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2021年秋北师大版高中数学必修第一册《第三章 指数运算与指数函数》章末检测试卷(含答案)

1、第三章第三章 指数运算与指数函数指数运算与指数函数 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.化简 3 (3)4 3 4的结果为( ) A.3 B.3 C. 3 D. 3 答案 B 解析 3 (3)4 3 4( 3 34) 3 4(3 4 3) 3 43 4 3 3 43. 2.函数 f(x) 1 2x 11的定义域是( ) A.(1,) B.1,) C.(1,1)(1,) D.1,1)(1,) 答案 A 解析 依题意 2x 1102x11x10 x1,所以 f(x)

2、的定义域为(1, ).故选 A. 3.已知 f(x)3x b(2x4, b 为常数)的图象经过定点(2, 1), 则 f(x)的值域为( ) A.9,81 B.3,9 C.1,9 D.1,) 答案 C 解析 由 f(x)过定点(2,1)可知 b2,因为 f(x)3x 2 在2,4上是增函数,所以 f(x)minf(2)1,f(x)maxf(4)9.故 f(x)的值域为1,9. 4.已知 a20.2,b0.40.2,c0.40.6,则( ) A.abc B.acb C.cab D.bca 答案 A 解析 由 0.20.6,0.40.40.6,即 bc;因为 a20.21,b0.40.2b.综上,

3、abc. 5.已知函数 f(x) 2 3 x ,则函数 yf(x1)的图象大致是( ) 答案 B 解析 函数 f(x) 2 3 x 是单调递减函数,将函数 yf(x)的图象向左平移 1 个单位 长度即可得函数 yf(x1)的图象,该函数图象与 y 轴的交点在(0,1)的下方, 只有 B 的图象符合,故选 B. 6.设偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0),则x|f(x2)0( ) A.x|x4 B.x|x4 C.x|x6 D.x|x2 答案 B 解析 f(x)为偶函数, 当 x0 时,f(x)f(x)2 x4. 所以 f(x) 2 x4,x0, 2 x4,x0 时, 有 x20, 2x

4、240或 x20. 解得 x4 或 x0. 7.若函数 f(x) 13xa 9x,其定义域为(,1,则 a 的取值范围是( ) A.a4 9 B.a4 9 C.a4 9 D.4 9a1 且 a2)在区间(0, )上具有不同的单调性, 则 M(a1)0.2与 N 1 a 0.1 的大小关系是( ) A.MN B.MN C.MN 答案 D 解析 因为 f(x)x2 a 与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0, )上具有不同的单调 性,所以 a2,所以 M(a1)0.21,N 1 a 0.1 N. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.在每小题给出的选项中,

5、有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分) 9.下列判断不正确的是( ) A.1.92.51.93 B.0.3 2.50.32.1 C. 1 3 2 3 1 2 D.50.51 答案 ACD 解析 令 f(x)1.9x,则 f(x)是增函数,又 2.53,1.92.51.93,A 错;令 f(x) 0.3x,则 f(x)是减函数,又因为2.50.32.1,故 B 正确;令 f(x)3x,则 f(x)是增函数,又 21 2,3 231 2,即 1 3 2 3 1 2,C 错;令 f(x)5 x,则 f(x)是增函数,又 0.50,50.550,即 50.

6、51,D 错,故 A、C、D 不正确. 10.下列结论中正确的是( ) A.函数 y2x 1 是指数函数 B.函数 yax21(a1)的值域是1,) C.若 mn,则 m0,a1)的图象过定点(2,2) 答案 BD 解析 A 中不符合指数函数的定义; B 中当 a1 时,yax211,故正确; C 中 yx是增函数,由 mn,可得 mn,C 错; D 中由 f(2)2,故正确. 11.已知函数 f(x) xx 2 ,g(x) xx 2 ,则 f(x),g(x)满足( ) A.f(x)g(x)g(x)f(x) B.f(x)g(x) x C.f(2x)2f(x)g(x) D.f(x)2g(x)21

7、 答案 AC 解析 A 正确, f(x) xx 2 f(x), g(x) xx 2 g(x), 所以 f(x)g( x)g(x)f(x); B 不正确,f(x)g(x) xx 2 xx 2 2 x 2 x; C 正确,f(2x) 2x2x 2 2 x x 2 x x 2 2f(x)g(x); D 不 正 确 , f(x)2 g(x)2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 xx 2 x x 2 xx 2 2 x 2 2 x 2 1.故选 AC. 12.如图,某池塘里浮萍的面积 y(单位:m2)与时间 t(单位:月)的关系为 yat.关 于下列说法正确的是( ) A.浮萍每月的增长率为 2

8、 B.浮萍每月增加的面积都相等 C.第 4 个月时,浮萍面积不超过 80 m2 D.若浮萍蔓延到 2 m2、4 m2、8 m2所经过的时间分别是 t1、t2、t3,则 2t2t1t3 答案 AD 解析 将点(1,3)的坐标代入函数 yat的解析式,得 a13,函数的解析式为 y 3t. 对于 A 选项,由3 n13n 3n 2 可得浮萍每月的增长率为 2,A 选项正确. 对于 B 选项,浮萍第 1 个月增加的面积为 31302(m2),第 2 个月增加的面积 为 32316(m2),26,B 选项错误; 对于 C 选项,第 4 个月时,浮萍的面积为 348180,C 选项错误; 对于 D 选项

9、,由题意可得 3t12,3t24,3t38, 4228, (3t2)23t13t2,即 32t23t1 t3,所以 2t 2t1t3,D 选项正确.故选 AD. 三、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 f(x)的定义域为(0,1),则 f(3x)的定义域为_. 答案 (,0) 解析 f(x)的定义域为(0,1),03x1,x0,a1)具有如下特征:对定义域 R 内 任意实数 m、n,都有 f(mn)f(m) f(n)成立.现请你写出满足如上特征的一个非 指数函数的函数解析式:_. 答案 f(x)1(答案不唯一) 解析 依题意只要写出满足, 对定义域R内任意

10、实数m、 n, 都有f(mn)f(m) f(n) 成立的非指数函数即可,如常数函数 f(x)1,对定义域 R 上任意的 m、n,都有 f(mn)f(m) f(n)1,但 f(x)1 不是指数函数.故答案为 f(x)1(答案不唯一). 16.若定义域为 R的函数 f(x)12 x a2x是奇函数, 则 a_.判断f(x)在(, )上的单调性为_(填增函数或减函数).(本题第一空 2 分, 第二空 3 分) 答案 1 减函数 解析 因为 f(x)为 R 上的奇函数,f(0)0,f(1)f(1),a1,任取 x1, x2R 且 x1x2,则 f(x1)f(x2) 12x1 12x1 12x2 12x

11、2 2(2x22x1) (12x1)(12x2),x1 x2, 2x22x10, 又(2x11)(2x21)0, f(x1)f(x2)0, 即 f(x1)f(x2), f(x) 在 R 上为减函数. 四、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)化简: (1)(4a2b 2 3)(2a 1 3b 2 3) (b 1 2)(a0,b0); (2)61 4 3 33 8( 21) 0(1)2 02021. 解 (1) 4a2b 2 3 2a 1 3b 2 3 b 1 2 4(2) (1)a2 1 3b 2 3 2 3 1

12、28a 7 3b 1 2. (2)61 4 3 33 8( 21) 0(1)2 02021 25 4 3 27 8 111 2 5 2 3 2 1 2 3 2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) 2 3 |x|a . (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的最大值等于9 4,求 a 的值. 解 (1)令 t|x|a, 则 y 2 3 t , 不论 a 取何值, t 在(, 0上单调递减, 在0, )上单调递增,又 y 2 3 t 是单调递减的, 因此 f(x)的单调递增区间是(,0, 单调递减区间是0,). (2)由于 f(x)的最大值是9 4,且 9 4 2 3

13、2 , 所以 t|x|a 有最小值2,此时 x0,即 0a2,从而 a2. 19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x) 1 2 10ax ,a 是常数,且 f(3)1 2. (1)求使得 f(x)4 的 x 的取值范围. (2)设 g(x)1 2xm,对于区间3,4上的每一个 x 值,不等式 f(x)g(x)恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解 (1)因为 f(3) 1 2 103a 1 2,故 a3; 所以 f(x) 1 2 103x 23x 10,故 f(x)4 等价于 23x1022,解得 x4. (2)f(x)在3,4上单调递增,g(x)1 2xm 在3,4上单调递减,要使区间3

14、, 4上的每一个x值, 不等式f(x)g(x)恒成立, 则需满足f(x)ming(x)max, 即f(3)g(3), 即1 2 1 23m,解得 m2,所以实数 m 的取值范围是(,2). 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) 4x 4x2; (1)若 0a0 且 a1)是定义在(, )上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)求函数的值域; (3)当 x(0,1时,tf(x)2x2 恒成立, 求实数 t 的取值范围. 解 (1)因为 f(x)是定义在(,)上的奇函数, 所以 f(0)0,即 1 4 2a0a0,解得 a2(经检验符合题意). (2)法一 f(x)1 2 2x1,2

15、 x0, 2x11,0 2 2x12,2 2 2x10, 11 2 2x10 知1y 1y0,所以1y0,都有|f(x)|M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x) 的上界.已知函数 f(x)1a 1 2 x 1 4 x . (1)当 a1 时,求函数 f(x)在(,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(,0)上 是否为有界函数. (2)若函数 f(x)在0,)上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. (3)试定义函数的下界,举一个下界为 3 的函数模型,并进行证明. 解 (1)当 a1 时,f(x)1 1 2 x 1 4 x 1 2 x 1 2

16、2 3 4, f(x)在(,0)上单调递减, f(x)f(0)3,即 f(x)在(,0)上的值域为(3,),故不存在常数 M0,使 |f(x)|M 成立,函数 f(x)在(,0)上不是有界函数. (2)由题意知|f(x)|3 在0,)上恒成立, 3f(x)3, 4 1 4 x a 1 2 x 2 1 4 x , 4 2x 1 2 x a2 2x 1 2 x 在0,)上恒成立, 4 2x 1 2 x maxa 2 2x 1 2 x min. 设 2xt,h(t)4t1 t,p(t)2t 1 t, 由 x0,)得 t1,设 1t10,p(t1)p(t2)(t 1t2)(2t1t21) t1t2 0,都有|f(x)|M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的下界. 例如,f(x)3 是下界为 3 的函数. 证明:对任意 xR,|f(x)|33,命题成立.