1、第三章第三章 指数运算与指数函数指数运算与指数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.化简 3 （3）4 3 4的结果为( ) A.3 B.3 C. 3 D. 3 答案 B 解析 3 （3）4 3 4( 3 34) 3 4(3 4 3) 3 43 4 3 3 43. 2.函数 f(x) 1 2x 11的定义域是( ) A.(1，) B.1，) C.(1，1)(1，) D.1，1)(1，) 答案 A 解析 依题意 2x 1102x11x10 x1，所以 f(x)
2、的定义域为(1， ).故选 A. 3.已知 f(x)3x b(2x4， b 为常数)的图象经过定点(2， 1)， 则 f(x)的值域为( ) A.9，81 B.3，9 C.1，9 D.1，) 答案 C 解析 由 f(x)过定点(2，1)可知 b2，因为 f(x)3x 2 在2，4上是增函数，所以 f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故 f(x)的值域为1，9. 4.已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则( ) A.abc B.acb C.cab D.bca 答案 A 解析 由 0.20.6，0.40.40.6，即 bc；因为 a20.21，b0.40.2b.综上，
3、abc. 5.已知函数 f(x) 2 3 x ，则函数 yf(x1)的图象大致是( ) 答案 B 解析 函数 f(x) 2 3 x 是单调递减函数，将函数 yf(x)的图象向左平移 1 个单位 长度即可得函数 yf(x1)的图象，该函数图象与 y 轴的交点在(0，1)的下方， 只有 B 的图象符合，故选 B. 6.设偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0( ) A.x|x4 B.x|x4 C.x|x6 D.x|x2 答案 B 解析 f(x)为偶函数， 当 x0 时，f(x)f(x)2 x4. 所以 f(x) 2 x4，x0， 2 x4，x0 时， 有 x20， 2x
4、240或 x20. 解得 x4 或 x0. 7.若函数 f(x) 13xa 9x，其定义域为(，1，则 a 的取值范围是( ) A.a4 9 B.a4 9 C.a4 9 D.4 9a1 且 a2)在区间(0， )上具有不同的单调性， 则 M(a1)0.2与 N 1 a 0.1 的大小关系是( ) A.MN B.MN C.MN 答案 D 解析 因为 f(x)x2 a 与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0， )上具有不同的单调 性，所以 a2，所以 M(a1)0.21，N 1 a 0.1 N. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的选项中，
5、有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.下列判断不正确的是( ) A.1.92.51.93 B.0.3 2.50.32.1 C. 1 3 2 3 1 2 D.50.51 答案 ACD 解析 令 f(x)1.9x，则 f(x)是增函数，又 2.53，1.92.51.93，A 错；令 f(x) 0.3x，则 f(x)是减函数，又因为2.50.32.1，故 B 正确；令 f(x)3x，则 f(x)是增函数，又 21 2，3 231 2，即 1 3 2 3 1 2，C 错；令 f(x)5 x，则 f(x)是增函数，又 0.50，50.550，即 50.
6、51，D 错，故 A、C、D 不正确. 10.下列结论中正确的是( ) A.函数 y2x 1 是指数函数 B.函数 yax21(a1)的值域是1，) C.若 mn，则 m0，a1)的图象过定点(2，2) 答案 BD 解析 A 中不符合指数函数的定义； B 中当 a1 时，yax211，故正确； C 中 yx是增函数，由 mn，可得 mn，C 错； D 中由 f(2)2，故正确. 11.已知函数 f(x) xx 2 ，g(x) xx 2 ，则 f(x)，g(x)满足( ) A.f(x)g(x)g(x)f(x) B.f(x)g(x) x C.f(2x)2f(x)g(x) D.f(x)2g(x)21
7、 答案 AC 解析 A 正确， f(x) xx 2 f(x)， g(x) xx 2 g(x)， 所以 f(x)g( x)g(x)f(x)； B 不正确，f(x)g(x) xx 2 xx 2 2 x 2 x； C 正确，f(2x) 2x2x 2 2 x x 2 x x 2 2f(x)g(x)； D 不 正 确 ， f(x)2 g(x)2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 xx 2 x x 2 xx 2 2 x 2 2 x 2 1.故选 AC. 12.如图，某池塘里浮萍的面积 y(单位：m2)与时间 t(单位：月)的关系为 yat.关 于下列说法正确的是( ) A.浮萍每月的增长率为 2
8、 B.浮萍每月增加的面积都相等 C.第 4 个月时，浮萍面积不超过 80 m2 D.若浮萍蔓延到 2 m2、4 m2、8 m2所经过的时间分别是 t1、t2、t3，则 2t2t1t3 答案 AD 解析 将点(1，3)的坐标代入函数 yat的解析式，得 a13，函数的解析式为 y 3t. 对于 A 选项，由3 n13n 3n 2 可得浮萍每月的增长率为 2，A 选项正确. 对于 B 选项，浮萍第 1 个月增加的面积为 31302(m2)，第 2 个月增加的面积 为 32316(m2)，26，B 选项错误； 对于 C 选项，第 4 个月时，浮萍的面积为 348180，C 选项错误； 对于 D 选项
9、，由题意可得 3t12，3t24，3t38， 4228， (3t2)23t13t2，即 32t23t1 t3，所以 2t 2t1t3，D 选项正确.故选 AD. 三、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 f(x)的定义域为(0，1)，则 f(3x)的定义域为_. 答案 (，0) 解析 f(x)的定义域为(0，1)，03x1，x0，a1)具有如下特征：对定义域 R 内 任意实数 m、n，都有 f(mn)f(m) f(n)成立.现请你写出满足如上特征的一个非 指数函数的函数解析式：_. 答案 f(x)1(答案不唯一) 解析 依题意只要写出满足， 对定义域R内任意
10、实数m、 n， 都有f(mn)f(m) f(n) 成立的非指数函数即可，如常数函数 f(x)1，对定义域 R 上任意的 m、n，都有 f(mn)f(m) f(n)1，但 f(x)1 不是指数函数.故答案为 f(x)1(答案不唯一). 16.若定义域为 R的函数 f(x)12 x a2x是奇函数， 则 a_.判断f(x)在(， )上的单调性为_(填增函数或减函数).(本题第一空 2 分， 第二空 3 分) 答案 1 减函数 解析 因为 f(x)为 R 上的奇函数，f(0)0，f(1)f(1)，a1，任取 x1， x2R 且 x1x2，则 f(x1)f(x2) 12x1 12x1 12x2 12x
11、2 2（2x22x1） （12x1）（12x2），x1 x2， 2x22x10， 又(2x11)(2x21)0， f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， f(x) 在 R 上为减函数. 四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)化简： (1)(4a2b 2 3)(2a 1 3b 2 3) (b 1 2)(a0，b0)； (2)61 4 3 33 8( 21) 0(1)2 02021. 解 (1) 4a2b 2 3 2a 1 3b 2 3 b 1 2 4(2) (1)a2 1 3b 2 3 2 3 1
12、28a 7 3b 1 2. (2)61 4 3 33 8( 21) 0(1)2 02021 25 4 3 27 8 111 2 5 2 3 2 1 2 3 2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) 2 3 |x|a . (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的最大值等于9 4，求 a 的值. 解 (1)令 t|x|a， 则 y 2 3 t ， 不论 a 取何值， t 在(， 0上单调递减， 在0， )上单调递增，又 y 2 3 t 是单调递减的， 因此 f(x)的单调递增区间是(，0， 单调递减区间是0，). (2)由于 f(x)的最大值是9 4，且 9 4 2 3
13、2 ， 所以 t|x|a 有最小值2，此时 x0，即 0a2，从而 a2. 19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x) 1 2 10ax ，a 是常数，且 f(3)1 2. (1)求使得 f(x)4 的 x 的取值范围. (2)设 g(x)1 2xm，对于区间3，4上的每一个 x 值，不等式 f(x)g(x)恒成立， 求实数 m 的取值范围. 解 (1)因为 f(3) 1 2 103a 1 2，故 a3； 所以 f(x) 1 2 103x 23x 10，故 f(x)4 等价于 23x1022，解得 x4. (2)f(x)在3，4上单调递增，g(x)1 2xm 在3，4上单调递减，要使区间3
14、， 4上的每一个x值， 不等式f(x)g(x)恒成立， 则需满足f(x)ming(x)max， 即f(3)g(3)， 即1 2 1 23m，解得 m2，所以实数 m 的取值范围是(，2). 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) 4x 4x2； (1)若 0a0 且 a1)是定义在(， )上的奇函数. (1)求 a 的值； (2)求函数的值域； (3)当 x(0，1时，tf(x)2x2 恒成立， 求实数 t 的取值范围. 解 (1)因为 f(x)是定义在(，)上的奇函数， 所以 f(0)0，即 1 4 2a0a0，解得 a2(经检验符合题意). (2)法一 f(x)1 2 2x1，2
15、 x0， 2x11，0 2 2x12，2 2 2x10， 11 2 2x10 知1y 1y0，所以1y0，都有|f(x)|M 成立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x) 的上界.已知函数 f(x)1a 1 2 x 1 4 x . (1)当 a1 时，求函数 f(x)在(，0)上的值域，并判断函数 f(x)在(，0)上 是否为有界函数. (2)若函数 f(x)在0，)上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围. (3)试定义函数的下界，举一个下界为 3 的函数模型，并进行证明. 解 (1)当 a1 时，f(x)1 1 2 x 1 4 x 1 2 x 1 2
16、2 3 4， f(x)在(，0)上单调递减， f(x)f(0)3，即 f(x)在(，0)上的值域为(3，)，故不存在常数 M0，使 |f(x)|M 成立，函数 f(x)在(，0)上不是有界函数. (2)由题意知|f(x)|3 在0，)上恒成立， 3f(x)3， 4 1 4 x a 1 2 x 2 1 4 x ， 4 2x 1 2 x a2 2x 1 2 x 在0，)上恒成立， 4 2x 1 2 x maxa 2 2x 1 2 x min. 设 2xt，h(t)4t1 t，p(t)2t 1 t， 由 x0，)得 t1，设 1t10，p(t1)p(t2)（t 1t2）（2t1t21） t1t2 0，都有|f(x)|M 成立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的下界. 例如，f(x)3 是下界为 3 的函数. 证明：对任意 xR，|f(x)|33，命题成立.