1、第一章第一章 预备知识预备知识 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 U2， 1， 0， 1， 2， 3， A1， 0， 1， B1， 2， 则U(AB) ( ) A.2，3 B.2，2，3 C.2，1，0，3 D.2，1，0，2，3 答案 A 解析 由题意可知 AB1，0，1，2，则U(AB)2，3，故选 A. 2.若命题 p：xR，2x210，则该命题的否定是( ) A.xR，2x210 答案 C 解析 该命题的否定为xR，2x210.故选 C. 3
2、.设集合 M1，1，N x|1 x20 ，则下列结论正确的是( ) A.NM B.NM C.MN D.MNR 答案 C 解析 由1 x20 x1 2， N(，0) 1 2， ， 又M1，1，可知 C 正确，A、B、D 错误.故选 C. 4.若 ab，则下列各式中正确的是( ) A.acbc B.ac2bc2 C.ac2bc2 D.1 a1)， 当xa时， y取得最小值b， 则ab等于( ) A.3 B.2 C.3 D.8 答案 C 解析 yx1 9 x152 （x1） 9 x151， 当且仅当 x1 9 x1，即 x2 时取等号，即 ab3，故选 C. 6.使不等式 2x25x30 成立的一个
3、充分不必要条件是( ) A.x0 B.x2 C.x1，3，5 D.x1 2或 x3 答案 C 解析 由 2x25x30，得 x3 或 x1 2，所以选项中只有 x1，3，5 是使不等式 2x25x30 成立的一个充分不必要条件，所以应选 C. 7.某地为了加快推进垃圾分类工作， 新建了一个垃圾处理厂， 每月最少要处理 300 吨垃圾，最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数 关系可近似地表示为 y1 2x 2300 x80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月 处理量应为( ) A.300 吨 B.400 吨 C.500 吨 D.600 吨 答案 B 解
4、析 由题意，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)的函数关系为 y1 2x 2300 x 80 000，所以平均处理成本为 sy x 1 2x 2300 x80 000 x x 2 80 000 x 300，其中 300 x600，又x 2 80 000 x 3002 x 2 80 000 x 300400300100，当且仅 当x 2 80 000 x 时，等号成立，所以 x400 时，平均处理成本最低.故选 B. 8.若关于 x 的不等式 axb0 的解集为(1，)，则关于 x 的不等式axb x2 0 的解集为( ) A.(，2)(1，) B.(1，2) C.(，1)(2，) D.(1
5、，2) 答案 C 解析 不等式 axb0 的解集为(1，)， x1 为 axb0 的根，ab0，即 ab， axb0 的解集为(1，)， a0，故axb x2 a（x1） x2 0， 等价于(x1)(x2)0.x2 或 x1. 不等式解集为(，1)(2，). 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.下列四个命题中的假命题为( ) A.x0Z，14x00 答案 ABC 解析 x2x2 x1 2 2 7 40.只有 D 是真命题，其余都是假命题. 10.
6、已知 U 为全集，则下列说法正确的是( ) A.若 AB，则(UA)(UB)U B.若 AB，则 A或 B C.若 AB，则(UA)(UB)U D.若 AB，则 AB 答案 ACD 解析 A 说法正确，因为(UA)(UB)U(AB)，AB，所以(UA)(UB) U(AB)U； B 说法错误，若 AB，则集合 A，B 不一定为空集，只需两个集合中无公 共元素即可； C 说法正确，因为(UA)(UB)U(AB)，AB，所以(UA(UB) U(AB)U； D 说法正确，AB，即集合 A，B 中均无任何元素，可得 AB. 11.给出下列四个条件：xt2yt2；xtyt；x2y2；01 xy 的 充分条
7、件的是( ) A. B. C. D. 答案 AD 解析 由 xt2yt2可知，t20，所以 xy，因此 xt2yt2是 xy 的充分条件. 由 xtyt 不能确定 t 的符号，因此不能确定 x 与 y 的大小，故 xtyt 不是 xy 的 充分条件. 令 x2，y1，则 x2y2，但 xy2不是 xy 的充分条件. 由 01 x0，y0， 1 x 1 y0，即 yx xy 0，所以 yxy，因此 01 xy 的充分条件.故选 AD. 12.下列命题中正确的是( ) A.yx1 x(x0)的最大值是 24 3 D.yx 4 x1(x1)的最小值是 5 答案 ACD 解析 对于 A，yx1 x(x
8、 1 x)2 x 1 x 2，当且仅当x 1 x，即 x1 时，等号成立，所以 yx 1 x(x2，因为 x22 1 x22，即 x 221 无解，即等号不成立，所以 y x23 x22取不到最小值 2，故 B 错误； 对于 C，y23x4 x(x0)2(3x 4 x)22 3x 4 x24 3，当且仅当 3x 4 x，即 x 2 3 3 时，等号成立，所以 y23x4 x(x0)的最大值是 24 3，故 C 正确； 对于 D， x1， x10， yx 4 x1x1 4 x112 （x1） 4 x115， 当且仅当 x1 4 x1， 即 x3 时， 等号成立， 所以 yx 4 x1(x1)最小
9、值是 5， 故 D 正确； 故选 ACD. 三、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.设集合 A1，a2，a，若 3A，则实数 a_. 答案 5 解析 3A，a23 或 a3. 当 a23 时，a5 成立，而当 a3 时，a21 不成立.a5. 14.若 x 轴被二次函数的图象所截得的线段的长为 2， 且该函数图象的顶点坐标为 (1，1)，则此二次函数的解析式是_. 答案 yx22x 解析 由二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，可设函数的解析式为 ya(x 1)21(a0)，即 yax22axa1.令 y0，即 ax22axa10，设方程的 两根分别为 x1， x
10、2， 则 x1x22， x1x2a1 a ， 所以|x2x1|（x1x2）24x1x2 （2）24a1 a 2，解得 a1，所以二次函数的解析式为 y(x1)2 1x22x. 15.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总 利润 y(单位： 10 万元)与营运年数 x(xN)为二次函数关系(二次函数的图象如图 所示)，则每辆客车营运_年时，年平均利润最大. 答案 5 解析 二次函数顶点为(6，11)， 设为 ya(x6)211(a0)， 代入(4，7)得 a1，yx212x25， 年平均利润为y x x212x25 x x25 x 122 x 25 x 122， 当且
11、仅当 x25 x ，即 x5 时，等号成立. 16.若关于 x 的不等式 x2mxm20 对任意 xR 恒成立，则 m 的取值范围 是_；若不等式 x2mxm20 对 0 x4 恒成立，则 m 的取值范围 是_.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 (2 32，2 32) (，2 32) 解析 令 yx2mxm2 对任意 xR，y0 恒成立，则 (m)24(2m) 0，2 32m2 32.m 的取值范围是(2 32，2 32).由 x2 mxm20 对 0 x4 恒成立，即 mx 22 x1 恒成立，令 sx 22 x1 ，只须求 s 在0，4上的最小值即可，令 tx11，5，则 st
12、 22t3 t t3 t22 3 2，当且仅当 t3 t，即 t 3时，等号成立，m2 32.m 的取值范围是( ，2 32). 四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设全集为 R，集合 Ax|3x10，B x x2 x9 0. (1)求(RB)A； (2)已知 Cx|axa1，若 CA，求实数 a 的所有取值构成的集合. 解 (1)由题意可得 Bx|2x9，则(RB)x|x2，或 x9， 因为 Ax|3xa 恒成立，CA， a3， a110，解得 3a9， 故实数 a 的取值集合是a|3a0)户农民从事水果加
13、工， 则剩下的继续从事水果种植的农民平均每 户的年收入有望提高 4x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为 3 a3x 50 (a0)万元. (1)若动员 x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低 于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求 x 的取值范围； (2)在(1)的条件下，要使这 200 户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高 于从事水果种植的农民的总收入，求 a 的最大值. 解 (1)动员 x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不 低 于 动 员 前 从 事 水 果 种 植 的 农 民 的 总 年 收 入 ， 则 (200 x)3(1
14、0.04x)2003，解得 0 x175. 即 x 的取值范围为(0，175. (2)由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入， 则 3 a3x 50 x(200 x)3(10.04x)(00). 由于 0.02x200 x 720.02x 200 x 711，当且仅当 0.02x200 x x100 时， 等号成立，所以 0a11，所以 a 的最大值为 11. 22.(本小题满分 12 分)已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象过 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，且满足 a2(y1y2)ay1y20. (1)求证 y1a 或 y2a； (2)求证函
15、数 y 的图象必与 x 轴有两个交点； (3)若 y0 的解集为x|xm，或 xn(nm0)，解关于 x 的不等式 cx2bxa 0. (1)证明 a2(y1y2)ay1y20， (ay1)(ay2)0，得 y1a 或 y2a. (2)证明 当 a0 时，二次函数 y 的图象开口向上，图象上的点 A 或点 B 的纵坐 标为a，且a0， 图象与 x 轴有两个交点. 二次函数 y 的图象必与 x 轴有两个交点. (3)解 ax2bxc0 的解集为x|xm，或 xn(nm0)， a0 且 ax2bxc0 的两根为 m，n， mnb a， mnc a， mn mn b c且 c0， cx2bxa0 即 x2b cx a c0， 即 x2 mn mn x 1 mn0， x 1 m x1 n 0. nm0，1 n 1 m， 不等式 cx2bxa0 的解集为 x x1 m，或x 1 n .