1、第六章第六章 统计统计 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的 前 3 个小组的频率之比为 123，第 2 小组的频数为 10，则抽取的学生人数为 ( ) A.20 B.30 C.40 D.50 答案 C 解析 前 3 组的频率之和等于 1(0.012 50.037 5)50.75，第 2 小组的频率 是 0.75 2 1230.25，设样本容量为 n，则 10 n 0.25，则 n40.故选 C
2、. 2.某大学共有本科生 5 000 人，其中一年级、二年级、三年级、四年级的人数比为 4321.要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本， 则 应抽取三年级的学生人数为( ) A.80 B.40 C.60 D.20 答案 B 解析 根据分层抽样的定义和特点，三年级本科生人数所占的比例为 2 4321 1 5，故应从三年级本科生中抽取学生的人数为 200 1 540.故选 B. 3.10 名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是 15，17，14，10，15，17， 17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有( ) A.abc B.bca
3、C.cab D.cba 答案 D 解析 把样本按照由小到大的顺序排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17， 17，故众数 c17，中位数 b1 2(1515)15，平均数 a 1 10(10121414 151516171717)14.7，故 cba. 4.从 800 件产品中抽取 60 件进行质检，利用随机数法抽取样本时，先将 800 件产 品按 001，002，800 进行编号.如果从随机数表第 8 行第 8 列的数 8 开始往右 读数(随机数表第 7 行至第 9 行的数如下)，则抽取的第 4 件产品的编号是( ) 8442175331 5724550688 770474
4、4767 2176335025 8392120676 第七行 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 第八行 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954 第九行 A.169 B.556 C.671 D.105 答案 D 解析 找到第 8 行第 8 列的数 8， 并开始向右读， 每次读取三位， 凡不在 001800 中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而最先抽取的 4 件产品的 编号依次是 169，556，671，105.故抽取的第 4 件产品的编号
5、是 105. 5.已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24， n，34，43，48，52；若这两组数据的第 30 百分位数、第 50 百分位数分别对应相 等，则m n等于( ) A.12 7 B.10 7 C.4 3 D.7 4 答案 B 解析 因为 30%61.8，50%63，所以第 30 百分位数为 n28，第 50 百分 位数为37m 2 3443 2 ，所以 m40，所以m n 40 28 10 7 .故选 B. 6.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力 情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据
6、丢失，但知道后 5 组 频数和为 62，设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a，最大频率为 0.32，则 a 的值 为( ) A.64 B.54 C.48 D.27 答案 B 解析 前两组中的频数为 100(0.050.11)16. 因为后五组频数和为 62，所以前三组频数和为 38. 所以第三组频数为 381622.又最大频率为 0.32，故第四组频数为 0.32100 32.所以 a223254.故选 B. 7.记样本 x1，x2，xm的平均数为x ，样本 y1，y2，yn的平均数为y (x y ). 若样本 x1，x2，xm，y1，y2，yn的平均数为z 1 4x 3 4y .
7、则m n的值为( ) A.3 B.4 C.1 4 D.1 3 答案 D 解 析 由 题 意 知 x1 x2 xm m x ， y1 y2 yn n y ， z （x1x2xm）（y1y2yn） mn mx ny mn mx mn ny mn 1 4x 3 4y .所以 m mn 1 4， n mn 3 4，可得 3mn，所以 m n 1 3. 8.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规 模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”，根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A.甲地：总体平均数为 3，中
8、位数为 4 B.乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 C.丙地：中位数为 2，众数为 3 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3 答案 D 解析 平均数和中位数不能限制某一天的病例超过 7 人，故 A 不正确；当总体 方差大于 0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故 B 不正确；中位数和众数也不能确定，故 C 不正确；当总体平均数是 2，若有一个 数据超过 7，则 s2 1 10(82) 23.6，则方差就超过 3，总体平均数是 2，总体方 差为 3 时，没有数据超过 7，故 D 正确. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每
9、小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.下列说法正确的是( ) A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 答案 ACD 解析 A 显然正确；由平均数、众数、中位数和方差的概念易知 C、D 正确；平 均数不大于最大值，不小于最小值，B 错误. 10.港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、 珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑
10、规模、空前的施工难度和顶尖的建造技 术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间 4个小时的 陆路车程极大缩短.为了解实际通行所需时间，随机抽取了 n 台车辆进行统计，结 果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在35，50内，按通行时间分为35， 38)，38，41)，41，44)，44，47)，47，50五组，其中通行时间在38，47)的 车辆有 182 台，频率分布直方图如图所示，则( ) A.n200 B.n280 C.抽取的车辆中通行时间在35，38)的车辆有 4 台 D.抽取的车辆中通行时间在35，38)的车辆有 12 台 答案 AD 解析 因为通行时间在3
11、8，47)对应的频率为 1(0.010.02)30.91，所以 n 182 0.91200.通行时间在35，38)的车辆有 2000.02312 台.故选 AD. 11.PM2.5 是空气质量的一个重要指标， 我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽 限值，即 PM2.5 日均值在 35 g/m3以下空气质量为一级，在 35 g/m375 g/m3 之间空气质量为二级，在 75 g/m3以上空气质量为超标.如图是某地 11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值(单位：g/m3)的统计数据，则下列叙述正确的是( ) A.这 10 天中有 4 天空气质量为一级 B.这 10 天中 PM2
12、.5 日均值最高的是 11 月 5 日 C.从 5 日到 9 日，PM2.5 日均值逐渐降低 D.这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 45 答案 ABC 解析 由图可知，中位数4549 2 47，所以 D 不正确；结合图象知 A、B、C 都 正确. 12.下列四个结论中，正确的有( ) A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积和相等 B.若一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数据的平均数改变，方差 也改变 C.一组样本数据的方差是 s2 1 20(x13) 2(x23)2(x203)2，则这组样本 数据的总和等于 60 D.数据 a1，a2，a3，an的方差为
13、2，则数据 2a1，2a2，2a3，2an的方差 为 42 答案 ACD 解析 对于 A， 在频率分布直方图中， 中位数左边和右边的直方图的面积和相等， 都等于1 2，A 正确； 对于 B，若平均数为x ，方差为 s2的一组数据中每个数减去同一个非零常数 a，则 这一组数据的平均数为x a，方差 s2不变，B 不正确； 对于 C，一组样本数据的方差是 s2 1 20(x13) 2(x23)2(x203)2，则这 组样本数据的平均数是 3，数据总和为 32060，C 正确； 对于 D，数据 a1，a2，a3，an的方差为 2，则数据 2a1，2a2，2a3，2an 的方差为(2)242，D 正确
14、. 综上，正确的有 ACD. 三、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中 21 袋白糖，每 袋白糖的标准质量是 500 g， 为了了解这些白糖的质量情况， 称出各袋白糖的质量 (单位：g)如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 估计这批袋装白糖的第 75 百分位数是_. 答案 500 解析 将数据按从小到大排列为 484 486 487 489 493 493 495 495
15、496 497 498 498 498 499 499 500 503 503 504 508 509 75%2115.75， 这组数据的第75百分位数为第16个数据为500.故答案为500. 14.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图， 已知该校共有学生 3 000 人，由统计图可得该校共捐款_元. 答案 37 770 解析 由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生 960 人、990 人、 1 050 人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为 15 元、13 元、10 元，所以共捐款 1596013990101 05037 770(元). 15.一汽
16、车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号， 某月的产量如下表(单位：辆)： 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 售价(单位：万元) 12 16 18 标准型 300 450 600 售价(单位：万元) 16 18 20 按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿 车 10 辆，其中 z 的值由于表格污损而不可知，则表中 z_，该汽车厂在 该月生产的所有轿车的平均售价为_万元.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 400 17.85 解析 由题意可得 50 100300150450z600 10 1003
17、00，解得 z400. 所以该汽车厂在该月生产的汽车总数为 1003001504504006002 000(辆). 则该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为 x 100 2 00012 300 2 00016 150 2 00016 450 2 00018 400 2 00018 600 2 00020 17.85(万元). 16.为了解某市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进 行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率 分布直方图(如图所示).记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1，s2，s3，则它 们的大小关系为_.(用“”连接) 甲
18、 乙 丙 答案 s1s2s3 解析 根据三个频率分布直方图知， 第一组数据的两端数据较多，数据偏离平均数远，最分散，其方差最大； 第二组数据不如第一组分散，较为集中，方差比第一组中数据的方差小； 而第三组数据中绝大部分数据都在平均数左右，最集中，故其方差最小，综上可 知 s1s2s3. 四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技 术开发、营销、生产各部门中，如下表所示： 类别 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 8
19、0 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 小计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要从管理中抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出 席人？ 解 (1)不同年龄段的人的身体状况有所差异，所以应该按年龄段用分层随机抽样 的方法来调查单位职工的身体状况，管理部门中老年、中年、青年所占的比例分 别为 40 160 1 4， 80 160 1 2， 40 160 1 4， 所以在抽取 40 人的样本中， 老年人抽 40 1 410(人)， 中年人抽 401
20、220(人)，青年人抽取 40 1 410(人). (2)因为不同部门的人对单位的发展及薪金要求有所差异，所以应该按部门用分层 随机抽样的方法来确定参加座谈会的人员，管理、技术开发、营销、生产人数分 别占的比例为 160 2 000 2 25， 320 2 000 4 25， 480 2 000 6 25， 1 040 2 000 13 25，所以在抽取 25 人出 席座谈会中，管理人员抽 25 2 252(人)，技术开发人员抽 25 4 254(人)，营销 人员抽 25 6 256(人)，生产人员抽 25 13 2513(人). 18.(本小题满分 12 分)为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导
21、学生做好防控.某校举 行了主题为“防控新冠， 从我做起”的线上知识竞赛活动， 测试内容为 20 道判断 题，每道题 5 分，满分 100 分.为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别 随机在八、九年级各抽取了 20 名参赛学生的成绩.已知抽查得到的八年级的数据 如下：80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70， 95，80，75，80. 为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了表一： 成绩等级 分数(单位：分) 学生数 D 等 60 x70 5 C 等 70 x80 a B 等 80 x90 b A 等 90 x100 2
22、九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：(分数 80 分以上、不含 80 分为优秀) 年级 平均数 中位数 优秀率 八年级 77.5 c m% 九年级 76 82.5 50% (1)根据题目信息填空：a_，c_，m_； (2)八年级小宇和九年级小乐的分数为 80 分，请判断小宇、小乐在各自年级的排 名哪位更靠前？请简述你的理由； (3)若九年级共有 600 人参加参赛，请估计九年级 80 分以上的人数. 解 (1)由题意可得，抽查得到的八年级的数据中，成绩为 C 等的有 10 人；则 a 10； 抽查得到的八年级的数据中，按从小到大顺序排列，处在中间位置的数为 75 和 80， 因此中位数为
23、c77.5， 成绩在 80 分以上的有 5 人，所以优秀率为 5 20100%25%，则 m25. (2)小宇在八年级的排名更靠前. 理由如下：八年级的中位数为 77.5 分，而小宇的分数为 80 分，所以小宇的成绩 为中上游； 而九年级的中位数为 82.5 分， 小乐的分数都为 80 分， 所以他在九年级为中下游； (3)60050%300 人. 估计九年级 80 分以上的人数约为 300 人. 19.(本小题满分 12 分)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次命中的环 数分别如下： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (
24、1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况. 解 (1)x 甲 1 10(86786591047)7， x 乙 1 10(6778678795)7. (2)由 s21 n(x1x )2(x2x )2(xnx )2， 得 s2甲3，s2乙1.2. (3)x 甲x 乙，说明甲、乙两名战士射击的平均水平相当. s2甲s2乙，说明甲战士的射击情况波动大. 因此乙战士比甲战士的射击情况稳定. 综上，乙射击成绩较好. 20.(本小题满分 12 分)一家保险公司决定对推销员实行月标管理， 按以往月销售额 (单位：千元)把推销员分为甲、乙
25、、丙三个层次，各层次人数如下： 甲 乙 丙 月销售额 20，25 15，20) 10，15) 人数 120 240 90 (1)为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分 配的分层随机抽样抽取 30 人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少 人？ (2)确定销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多 数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘 推销员的工作潜力.现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额(单位：千 元)： 14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6
26、 24.6 23.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.2 17.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8 公司为了使 70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标 定为多少比较合理？ 解 (1)根据表中数据可得， 三层共有 12024090450 人， 抽样比为 30 450 1 15， 故应该从甲层抽取 120 1 158(人)；从乙层抽取 240 1 1516 人；从丙层抽取 90 1 156(人). (2)将 30 个数据按照从小到大的顺序进行排序，可得： 11.5
27、，12.8，13.5，13.6，14.2，14.9，15.6，15.7，15.8，16.2， 16.3，16.4，17.0，17.2，17.7，17.8，18.0，18.2，18.4，19.2， 19.5，19.8，20.5，21.8，22.1，22.4，23.2，24.0，24.6，24.8， 为使得 70%的销售员完成目标，只需求出第 30 百分位数即可. 由3030%9可知样本数据的第30百分位数为第9项与第10项数据的平均数， 即15.816.2 2 16.0.则应该将销售目标定为 16 000 元比较合理. 21.(本小题满分 12 分)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取 12 颗珍
28、珠，得到它 们的质量(单位：g)如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. (1)分别求出这组数据的第 25，75，95 百分位数； (2)请你找出珍珠质量较小的前 15%的珍珠质量； (3)若用第 25，50，95 百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品 和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准. 解 (1)将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6， 8.9，9.0，9.9， 因为共有 12 个数据，所以 1225%3，1275%9，1295%
29、11.4， 则第 25 百分位数是8.08.3 2 8.15， 第 75 百分位数是8.68.9 2 8.75， 第 95 百分位数是第 12 个数据为 9.9. (2)因为共有 12 个数据，所以 1215%1.8，则第 15 百分位数是第 2 个数据为 7.9. 即产品质量较小的前 15%的产品有 2 个，它们的质量分别为 7.8，7.9. (3)由(1)可知样本数据的第 25 百分位数是 8.15 g，第 50 百分位数为 8.5 g， 第 95 百分位数是 9.9 g，所以质量小于或等于 8.15 g 的珍珠为次品， 质量大于 8.15 g 且小于或等于 8.5 g 的珍珠为合格品，
30、质量大于 8.5 g 且小于等于 9.9 的珍珠为优等品，质量大于 9.9 g 的珍珠为特优品. 22.(本小题满分 12 分)为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的 50 名男生 进行了身高测量(单位：cm)，结果如下： 175 168 170 176 167 181 162 173 171 177 179 172 165 157 172 173 166 177 169 181 160 163 166 177 175 174 173 174 171 171 158 170 165 175 165 174 169 163 166 166 174 172 166 172 167 172 17
31、5 161 173 167 (1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图； (2)计算样本平均数和标准差； (3)由样本数据估计总体中有多少数据落在区间(x s，x s)内. 解 (1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 156.5，161.5) 4 0.08 161.5，166.5) 11 0.22 166.5，171.5) 11 0.22 171.5，176.5) 18 0.36 176.5，181.5 6 0.12 合计 50 1.00 频率分布直方图如图所示. (2)由计算可以得到平均数x 170.1 cm，标准差 s5.6 cm. (3)因为x 170.1，s5.6，所以区间(x s，x s)为(164.5，175.7)，又样本中落在 区间(164.5， 175.7)内的数据有36个， 所以样本数据中有72%的数据落在区间(164.5， 175.7)内，因此估计总体中有 72%的数据落在区间(164.5.175.7)内.