1、建昌县建昌县 20202021 学年度八年级上期末检测数学试卷学年度八年级上期末检测数学试卷 第一部分第一部分 选择题（共选择题（共 20 分）分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 ）是符合题目要求的 ） 1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾标志，这四个标志中是轴对称 图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式 1 3a 有意义，则a的取值范围是（ ） A. 0a B. 0a C. 3a D. 3a
2、 3. 下列计算正确的是（ ） A. 2 a 510 aa B. 3 47 ()aa C. 2 36 ()aa D. 2 0 ( 3)1a 4. 已知三角形两边的长分别是 4 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A 12 B. 10 C. 11 D. 3 5. 计算 2x3 x2的结果是（ ） A. x B. 2x C. 5 2x D. 6 2x 6. 如果把 5x xy 中的 x与 y都扩大为原来的 10 倍，那么这个代数式的值( ) A. 扩大为原来的 10倍 B. 扩大为原来的 5 倍 C. 缩小为原来的 1 2 D. 不变 7. 如图，点 D 是ABC边 BC延长线上的点，ACD
3、105 ，A70 ，则B等于（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 8. 下列各式是最简分式的是（ ） A. 3 12x B. 22 xy xy C. 22 xy xy D. 3 5 5 7 x x 9. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 10. 如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C也是图中的格点，且使 得ABC为等腰三角形，则符合条件的点 C 的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第二部分第二部分 非选择题（共非选择题（共 80 分）分） 二、填空题（本题共
4、二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分 ）分 ） 11. 分解因式： 32 44mmm _ 12. 六边形的内角和是_ 13 用科学记数法表示 0.000000305_ 14. 若 ABC 中，ABC，则此三角形是_三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 15. 若分式 1 2 x x 的值为 0，则 x的值为_ 16. 如图，已知在 RtABC中，C90 分别以 A、B为圆心，大于 1 2 AB长为半径作弧，过弧的交点作 直线，分别交 AB 于点 D，交 AC于点 E若A30 ，CE1，BC3，则ABE 的面积为 _ 17. 如图，已知在 ABC中，A=
5、90 ，AB=AC，CD 平分ACB，DEBC于 E，若 BC=15cm，则 DEB 的周长为_cm 18. 如图，AD是 ABC的角平分线，DEAC，垂足为 E，BF/AC交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平 分ABF， AE2BF， 给出下列四个结论： DEDF； DBDC； ADBC； AC3BF， ACBC 其 中正确的结论有_（填序号） 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 6 分，第分，第 20 题题 6 分，共分，共 12 分 ）分 ） 19. 计算： (32)(21)6(1)(1)xxxx 20. 画图题（保留痕迹，不写画法，写出结论） 如图所示，边长为 1 的正方
6、形网格中，ABC 的三个顶点 A，B，C都在格点上 作关于ABC关于 x 轴对称图形DEF， （其中 A，B，C 的对称点分别是 D，E，F） ，并写出点 D 坐标 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 8 分，第分，第 22 题题 8 分，共分，共 16 分 ）分 ） 21. 先化简，再求值： 1 (1) 2a 2 1 2 a a ，其中 1 1 ( ) 3 a 22. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且ACBD ，AB ，EF （1）求证：ADEBCFVV （2）若65BCF，求CMD度数 五、解答题（满分五、解答题（满分 8 分）分） 23. 抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到
7、加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原 来多 4 万个已知现在生产 100 万个口罩所需的时间与原来生产 60万个口罩所需的时间相同，求口罩厂原 来每天生产多少万个口罩？ 六、解答题（满分六、解答题（满分 8 分）分） 24. 如图，点 E在 CD上，BC 与 AE 交于点 F，ABCB，BEBD，12 （1）求证：AECD； （2）证明：13 七、解答题（满分七、解答题（满分 10 分）分） 25. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边 三角形 DEF，连接 CF （1）如图 1，若点 D在边 B
8、C 上，直接写出 CE，CF与 CD 之间的数量关系； （2）如图 2，若点 D在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF与 CD之间存在怎样的数量关系？并说明 理由； （3）如图 3，若点 D在边 CB 的延长线上，请直接写出 CE，CF与 CD之间的数量关系 八、解答题（满分八、解答题（满分 10 分）分） 26. 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们 把这种思想叫“算两次”“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多 重要的公式 （1）如图 1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小
9、长方形，然后按图 2 的 方式拼成一个正方形 用“算两次”的方法计算图 2 中阴影部分的面积：第一次列式为 ，第二次列式为 ，因 为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ； 在中，如果7ab，10ab，请直接用题中的等式，求阴影部分的面积； （2） 如图 3， 两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形， 用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系 建昌县建昌县 20202021 学年度八年级上期末检测数学试卷学年度八年级上期末检测数学试卷 第一部分第一部分 选择题（共选择题（共 20 分）分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题
10、共 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 ）是符合题目要求的 ） 1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称 图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可 【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，故选项正确； D、不是轴对称图形，故选项错误 故选：C 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两
11、部分折叠后可重合 2. 若分式 1 3a 有意义，则a的取值范围是（ ） A. 0a B. 0a C. 3a D. 3a 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义时，即分式的分母不等于零解答即可 【详解】解：由题意得30a ， 3a， 故选 D 【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分式的分母不等于 0，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键 3. 下列计算正确的是（ ） A. 2 a 510 aa B. 3 47 ()aa C. 2 36 ()aa D. 2 0 ( 3)1a 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、零指数幂法则判断即可 【详解】解：A、 252
12、 5710 aaaaa 计算不正确，不符合题意； B、 3 43 4127 () aaaa计算不正确，不符合题意； C、 3 2 326 ()aaa 计算正确，符合题意； D、 2 0 ( 3)1a，a没有限定不为 0的条件，计算不正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握同底数 幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、零指数幂的运算法则 4. 已知三角形两边的长分别是 4 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 11 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设第三边的长为 l，再根据三角形的三边关
13、系进行解答即可 【详解】解：设第三边的长为 l，则 74l74，即 3l11， 三角形第三边的长可能是 10 故选：B 【点睛】 本题考查的是三角形的三边关系， 即三角形任意两边之和大于第三边； 任意两边之差小于第三边 5. 计算 2x3 x2的结果是（ ） A. x B. 2x C. 5 2x D. 6 2x 【答案】B 【解析】 【详解】2x3 x2=2x3-2=2x， 故选 B. 6. 如果把 5x xy 中的 x与 y都扩大为原来的 10 倍，那么这个代数式的值( ) A. 扩大为原来的 10 倍 B. 扩大为原来的 5倍 C. 缩小为原来的 1 2 D. 不变 【答案】D 【解析】
14、【分析】根据分式的基本性质解答即可 【详解】解：由题意可知： 5 10 1010 x xy = 10 5 10 x xy = 5x xy ，故分式的值不变 故选：D 【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题型，熟练掌握分式的性质是关键 7. 如图，点 D 是ABC边 BC延长线上的点，ACD105 ，A70 ，则B等于（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解 【详解】解：A=70 ，ACD=105 ， B=ACD-A=105 -70 =35 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角
15、形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关 键 8. 下列各式是最简分式的是（ ） A. 3 12x B. 22 xy xy C. 22 xy xy D. 3 5 5 7 x x 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义逐项分析即可 【详解】解：A. 3 12x = 1 4x ，故不是最简分式； B. 22 xy xy = xyxy xy xy ，故不是最简分式； C. 22 xy xy 是最简分式； D. 3 5 5 7 x x = 2 5 7x ，故不是最简分式； 故选 C 【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去
16、 1以外没 有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式 9. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答 【详解】解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形 故选：A 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记 10. 如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C也是图中的格点，且使 得ABC为等腰三角形，则符合条件的点 C 的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D
17、. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况：AB 为底边，C 点在 AB 的垂直平分线上；AB 为腰且A 为顶 角时，AB 为腰且B 为顶角时，分别判定可求解 【详解】解：如图所示： 符合条件的点 C 的个数为 8 故选 B 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题 的关键 第二部分第二部分 非选择题（共非选择题（共 80 分）分） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分 ）分 ） 11. 分解因式： 32 44mmm _ 【答案】 2 (2)m m 【解析】
18、 【分析】先提公因式，再按照完全平方公式分解因式即可. 【详解】解： 32 44mmm 2 2 =442.m mmm m 故答案为： 2 2m m 【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握公因式的确定，完全平方公式的运算是解题 的关键. 12. 六边形的内角和是_ 【答案】720 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式计算 【详解】解：六边形的内角和是 180 （62）720 故答案为：720 【点睛】本题主要考查了多边形内角和，解题的关键是掌握好多边形内角和公式： （n2）180 13. 用科学记数法表示 0.000000305_ 【答案】3 05 107 【解析】 【分析】
19、绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n，与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 【详解】解：0.0000003053.05 107 故答案：3.05 10 7 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第 一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 14. 若ABC中，ABC，则此三角形是_三角形（填“锐角” “直角”或“钝角” ） 【答案】直角 【解析】 【分析】根据三角形内角和 180解题 【详解】解：+=180ABCQ，ABC，
20、 2=180C =90C 此三角形是直角三角形， 故答案为：直角 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 15. 若分式 1 2 x x 的值为 0，则 x的值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式值为 0 的条件即分子为 0且分母不为 0进行计算即可得出答案 【详解】解：分式 1 2 x x 的值为 0， x-1=0， x=1. 故答案为：1 【点睛】本题考查的是分式的值为 0 的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零 16. 如图，已知在 RtABC中，C90 分别以 A、B为圆心，大于 1 2 AB长为半径作
21、弧，过弧的交点作 直线，分别交 AB 于点 D，交 AC于点 E若A30 ，CE1，BC 3，则ABE 的面积为 _ 【答案】3 【解析】 【分析】由尺规作图得到 DE为 AB的垂直平分线，然后利用垂直平分线性质和勾股定理求得AE，进而求 得三角形的面积 【详解】依题意，DE 为 AB 的垂直平分线， BEAE QC90 ，CE1，BC 3 22 2BEECBC 2AE 11 233 22 ABE SAEBC 故答案为：3 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，勾股定理，由尺规作图得到 DE为 AB的垂直平分线是解题的 关键 17. 如图，已知在ABC中，A=90 ，AB=AC，CD平分AC
22、B，DEBC于 E，若 BC=15cm，则DEB 的周长为_cm 【答案】15 【解析】 【详解】试题分析：根据角平分线的性质可得：DE=AD，结合A=90 ，CED=90，可得：ACD和 ECD 全等，则 AC=CE，即BDE 的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=AC+BE=CE+BE=BC=15cm 点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得出ACD 和ECD全等是解 决这个问题的关键在三角形的题目中，如果出现角平分线，除了想到角相等之外，还应该想到角平分线 的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；如果题目中出现中垂线，我们也不能忘记中垂线的
23、性质： 中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等 18. 如图，AD是ABC 的角平分线，DEAC，垂足为 E，BF/AC 交 ED的延长线于点 F，若 BC恰好平分 ABF，AE2BF，给出下列四个结论：DEDF；DBDC；ADBC；AC3BF，ACBC其 中正确的结论有_（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可证ACBABC，可得 ACAB，由等腰三角形的性质可得 ADBC，CDBD，由“ASA”可证CDEBDF，可得 SCDESBDF，CEBF，DEDF，即可求解 【详解】解：BC恰好平分ABF， ABCCBF， BF/AC， ACBCBF， ACBABC，
24、 ACAB， AD是ABC的角平分线， ADBC，CDBD，故，正确 CDBD，且ACBCBF，CDEBDF， CDEBDF（ASA） SCDESBDF，CEBF，DEDF，故正确， AE2BF， AC3BF，故正确， AC 与 BC 的长度不相等， ，故错误； 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰三角形的判定和性质，证明CDE BDF 是本题的关键 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 6 分，第分，第 20 题题 6 分，共分，共 12 分 ）分 ） 19. 计算： (32)(21)6(1)(1)xxxx 【答案】4x 【解析】 【分析】先根据多项式与
25、多项式的乘法法则以及平方差公式计算，再去括号合并同类项即可 【详解】解：(32)(21)6(1)(1)xxxx 22 63426(1)xxxx 22 6266xxx 4x 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键混合运算的顺序 是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的， 并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序 20. 画图题（保留痕迹，不写画法，写出结论） 如图所示，边长为 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上 作关于ABC关于 x 轴的对称图形
26、DEF， （其中 A，B，C 的对称点分别是 D，E，F） ，并写出点 D 坐标 【答案】画图见解析，( 2, 4)D 【解析】 【分析】分别作出点 A、B、C 关于x轴的对称点 D、E、F，即可得到DEF及点D坐标 【详解】解：如图，DEF 即为所求作的图形，由图象可知，点( 2, 4)D 【点睛】本题考查网格作图作关于x轴对称的图形，写出对称点的坐标等知识，是基础考点，掌握相关 知识是解题关键 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 8 分，第分，第 22 题题 8 分，共分，共 16 分 ）分 ） 21. 先化简，再求值： 1 (1) 2a 2 1 2 a a ，其中 1 1 ( )
27、3 a 【答案】 11 , 1 2a 【解析】 【分析】先通分，计算分式的减法，再将分式的除法转化为乘法，结合平方差公式分解因式，化简，最后 由负整指数幂的性质解得 a 的值，代入解题即可 【详解】解： 1 (1) 2a 2 1 2 a a 2 1 2 a a 2 2 1 a a 1 2 a a 2 (1)(1) a aa 1 1a 当 1 1 ( )3 3 a 时 原式 11 3 12 【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及平方差公式因式分解、负整指数幂的性质等知识，是重要考点， 掌握相关知识是解题关键 22. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且ACBD ，AB ，EF （1）求证：AD
28、EBCFVV （2）若65BCF，求CMD的度数 【答案】 （1）证明见解析； （2）50 【解析】 【分析】 （1）由线段的和差求出 AD=BC，由角边角证明VAEDVBFC； （2）由全等三角形的性质，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和求出DMF的度数为 130，进 而可求得CMD的度数 详解】 （1）证明：ACBDQ， ACCDBD CD 即ADBC， 在 ADEV与BCF中， AB EF ADBC ADEBCF AAS； （2）ADEBCFQVV， BCFADE， 65BCFQ， 65ADE， DMFBCFADE 6565 130， 18050CMDDMF 【点睛】本题综合考查了
29、三角形全等的判定与性质，线段的和差，三角形的一个外角等于不相邻两个内角 的和等相关知识，重点是三角形全等的判定与性质 五、解答题（满分五、解答题（满分 8 分）分） 23. 抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原 来多 4 万个已知现在生产 100 万个口罩所需的时间与原来生产 60万个口罩所需的时间相同，求口罩厂原 来每天生产多少万个口罩？ 【答案】6 【解析】 【分析】设原来每天生产 x 万个口罩，据题意列分式方程即可解决问题 【详解】解：设原来每天生产 x 万个口罩，根据题意，得 100 4x 60 x 解得6x 经检验，6x是原方程的
30、解 答：原来每天生产6万个口罩 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键 六、解答题（满分六、解答题（满分 8 分）分） 24. 如图，点 E在 CD上，BC 与 AE 交于点 F，ABCB，BEBD，12 （1）求证：AECD； （2）证明：13 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据角的和差可得ABE=CBD ，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得 A=C ，再根据对顶角相等可得 AFB=CFE ，然后根据三角形 的内角和定理、等量代换即可得证 【详解】 （1）证明：1=2， ABE=CBD， 在AB
31、E和CBDV中， ABCB ABECBD BEBD ， ABECBD（SAS） ， AECD； （2）由（1）已证，知，ABECBD A=C， 又AFB=CFE， 13 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌 握三角形全等的判定定理与性质是解题关键 七、解答题（满分七、解答题（满分 10 分）分） 25. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边 三角形 DEF，连接 CF （1）如图 1，若点 D在边 BC 上，直接写出 CE，CF与 CD 之间的数量关系； （2）
32、如图 2，若点 D在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF与 CD之间存在怎样的数量关系？并说明 理由； （3）如图 3，若点 D在边 CB 的延长线上，请直接写出 CE，CF与 CD之间的数量关系 【答案】 （1）CECFCD； （2）CFCECD，理由见解析； （3）CDCECF 【解析】 【分析】 （1）在 CD 上截取 CH=CE，易证VCEH 是等边三角形，得 EH=EC=CH，证明VDEHVFEC，得 DH=CF，即可得出结论； （2）先证VGCE为等边三角形，再证VEGDVECF，得到 GDCF，又因为 GDCGCD，得 CFCG CD，则 CFCECD； （3）先证VGC
33、E 为等边三角形，再证 CGCEEG， GEC60 ，EDEF，DEGFEC，得VEGD VECF，则 GDCF，即可得到 CE +CFCD 【详解】 （1）证明：CE+CF=CD， 理由如下：在 CD 上截取 CH=CE，连接 EH，如图 1 所示： VABC 是等边三角形， ECH=60 ， VCEH 是等边三角形， EH=EC=CH，CEH=60 ， VDEF 是等边三角形， DE=FE，DEF=60 ， DEH+HEF=FEC+HEF=60 ， DEH=FEC， 在VDEH和VFEC 中， DEFE DEHFEC EHEC ， VDEHVFEC（SAS） ， DH=CF， CD=CH+
34、DH=CE+CF， CE+CF=CD； （2）解：CFCECD 理由如下： VABC 是等边三角形， ABACB60 ， 作/EG AB，交 BC于点 G，如图 2所示 EGCB60 ，GECA60 ， EGCGECACB60 ， VGCE 为等边三角形， CGCEEG， VEDF 为等边三角形， EDEF，DEF60 ， DEGFEC， VEGDVECF（SAS） ， GDCF， 又 GDCGCD CFCECD （3）VABC等边三角形， AABCACB60 ， 作/EG AB，交 BC于点 G，如图所示 EGCABC60 ，GECA60 ， EGCGECACB60 ， VGCE 为等边三角
35、形， CGCEEG， GEC60 GECGEF +FEC 60 VEDF 为等边三角形， EDEF，DEF60 ， DEFGEF +DEG60 DEGFEC， VEGDVECF（SAS） ， GDCF， 又GDCD-CG，CGCE CE +CFCD 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助 线构建等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型 八、解答题（满分八、解答题（满分 10 分）分） 26. 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们 把这种思想叫“算两次” “算两次”也称作富比尼原理，是一种
36、重要的数学思想，由它可以推导出很多重 要的公式 （1）如图 1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 2 的 方式拼成一个正方形 用“算两次”的方法计算图 2 中阴影部分的面积：第一次列式为 ，第二次列式为 ，因 为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ； 在中，如果7ab，10ab，请直接用题中的等式，求阴影部分的面积； （2） 如图 3， 两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形， 用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系 【 答 案 】 （ 1 ） 2 ()ab， 2 ()4ab
37、ab， 22 ()()4ababab； 或 2 ()4aba b， 2 ()ab， 22 ()4()ababab；9； （2） 222 abc 【解析】 【分析】 （1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形 的面积，从而可建立等式；直接利用公式 22 ()()4ababab，再整体代入求值即可； （2）第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，再整理即可得到答 案. 【详解】解： （1）因为小正方形的边长为：,ab 所以第一次计算的面积为： 2 ()ab， 第二次计算的面积为： 2 ()4abab， 所以： 22 ()()4ababab； 或 2 ()4abab， 2 ()ab， 22 ()4()ababab 7ab，10ab 22 ()()4ababab 2 74 109 （3）第一次利用梯形的面积公式图形面积为： 21 , 2 ab 第二次利用图形的面积和计算为： 2 11 2, 22 abc 22 111 ()2 222 ababc 整理得： 222 22aabbabc 222 abc 【点睛】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式，掌握等面积法推导两个完全平方公式之间的关 系，推导勾股定理是解题的关键.