1、第二章第二章 函数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y x1 x1 的定义域是( ) A.(1，) B.1，) C.(1，1)(1，) D.1，1)(1，) 答案 D 解析 函数的定义域需满足 x10， x10，解得 x1 且 x1，故选 D. 2.已知 f(x)是一次函数，且 ff(x)x2，则 f(x)( ) A.x1 B.2x1 C.x1 D.x1 或x1 答案 A 解析 设 f(x)kxb(k0)，则 ff(x)k(kxb)bk2xkbbx
2、2， k 21， kbb2， k1， b1，故选 A. 3.已知函数 f(x) 2 x，x0， 1 2 x ，x0， 则 f(f(2)( ) A.4 B.1 2 C.1 2 D.8 答案 D 解析 函数 f(x) 2 x，x0， 1 2 x ，x0， f(2) 1 2 2 1 4， f(f(2)f 1 4 2 1 4 8. 4.下列函数中既是奇函数又是增函数的为( ) A.yx1 B.yx2 C.y1 x D.yx|x| 答案 D 解析 A 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数，在(0，)和(，0) 上为减函数.故选 D. 5.若函数 f(x)为偶函数， x0 时， f(x)单调递增，
3、Pf()， Qf(3.14)， Rf( 2)， 则 P，Q，R 的大小为( ) A.RQP B.QRP C.PRQ D.PQR 答案 D 解析 因为 f(x)在(0，)上单调递增，且 3.14 2，故 f()f(3.14)f( 2)， 又 f(x)是偶函数，所以 f()f()，故 f()f(3.14)f( 2)，即 PQR. 6.已知定义在3，3上的函数 yf(x)的图象如图所示.下述三个结论： 函数 yf(x)的值域为2，2 函数 yf(x)的单调递减区间为1，1 存在实数 a 满足 f(a)f(a)0 其中所有正确结论的编号是( ) A. B. C. D.都不正确 答案 B 解析 由图象可
4、知函数的最大值大于 2，最小值小于2，所以错误；由图象 可知函数 yf(x)的单调递减区间为1，1，所以正确；当 a1 时，有 f(a) f(a)f(1)f(1)220，所以正确，故选 B. 7.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且对任意 x1，x2(，0，当 x1x2 时总有f（x 1）f（x2） x1x2 0，则满足 f(12x)f 1 3 0 的 x 的范围是( ) A. 1 3， 2 3 B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3 D. 1 2， 2 3 答案 A 解析 由题意，f(x)在(，0上是增函数，又 f(x)是定义域为 R 的偶函数，故 f(x)在0，)上是减函
5、数.由 f(12x)f 1 3 0 可得 f(12x)f 1 3 f 1 3 ，所 以1 312x 1 3，解得 1 3x 2 3. 8.已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)4f(x)， 若函数 y2x1 x 与 yf(x)图象的交点 为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则 m i1 (xiyi)( ) A.0 B.m C.2m D.4m 答案 C 解析 因为函数 f(x)(xR)满足 f(x)4f(x)，即函数 f(x)(xR)满足 f（x）f（x） 2 2， 所以 yf(x)关于点(0，2)对称，函数 y2x1 x 等价于 y21 x， 所以函数 y2x1 x 也关于点(
6、0，2)对称， 所以函数 y2x1 x 与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)也关 于点(0，2)对称， 故交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对点都关于(0，2)对称， 故 m i1 (xiyi)(x1x2xm)(y1y2ym)0 m 242m. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.下列各组中两个函数不是同一函数的是( ) A.f(x)4x4和 g(x)(4x)4 B.f(x)x
7、和 g(x)3x3 C.f(x)1 和 g(x)x0 D.f(x)x 29 x3 和 g(x)x3 答案 ACD 解析 A，C，D 中函数的定义域不同. 10.下列函数中值域是0，)的是( ) A.y x23x2 B.yx2x1 4 C.y 1 |x| D.y2x1 答案 AB 解析 A 中 y x23x2 x3 2 2 1 40， B 中 y x1 2 2 0， C 中 y 1 |x|0，D 中 yR. 11.已知 f(x)为定义在 R 上的函数，对任意的 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)， 并且当 x0 时，有 f(x)4，则实数 a 的取值范围为(，1)(1，) 答案 ACD
8、解析 取 xy0 得，则 f(00)f(0)f(0)， 即 f(0)0，故 A 正确； 取 yx 代入，得 f(0)f(x)f(x)，又 f(0)0，于是 f(x)f(x)，f(x)为 奇函数，因为 f(2)2，所以 f(2)f(2)2，故 B 错误； 设 x1，x2R 且 x1x2， 则 f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1x2)， 由 x1x20 知，f(x1x2)0，f(x2)f(x1)， 函数 f(x)为 R 上的增函数，故 C 正确； 因为 f(2)2，所以 f(4)f(2)f(2)4，所以 f(a2)f(2a5)4 等价于 f(a2)f(2a 5)f(4)
9、， 即 f(a2)f(2a5)f(4)， 所以 f(a2)f(2a54)等价于 a22a54， 即(a1)20， 解得 a1 或 af(m22m2)，则实数 m 的取值范围是_. 答案 1 2，1 2 解析 因为函数 f(x)在定义域2a，3上是偶函数，所以 2a30，解得 a 5， 所以可得 f(m21)f(m22m2)又 f(x)在0， 3上单调递减， 所以 f(x)在 3，0上单调递增，因为m210，m22m2(m1)21f(m22m2)可得， m 21m22m2， 3m210， 3m22m20， 解得 1 2 m0 时，f(x)x2 2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式；
10、 (2)画出函数 f(x)的图象. 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0； 当 x0，因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)， 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上，f(x) x 22x，x0， 0，x0， x22x，x0. (2)图象如图所示. 18.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)满足 f(1)f(3)3，f(1)1. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在a1，a1上有最小值1，最大值 f(a1)，求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f（1）abc3， f（3）9
11、a3bc3， f（1）abc1， 解得 a1，b2，c0，f(x)x22x. (2)根据题意得 a11a1， （a1）11（a1），解得 1a2， 实数 a 的取值范围为1，2. 19.(本小题满分 12)设函数 f(x)ax 21 bxc 是奇函数(a，b 都是正整数)，且 f(1)2， f(2)3. (1)求 a，b，c 的值； (2)当 x0 时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论. 解 (1)由 f(x)ax 21 bxc 是奇函数， 得 f(x)f(x)对定义域内 x 恒成立， 则a（x） 21 b（x）c ax 21 bxc bxc(bxc)对定义域内x恒成立， 即c0
12、.f(1) a1 b 2，f(2)4a1 2b 3，又 a，b 是正整数，得 ba1. (2)由(1)知 f(x)x 21 x x1 x， 当 x0 时，f(x)在(，1上单调递增，在1，0)上单调递减，以下用定义 证明. 设 x1x21，则 f(x1)f(x2)x1 1 x1 x2 1 x2 x1x2 x2x1 x1x2 (x1 x2) 1 1 x1x2 ，因为 x1x21，x1x20. f(x1)f(x2)0，故 f(x)在(，1上单调递增. 同理可证 f(x)在1，0)上单调递减. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x 2m x (1x4)，且 f(1)5. (1)求实数
13、m 的值，并求函数 f(x)的值域； (2)函数 g(x)ax1(2x0 时，g(x0)2a1，2a1， 4，52a1，2a1. a0， 2a14， 2a15， a3. 当 a0 时，g(x0)2a1，2a1， 4，52a1，2a1. a0， 2a14， 2a15. a3. 综上所述，实数 a 的取值范围是(，33，). 21.(本小题满分 12 分)据百度百科，罗伯特 纳维利斯是一位意大利教师，他的主 要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说， 家庭作业通常有选择题、 填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业有利 于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均
14、不利于学习成绩的提升.这位专家 把一个选择题量化为 1.0，一个填空题约量化为 1.6，一个解答题约量化为 4.2. 于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量 m 对应的关联 函数h(m) 4m，0m10， 40，10m20， 1003m，2030. 家庭作业量m对应的学习成绩提升效果f(m) 可以表达为坐标轴 x 轴，直线 xm 以及关联函数 h(m)所围成的封闭多边形的面 积 S(m)与 m 的比值(即 f(m)S（m） m ).通常家庭作业量 m 使得 f(m)30 认为是最 佳家庭作业量. (1)求 S(10)，f(10)的值； (2)求 f(m)的解析式； (3)某
15、中学高一某班的数学学科家庭作业量通常是一个课时对应练习题(6 个选择 题、 4 个填空题及 3 个解答题)， 问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家 庭作业量？ 解 (1)S(10)1 210410200. f(10)S（10） 10 200 10 20. (2)当 0m10 时，f(m)S（m） m 1 2m 4m m 2m. 当 10m20 时， f(m)S（m） m 20040（m10） m 40200 m . 当 2030 时， f(m)S（m） m 85010（m30） m 10550 m . 所以 f(m) 2m，0m10， 40200 m ，10m20， 1003 2m 80
16、0 m ，2030. (3)某中学高一某班的家庭作业量为 6141.634.225. f(m)f(25)1003 225 800 25 30.530. 所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量. 22.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)，g(x)的定义域分别为 Df，Dg，且 DfDg，若对 于任意 xDf，都有 g(x)f(x)，则称 g(x)是 f(x)在 Dg上的一个延拓函数.给定 f(x) x21(00，t0，求证：g(st)g(s)g(t). 解 (1)当 x0 时，由 h(x)为奇函数，得 h(0)0. 任意 x1，0)，则x(0，1， 由 h(x)为奇函数，得 h(
17、x)h(x)(x)21x21， 所以 h(x)的解析式为 h(x) x 21，0 x1， 0，x0， x21，1x0. (2)函数 yg（x） x 是(0，1)上的增函数.证明如下： 因为 g(x)为 f(x)在(0，)上的一个延拓函数，所以当 x(0，1)时， g(x)f(x)x21. 记 k(x)g（x） x f（x） x x1 x， x1，x2(0，1)，设 x1x2，则 k(x1)k(x2)x1 1 x1x2 1 x2(x1x2) x2x1 x1x2 (x1 x2) 1 1 x1x2 x1x20， k(x1)k(x2)0，即 k(x1)0，t0，所以 sts，stt， 所以g（st） st g（s） s ， 即 s g(st)(st) g(s). 同理可得：t g(st)(st) g(t). 将上述两个不等式相加，并除以 st， 即得 g(st)g(s)g(t).