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本文(第四章 图形的相似 单元测试(含答案解析)2021-2022学年北师大版九年级数学上册)为本站会员(花好****3)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

第四章 图形的相似 单元测试(含答案解析)2021-2022学年北师大版九年级数学上册

1、第四章 图形的相似(满分150分,时间120分钟)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)1已知(),则下列比例式成立的是( )ABCD2如图,平行四边形ABCD中,E是BC延长线上一点,连结AE交CD于F,则图中相似的三角形共有( )A1对 B2对 C3对D4对3如图,点是的边上一点,连接,则下列条件中,不能判定的是( )A B CD4下面四条线段中,不能成比例的是( )A3,6,2,4B1, C4,6,5,10D2,5如图,点G、F分别是的边、上的点,的延长线与的延长线相交于点A,交于点E,则下

2、列结论错误的是( )ABCD6如图,l1l2l3,直线a,b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F若,DE4,则EF的长是()ABC6D107如图,中,于D,下列条件,;其中一定能够判定是直角三角形的有( )种A4B3C2D18如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是()A B CD9如图,ABC是ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若ABC的面积与ABC的面积比是4:9,则OB:OB为()A2:3B3:2C4:5D4:910在平行四边形ABCD中,点E在AD上,且AE:ED=3:1,CE的延长线与BA的延长线交于点F,则SAFE:S四边形

3、ABCE为( )A3:4B4:3C7:9D9:7二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)11如果四条线段m,n,x,y成比例,若m2,n8,y20,则线段x的长为_.12若,则_.13如图,一路灯距地面5.6米,身高1.6米的小方从距离灯的底部(点O)5米的A处,沿OA所在的直线行走到点C时,人影长度增长3米,则小方行走的路程AC=_14如图, ,DE=2AE,CF=2BF,且DC=5,AB=8,则EF=_三、解答题(本大题共6个小题,共54分,解答过程写在答题卡上)15如图,在ABC中,AB=AC,BD=CD,CEAB于E求证:ABDCBE 16如图,在平行四边

4、形中,对角线,交于点. 为中点,连接交于点,且.(1)求的长;(2)若的面积为2,求四边形的面积. 17如图,在中,为边上的中线,于点E.(1)求证:;(2)若,求线段的长. 18如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EFAM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N(1)求证:ABMEFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长 19正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形在图中正方形网格(每个小正方形边长为1)中有一格点ABC和一线段DE(1)以DE为一边做格点DEF与ABC相似;(2)直接写出DEF的面积 20已知中,、分别为、上

5、的点,且,交于,连并延长交于 (1)当时,求的值; (2)当时,求证:; (3)当_时,为中点 B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小題,每小題4分,共20分,答案写在答题卡上)21在与中,若,且的面积为,则的面积为_ 22如图,由个边长为的正方形组成的网格若(相似比不是),且,的顶点都是网格内正方形的顶点,则的面积是_ 23如图,在矩形ABCD中,AEBD于点E,S矩形ABCD=40cm2,SABE:SDBA=1:5,则AE=_ 24如图,在中,在边上有个不同的点,过这个点分别作的内接矩形,设每个矩形的周长分别为,则_25如图,中,厘米,厘米,点从出发,以每秒厘米的速度向运动,点从同时出

6、发,以每秒厘米的速度向运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以、为顶点的三角形与相似时,运动时间为_ 二、解答题(本大题共3个小题,共30分解答过程写在答题卡上)26如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFE=B(1)求证:ADFDEC;(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长 27如图,在中, cm, cm,点P从A出发,以的速度向B运动,同时点Q从C出发,以的速度向A运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为t.(1)用含t的代数式表示:_,(2)当以A,P,Q为顶点的三角形

7、与相似时,求运动时间是多少.28如图1,ABC中,点D在线段AB上,点E在线段CB延长线上,且BECD,EPAC交直线CD于点P,交直线AB于点F,ADPACB(1)图1中是否存在与AC相等的线段?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由;(2)若将“点D在线段AB上,点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上,点E在线段BC延长线上”,其他条件不变(如图2)当ABC90,BAC60,AB2时,求线段PE的长第四章 图形的相似(满分150分,时间120分钟)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案

8、涂在答题卡上)1已知(),则下列比例式成立的是( )ABCD【答案】B【分析】分别将四个选项根据“内项之积等于外项之积”进行计算,然后与条件进行对比即可判断【解析】解:A.,由内项之积等于外项之积得,与条件不符,故选项A不符合题意;B.,由内项之积等于外项之积得,与条件相符,故选项B符合题意;C.,由内项之积等于外项之积得,与条件不符,故选项C不符合题意;D.,由内项之积等于外项之积得,与条件不符,故选项D不符合题意;故选:B【点睛】此题主要考查了比例的性质,正确将已知变形是解题关键2如图,平行四边形ABCD中,E是BC延长线上一点,连结AE交CD于F,则图中相似的三角形共有( )A1对B2对

9、C3对D4对【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行,利用“平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形,然后即可选择答案【解析】在平行四边形ABCD中,ABCD,BCAD,所以,ABEFCE,FCEFDA,ADFEBA,共3对故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定,利用平行四边形的对边互相平行的性质,再结合 “平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”即可解题3如图,点是的边上一点,连接,则下列条件中,不能判定的是( )ABCD【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理(有两组角分别相等的

10、两三角形相似,有两边的比相等,并且它们的夹角也相等的两三角形相似)逐个进行判断即可【解析】解:A、由AA,不能判定ABPACB,故本选项符合题意;B、由AA,能判定ABPACB,故本选项不符合题意;C、由AA,ABPC,能判定ABPACB,故本选项不符合题意;D、由AA,APBABC,能判定ABPACB,故本选项不符合题意;故选:A【点睛】本题考查了相似三角形的判定,能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键4下面四条线段中,不能成比例的是( )A3,6,2,4B1,C4,6,5,10D2,【答案】C【分析】若a、b 、c、d成比例,则有a:b=c:d,据此将各选项代入求解即可.【解析】A. 3

11、:6=2:4,四条线段成比例,故不符合题意;B. 1:=:,四条线段成比例,故不符合题意;C. 4:65:10,四条线段不成比例,故符合题意;D. 2:=:,四条线段成比例,故不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了成比例线段,注意叙述成比例线段时,各个线段的顺序.5如图,点G、F分别是的边、上的点,的延长线与的延长线相交于点A,交于点E,则下列结论错误的是( )ABCD【答案】C【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案【解析】交GA于点E,所以,A,B,D正确,故选:C【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理,找准对应关系是解答此题的关键6如图,l1l2l3,直线a,b与l1、l2、l

12、3分别相交于A、B、C和点D、E、F若,DE4,则EF的长是()ABC6D10【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例可得,代入计算即可解答【解析】解:l1l2l3,即,解得:EF6故选:C【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理,熟悉定理是解题的关键7如图,中,于D,下列条件,;其中一定能够判定是直角三角形的有( )种A4B3C2D1【答案】B【分析】对题干中给出的条件逐一验证,证明BAC=90即可解题【解析】解:B+DAC=90,故该条件无法判定ABC是直角三角形;B=DAC,BAD+B=90,BAD+DAC=90,即BAC=90,故该条件可以判定ABC是直角三角形;,且ADC=BDA=

13、90,则ADCBDA,CAD=ABD,又ABD+BAD=90,BAD+CAD=90,该条件可以判定ABC是直角三角形;AB2=BDBC,B=B,ABDCBA,BAC=ADC=90,故该条件可以判定ABC是直角三角形;故选:B【点睛】本题考查了直角三角形的判定,考查了相似三角形的判定,考查了相似三角形对应角相等的性质,本题中求证ABDCBA是解题的关键8如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是()ABCD【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可【解析】因为中有一个角是135,选项中,有135角的三角形只有B,且满足两边成比例夹角相等,故选B【点睛】

14、本题考查相似三角形的性质,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型9如图,ABC是ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若ABC的面积与ABC的面积比是4:9,则OB:OB为()A2:3B3:2C4:5D4:9【答案】A【分析】根据位似的性质得ABCABC,再根据相似三角形的性质进行求解即可得.【解析】由位似变换的性质可知,ABAB,ACAC,ABCABC,ABC与ABC的面积的比4:9,ABC与ABC的相似比为2:3,故选A【点睛】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位

15、似中心10在平行四边形ABCD中,点E在AD上,且AE:ED=3:1,CE的延长线与BA的延长线交于点F,则SAFE:S四边形ABCE为( )A3:4B4:3C7:9D9:7【答案】D【解析】试题分析:四边形ABCD是平行四边形,AEBC,AD=BC,FAEFBC,AE:ED=3:1,SAFE:S四边形ABCE=9:7故选D考点:1、平行四边形的性质;2、相似三角形的判定与性质二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)11如果四条线段m,n,x,y成比例,若m2,n8,y20,则线段x的长为_.【答案】5【解析】根据题意可知m:n=x:y,即2:8=x:20,解得:

16、x=5故答案为:512若,则_.【答案】8【分析】由已知设a=2k,b=3k,c=4k,代入所求式子进行计算即可得.【解析】,设a=2k,b=3k,c=4k,=8,故答案为:8.【点睛】本题考查了比例的性质,利用参数进行解答是关键.13如图,一路灯距地面5.6米,身高1.6米的小方从距离灯的底部(点O)5米的A处,沿OA所在的直线行走到点C时,人影长度增长3米,则小方行走的路程AC=_【答案】7.5米【解析】AEOD,FCOD,AEBOGB,,解得AB=2m;OA所在的直线行走到点C时,人影长度增长3米,DC=5m同理可得DFCDGO,解得AC=7.5m故答案为7.5m14如图, ,DE=2A

17、E,CF=2BF,且DC=5,AB=8,则EF=_【答案】7【分析】延长AD、BC交于G,根据平行线分线段成比例可得GD:GA=5:8,进一步得到DC:EF=5:7,依此即可求解【解析】延长AD、BC交于GABEFDC,DC=5,AB=8,GD:GA=5:8,DE=2AE,GD:GE=5:7,DC:EF=5:7,解得EF=7故答案为7【点睛】考查了平行线分线段成比例,平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例三、解答题(本大题共6个小题,共54分,解答过程写在答题卡上)15如图,在ABC中,AB=AC,BD=CD,CEAB于E

18、求证:ABDCBE【答案】证明见解析【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得ADBC,然后求出ADB=CEB=90,再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明【解析】在ABC中,AB=AC,BD=CD,ADBC又CEAB,ADB=CEB=90,又B=B,ABDCBE【点睛】本题考查了相似三角形的判定,正确找到相似的条件是解题的关键16如图,在平行四边形中,对角线,交于点. 为中点,连接交于点,且.(1)求的长;(2)若的面积为2,求四边形的面积.【答案】(1)6;(2)5.【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形,得到对边平行且相等,且对角线互相平分,根据两直线平行内错角相等得到两对角相等,进

19、而确定出三角形MND与三角形CNB相似,由相似得比例,得到DN:BN=1:2,设OB=OD=x,表示出BN与DN,求出x的值,即可确定出BD的长;(2)由相似三角形相似比为1:2,得到SMND:SCND=1:4,可得到MND面积为1,MCD面积为3,由S平行四边形ABCD=ADh,SMCD=MDh=ADh,=4SMCD,即可求得答案【解析】(1)平行四边形ABCD,ADBC,AD=BC,OB=OD,DMN=BCN,MDN=NBC,MNDCNB,M为AD中点,所以BN=2DN,设OB=OD=x,则有BD=2x,BN=OB+ON=x+1,DN=x1,x+1=2(x1),解得:x=3,BD=2x=6

20、;(2)、MNDCNB,且相似比为1:2,MN:CN=1:2,SMND:SCND=1:4,DCN的面积为2,MND面积为1,MCD面积为3,设平行四边形AD边上的高为h,S平行四边形ABCD=ADh,SMCD=MDh=ADh,S平行四边形ABCD=4SMCD=12,SABD=6,S四边形ABNM= SABD- SMND =6-1=5【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定,解题的关键是熟悉相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.17如图,在中,为边上的中线,于点E.(1)求证:;(2)若,求线段的长.【答案】(1)见解析;(2).【分析】对于(1),由已知条件可以得到B=C,ABC是等腰三角形

21、,利用等腰三角形的性质易得ADBC,ADC=90;接下来不难得到ADC=BED,至此问题不难证明;对于(2),利用勾股定理求出AD,利用相似比,即可求出DE.【解析】(1)证明:,.又为边上的中线,.,.(2),.在中,根据勾股定理,得.由(1)得,即,.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握判定定理.18如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EFAM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N(1)求证:ABMEFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长【答案】(1)见解析;(2)4.9【解析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,B=90,ADBC,

22、得出AMB=EAF,再由B=AFE,即可得出结论;(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由ABMEFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的长试题解析:(1)四边形ABCD是正方形,AB=AD,B=90,ADBC,AMB=EAF,又EFAM,AFE=90,B=AFE,ABMEFA;(2)B=90,AB=12,BM=5,AM=13,AD=12,F是AM的中点,AF=AM=6.5,ABMEFA,即,AE=16.9,DE=AE-AD=4.9考点:1.相似三角形的判定与性质;2.正方形的性质19正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形在图中正方形网格(每个小正方形边长为1

23、)中有一格点ABC和一线段DE(1)以DE为一边做格点DEF与ABC相似;(2)直接写出DEF的面积【答案】(1)作图见解析;(2)7.5【分析】(1)由于每个小正方形边长为1,先利用勾股定理求出ABC的三边分别为AB=,BC=,AC=,DE=5,根据三边对应成比例的两三角形相似,可以画出格点DEF,使DF=5,EF=;(2)根据三角形的面积公式求解即可【解析】(1)如图所示,DEF与ABC相似;(2)DEF的面积=53=7.5【点睛】本题考查了利用相似变换作图,勾股定理,相似三角形的判定,三角形的面积,熟练掌握网格结构,根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键20已知中,、分别为、上的点,

24、且,交于,连并延长交于 (1)当时,求的值; (2)当时,求证:; (3)当_时,为中点【答案】(1);(2)详见解析;(3).【分析】(1)连接DE交AF于K,根据平行线分线段成比例定理,即可证得DEBC,继而可得,根据比例的性质,即可求得的值;(2)由n1时,ADBD,AECE,可得O是ABC的重心,继而可得BFCF;(3)根据(1)的证明方法,即可求得答案【解析】(1)连接DE交AF于K,DEBC,设OKa,则OF3a,KF4a,AK2a,OAAK+OK3a,1;(2)n1时,ADBD,AECE,O是ABC的重心,AF是ABC的中线,BFCF;(3),DEBC,设OKa,则OF3a,KF

25、4a,AK2a,OAAK+OK3a,1,当n时,O为AF中点故答案为:【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质此题难度适中,解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法 B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小題,每小題4分,共20分,答案写在答题卡上)21在与中,若,且的面积为,则的面积为_【答案】【分析】三边对应成比例,两三角形相似,又根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,列方程求解【解析】,ABCDEF,ABC的面积为4,DEF的面积为:9故答案为:9【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟记相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键22如图,由个边长为的正方形组成的

26、网格若(相似比不是),且,的顶点都是网格内正方形的顶点,则的面积是_【答案】,【分析】易求ABC的面积,因为ABCABC(相似比不是1),利用相似三角形的性质:面积比等于相似比的平方即可求出ABC的面积【解析】ABC的三边为,ABC三边可能为2,;2,2,2,5,5;4,2,2;ABCABC,SABC22221111.5,ABC的面积是1.5()23;1.5226;1.5()27.5;1.5(2)212故答案为:3,6,7.5,12【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解,相似三角形面积比等于相似比的平方解题的关键是根据ABC的三边长找到它们的对应边最长的长度为4,2,223如图,在矩形ABC

27、D中,AEBD于点E,S矩形ABCD=40cm2,SABE:SDBA=1:5,则AE=_【答案】4【分析】利用矩形面积,以及所给的两个三角形的面积比,可求出ABE,ADE的面积,从而得到AB:AD,结合ADAB=40,可求AB2、AD2,则利用勾股定理可求出BD,再利用三角形ABD的面积公式可求出AE【解析】S矩形ABCD=40cm2,则ABD的面积是20cm2,SABE:SDBA=1:5,ABE的面积是4,DAE的面积是16,在直角ABD中,AEBD,则ABEDAE,面积的比是4:16,AB:AD=1:2,根据ABD的面积是20,即ABAD=40,得到方程组,解得:AB2=20,AD2=80

28、,BD2=100,BD=10,又SABD=BDAE=20,AE=4故答案为4【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算方法,勾股定理,以及相似三角形的性质,面积的比等于相似比的平方24如图,在中,在边上有个不同的点,过这个点分别作的内接矩形,设每个矩形的周长分别为,则_【答案】400【分析】首先过点A作AHBC于H,由AB=AC=,BC=2,可求得BH的长,由勾股定理可求得AH的长,又由四边形P1E1F1G1是矩形,可得E1P1=F1G1,E1F1=P1G1,E1P1BC,然后由平行线分线段成比例定理,即可求得E1P1=2BP1,F1G1=2CG1,则可求得L1的值,同理可求得L2,L100的值

29、,继而求得答案【解析】过点A作AHBC于H,AB=AC=,BC=2BH=BC=1,AH=2,四边形P1E1F1G1是矩形,E1P1=F1G1,E1F1=P1G1,E1P1BC,E1P1AH,即,E1P1=2BP1,同理:F1G1=2CG1,矩形P1E1F1G1的周长为:E1P1+E1F1+P1G1+F1G1=2P1G1+2BP1+2CG1=2(P1G1+BP1+CG1)=2BC=4,L1=4,同理:L2=L3=L100=4,L1+L2+L100=4100=400故答案为400【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识此题难度较大,注意数形结合思想与转化思想的应用是解

30、此题的关键25如图,中,厘米,厘米,点从出发,以每秒厘米的速度向运动,点从同时出发,以每秒厘米的速度向运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以、为顶点的三角形与相似时,运动时间为_【答案】或秒【分析】此题应分两种情况讨论(1)当APQABC时;(2)当APQACB时利用相似三角形的性质求解即可【解析】(1)当APQABC时,设用t秒时,以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似则AP2t,CQ3t,AQ163t于是,解得,t;(2)当APQACB时,设用t秒时,以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似则AP2t,CQ3t,AQ163t于是,解得t4故答案为t或t4【点睛】此题

31、考查了相似三角形的判定和性质,根据题意将对应边转换,得到两组相似三角形是解题的关键二、解答题(本大题共3个小题,共30分解答过程写在答题卡上)26如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFE=B(1)求证:ADFDEC;(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)利用对应两角相等,证明两个三角形相似ADFDEC.(2)利用ADFDEC,可以求出线段DE的长度;然后在在RtADE中,利用勾股定理求出线段AE的长度.【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADBCC+B=180,AD

32、F=DECAFD+AFE=180,AFE=B,AFD=C在ADF与DEC中,AFD=C,ADF=DEC,ADFDEC(2)四边形ABCD是平行四边形,CD=AB=8由(1)知ADFDEC,在RtADE中,由勾股定理得:27如图,在中, cm, cm,点P从A出发,以的速度向B运动,同时点Q从C出发,以的速度向A运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为t.(1)用含t的代数式表示:_,(2)当以A,P,Q为顶点的三角形与相似时,求运动时间是多少.【答案】(1)2t,(2)运动时间为s或4s【分析】(1)利用速度公式求解;(2)由于PAQ=BAC,利用相似三角形的判

33、定,当时,APQABC,即;当时,APQACB,即,然后分别解方程即可【解析】(1)2t , ;(2)连接PQ,当时,此时,解得;,当时,此时,解得.运动时间为s或4s.【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用.28如图1,ABC中,点D在线段AB上,点E在线段CB延长线上,且BECD,EPAC交直线CD于点P,交直线AB于点F,ADPACB(1)图1中是否存在与AC相等的线段?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由;(2)若将“点D在线段AB上,点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上,点E在线段BC延长线上”

34、,其他条件不变(如图2)当ABC90,BAC60,AB2时,求线段PE的长【答案】(1)见解析;(2)6【解析】(1)先证CBDABC,再转化比例线段即可得出答案;(2)利用平行线的性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半、三角形中位线定理即可得出答案.解:(1)AC=BF证明如下:如图1,ADP=ACD+A,ACB=ACD+BCD,ADP=ACB,BCD=A,又CBD=ABC,CBDABC,FEAC,;由可得,BE=CD,BF=AC;(2)如图2,ABC=90,BAC=60,ACB=30=ADP,BCD=60,ACD=6030=30,PEAC,E=ACB=30,CPE=ACD=30,CP=CE,BE=CD,BC=DP,ABC=90,D=30,BC=CD,DP=CD,即P为CD的中点,又PFAC,F是AD的中点,FP是ADC的中位线,FP=AC,ABC=90,ACB=30,AB=AC,FP=AB=2,DP=CP=BC,CP=CE,BC=CE,即C为BE的中点,又EFAC,A为FB的中点,AC是BEF的中位线,EF=2AC=4AB=8,PE=EFFP=82=6点睛:本题考查了相似及三角形中位线等知识.综合利用所学知识并进行推理判断是解题的关键.