P（奇数） ， 答：所组成的两位数是奇数的概率为 19如图，在ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的中线，DEAB 于点 E （1）求证：BDECAD （2）若 AB13，BC10，求线段 DE 的长 【分析】（1）想办法证明BC，DEBADC90即可解决问题； （2）利
26、用面积法：ADBDABDE 求解即可； 解：（1）ABAC，BDCD， ADBC，BC， DEAB， DEBADC， BDECAD （2）ABAC，BDCD， ADBC， 在 RtADB 中，AD12， ADBDABDE， DE 20在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AD 边上一点，DFC2FCE （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，DFC60，BE4，则 AF （2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，A120，DFC90，BE4，求的值 （3）如图 3，若四边形 ABCD 是矩形，点 E 是 AB 的中点，CE12，CF13，求的值 【分析】（1）根据含 30的
27、直角三角形的性质解答即可； （2）过 E 作 EGBC，利用含 30的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）延长 FE 交 CB 延长线于点 M，再利用全等三角形的性质和勾股定理进行解答 解：（1）四边形 ABCD 是正方形，DFC60， DCF30， DFC2FCE， FCEECB30， BC4， DF4， AF； 故答案为：； （2）过 E 作 EGBC，如图 1： DFC90，DFC2FCE， FCEBCE45， A120， B60， BG2，EG， GCEG， BCCDABAD， DF1+， AF1+， AEABBE2+2422， ； （3）延长 FE 交 CB
28、延长线于点 M，如图 2： 在AFE 与BME 中， ， AFEBME（ASA）， BMAF，MEEF， DFC2FCE， CE 是FCB 的角平分线， CMCF13， 在 RtMEC 中，ME， EMBEMB，EBMEBC90， AEEB，AFBM 一填空题（每题一填空题（每题 4 分，共分，共 20 分）分） 21已知（x2+y2）（x2+y21）120，则 x2+y2的值是 4 【分析】设 tx2+y2，则原方程转化为关于 t 的一元二次方程 t（t1）120，通过解该方程求得 t 的 值即可 解：设 tx2+y2（t0），则 t（t1）120， 整理，得 （t4）（t+3）0， 解得
29、t4 或 t3（舍去） 即 x2+y2的值是 4， 故答案是：4 22设方程 2x2+3x+10 的根为 x1、x2，则 x12+x22 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求 出值 解：方程 2x2+3x+10 的根为 x1、x2， x1+x2 ，x1x2 ， 则 x12+x22（x1+x2）22x1x2（ ）221 故答案为： 23 k，则关于 x 的函数 ykxk 的图象必经过第 一、四 象限 【分析】分类讨论：当 a+b+c0，利用比例性质得 k1，则函数解析式为 yx+1，于是一次函数 与系数的关系可得直线经过第一、二、四象限；当
30、a+b+c0，利用比例性质得 k2，则函 数解析式为 y2x2，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、三、四象限，然后综合两种情况 可判断 ykxk 的图象必经过第一、四象限 解：当 a+b+c0，k1，则函数解析式为 yx+1，直线 yx+1 经过第一、二、四象限； 当 a+b+c0，k2，则函数解析式为 y2x2，直线 y2x1 经过 第一、三、四象限， 所以关于 x 的函数 ykxk 的图象必经过第一、四象限 故答案为一、四 24如图，正方形 ABCD 的边长为 4，它的两条对角线交于点 O，过点 O 作边 BC 的垂线，垂足为 M1， OBM1的面积为 S1，过点 M1作 OC 的
31、垂线，垂足为 M2，OM1M2的面积为 S2，过点 M2作 BC 的垂线， 垂足为 M3，M1M2M3的面积为 S3，Mn2Mn1Mn的面积为 Sn，那么 S3 ，则 S1+S2+S3+Sn 4（）n 2 【分析】由正方形的性质得出 S1、S2、S3、S4、S5，得出规律，再求出它们的和即可 解：四边形 ABCD 是正方形， OBOC，ACBD，S1442，S221， S31，S4，S5，Sn， S1+S2+S3+Sn2+1+ +， 4+ 4 4（）n 2； 故答案为：；4（）n 2 25如图，在直角坐标系中，点 A（2，0），点 B（0，1），过点 A 的直线 l 垂直于线段 AB，点 P
32、是直线 l 上一动点，过点 P 作 PCx 轴，垂足为 C，把ACP 沿 AP 翻折 180，使点 C 落在点 D 处若以 A， D，P 为顶点的三角形与ABP 相似，则所有满足此条件的点 P 的坐标为 P（4，4），p（0，4），P （，1），P（，1） 【分析】求出直线 L 的解析式，证出AOBPCA，得出 ，设 ACm，则 PC2m，根 据PCAPDA，得出 ，当PADPBA 时，根据 ，AB，求出 AP2，m2+（2m）2（2）2，得出 m2，从而求出 P 点的坐标为（4，4）、（0，4），若 PADBPA，得出 ，求出 PA，从而得出 m2+（2m）2（ ）2，求出 m ，即可得出
33、P 点的坐标为（，1）、（，1） 解：点 A（2，0），点 B（0，1）， 直线 AB 的解析式为 yx+1 直线 l 过点 A（4，0），且 lAB， 直线 L 的解析式为；y2x4， BAO+PAC90， PCx 轴， PAC+APC90， BAOAPC， AOBACP， AOBPCA， ， ， 设 ACm，则 PC2m， PCAPDA， ACAD，PCPD， ， 如图 1：当PADPBA 时， 则 ， 则 ， AB， AP2， m2+（2m）2（2 ）2， m2， 当 m2 时，PC4，OC4，P 点的坐标为（4，4）， 当 m2 时，如图 2， PC4，OC0，P 点的坐标为（0，4）
34、， 如图 3，若PADBPA， 则 ， PAAB ， 则 m2+（2m）2（ ）2， m， 当 m时，PC1，OC，P 点的坐标为（，1）， 当 m时，如图 4，PC1，OC，P 点的坐标为（，1）； 故答案为：P（4，4），P（0，4），P（，1），P（，1） 二解答题（二解答题（26 题题 8 分，分，27 题题 10 分，分，28 题题 12 分，共分，共 30 分）分） 26水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，
35、张阿姨决定降价销售 （1） 若将这种水果每斤的售价降低 x 元， 则每天的销售量是 (100+200 x) 斤 （用含 x 的代数式表示） ； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【分析】（1）销售量原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可 解：（1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100+20(100+200 x)（斤）； （2）根据题意得：（42x）（100+200 x）300， 解得：x或 x1， 当 x时，销售量是 100+200200260； 当 x1 时，销售量是 100+2
36、00300（斤） 每天至少售出 260 斤， x1 答：张阿姨需将每斤的售价降低 1 元 27在ABC 中，ACB45点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一 边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）如果 ABAC如图，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系，并证 明你的结论 （2）如果 ABAC，如图，且点 D 在线段 BC 上运动（1）中结论是否成立，为什么？ （3） 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P， 设 AC， BC3， CDx， 求线段 CP 的长（用含 x 的式
37、子表示） 【分析】 （1）由ACB45，ABAC，得ABDACB45；BAC90，由正方形 ADEF， 可得DAF90， ADAF， DAFDAC+CAF； BACBAD+DAC； CAFBAD 可 证DABFAC（SAS），得ACFABD45，BCFACB+ACF90即 CFBD （2）过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，可得出 ACAG，易证：GADCAF，所以ACFAGD 45，BCFACB+ACF90即 CFBD （3） 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P， 设 AC， BC3， CDx， 求线段 CP 的长 考虑点 D 的位置，分两种情
38、况去解答点 D 在线段 BC 上运动， 已知BCA45， 可求出 AQCQ4即 DQ4x，易证AQDDCP，问题可求点 D 在线段 BC 延长线上运动时，BCA45，可求出 AQCQ4，DQ4+x过 A 作 AQBC 交 CB 延长线于点 Q，则AGDACF，得 CFBD，由AQDDCP，得，问 题解决 解：（1）CF 与 BD 位置关系是垂直； 证明如下： ABAC，ACB45， ABC45 由正方形 ADEF 得 ADAF， DAFBAC90， DABFAC， DABFAC（SAS）， ACFABD BCFACB+ACF90 CFBC CFBD （2）ABAC 时，CFBD 的结论成立 理
39、由是： 过点 A 作 GAAC 交 BC 于点 G， ACB45， AGD45， ACAG， 同理可证：GADCAF ACFAGD45，BCFACB+ACF90， 即 CFBD （3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点 Q， 点 D 在线段 BC 上运动时， BCA45，可求出 AQCQ4 DQ4x，AQDDCP， ， ， 点 D 在线段 BC 延长线上运动时， BCA45， AQCQ4， DQ4+x 过 A 作 AQBC， QFAD90， CAFCCD90，ACFCCD， ADQAFC， 则AQDACF CFBD， AQDDCP， ， ， 28如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
40、直线 yx+4 与 ykx+4 分别交 x 轴于点 A、B，两直线交于 y 轴上同 一点 C，点 D 的坐标为（，0），点 E 是 AC 的中点，连接 OE 交 CD 于点 F （1）求点 F 的坐标； （2）若OCBACD，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 F 作 x 轴的垂线 l，点 M 是直线 BC 上的动点，点 N 是 x 轴上的动点，点 P 是直线 l 上的动点，使得以 B，P，M、N 为顶点的四边形是菱形，求点 P 的坐标 【分析】（1）求出直线 OE，直线 CD 的解析式，构建方程组即可解决问题； （2）证明DHTCOD（AAS），则 HTOD，DHCO4，求出点 T
41、 的坐标，利用待定系数 法即可解决问题； （3）分三种情形：当四边形 BN1P1M1是菱形时，当四边形 BN2P2M2是菱形时，当四边形 BP3N3M3是菱 形时，分别求解即可解决问题 解：（1）如图 1， 直线 yx+4 交 x 轴于 A，交 y 轴于 C， A（4，0），C（0，4）， AEEC， E（2，2）， 直线 OE 的解析式为 yx， D（，0）， 直线 CD 的解析式为 y3x+4， 由，解得， F（1，1）； （2）如图 2，过点 D 作 DTCD 交 BC 于点 T，过点 T 作 THx 轴于点 H， OAOB，故ACO45， OCBACD， DCBBCO+OCDACD+D
42、CO45， 故CDT 为等腰直角三角形，则 CDTD， CDO+HDT90，HDT+DTH90， CDODTH， CODDHT90，CDTD， DHTCOD（AAS）， HTOD，DHCO4 则 OH4， T（，）， 把 T（，）代入 ykx+4， 解得：k2； （3）如图 3， 当四边形 BN1P1M1是菱形时，连接 BP1交 OC 于 K，作 KHBC 于 H KBOKBH，KOOB，KHBC， KOKH， BKBK，KOBKHB90， RtKBORtKBH（HL）， BOBH2，设 OKKHx， BC2， CH22， 在 RtCHK 中，CK2KH2+CH2， （4x）2x2+（22）2， x1， 直线 BK 的解析式为 yx+1， 当 x1 时，y， P1（1， ） 当四边形 BN2P2M2是菱形时，可得直线 BP2的解析式为 y x 1， 当 x1 时，y， P2（1， ） 当四边形 BP3N3M3是菱形时，M3在直线 x1 时， M3（1，6）， P3与 M3关于 x 轴对称， P3（1，6）， 当点 N 在 B 的右侧，BP4M4N4为菱形时， 设点 P4的坐标为（1，m），则点 M4的坐标为（ ，m） 则 P4BP4M4， 即 32+m2（2 ）2，可得 m4 此时 P4（1，4） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（1，）或（1，）或（1，6）或（1， 4）