1、第第 2 2 章章 圆与方程圆与方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1直线 xy10 被圆(x1)2y23 截得的弦长等于( ) A. 2 B2 C2 2 D4 答案 B 解析 由题意，得圆心为(1,0)，半径 r 3，弦心距 d|101| 1212 2， 所以所求的弦长为 2 r2d22. 2若点 P(1,1)为圆 x2y26x0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为( ) A2xy30 Bx2y10 Cx2y30 D2xy10 答案 D 解析 由题意，知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心 A(3,0
2、) 因为点 P(1,1)为弦 MN 的中点，所以 APMN. 又 AP 的斜率 k10 13 1 2， 所以直线 MN 的斜率为 2， 所以弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1)，即 2xy10. 3圆 C：x2y2ax20 与直线 l 相切于点 A(3,1)，则直线 l 的方程为( ) A2xy50 Bx2y10 Cxy20 Dxy40 答案 D 解析 由已知条件，得 32123a20，解得 a4，则圆 C：x2y24x20 的圆心为 C(2,0)，半径为 2，直线 AC 的斜率 k1，则直线 l 的方程为 y11 k (x3)x3，即 xy40. 4已知直线 l 过点(2,0)，当直线
3、 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是( ) A(2 2，2 2) B( 2， 2) C. 2 4 ， 2 4 D. 1 8， 1 8 答案 C 解析 易知圆心坐标是(1,0)，半径是 1，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k 0，由点到直线的距离公式，得 |k2k| k211，即 k 21 8，解得 2 4 k 2 4 . 5如果圆(xa)2(y1)21 上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a 的取值范围是( ) A(2 2，0)(0,2 2) B(2 2，2 2) C(1,0)(0,1) D(1,1) 答案 A 解析 圆(
4、xa)2(y1)21 上总存在两个点到原点的距离为 2， 圆 O：x2y24 与圆 C：(xa)2(y1)21 相交 OC a21， 由 21OC21，得 1 a213， 0|a|2 2， 2 2a0 或 0a2 2. 6 已知圆 C1： (xa)2(y2)21 与圆 C2： (xb)2(y2)24 外切， a， b 为正实数， 则 ab 的最大值为( ) A2 3 B.9 4 C. 3 2 D. 6 2 答案 B 解析 因为圆C1： (xa)2(y2)21的圆心C1(a,2)， 半径r11， 圆C2： (xb)2(y2)24的圆心C2(b,2)， 半径 r22，所以 C1C2 ab2222|
5、ab|12，所以 a2b22ab9，所以(ab)24ab9， 所以 ab9 4 ab2 4 9 4，即当 ab 时，ab 取得最大值，最大值为 9 4. 7若过定点 M(1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C：x24xy250 在第一象限内的部分有交点，则实数 k 的取值范围是( ) A(0， 5) B( 5，0) C(0， 13) D(0,5) 答案 A 解析 圆 C 的方程 x24xy250 化为(x2)2y29，圆 C 与 x 轴正半轴交于点 A(1,0)，与 y 轴正半轴 交于点 B(0， 5)，如图所示，因为过定点 M(1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C：x24xy250 在第一象限
6、 内的部分有交点，所以 kMAkkMB，所以 0k 5. 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，2)，点 B(1，1)，P 为圆 x2y22 上一动点(异于点 B)，则 PB PA的最大值是( ) A2 B4 C. 2 D2 2 答案 A 解析 设点 P(x0，y0)，则 x20y202，所以PB 2 PA2 x012y012 x20y022 x 2 0y 2 02x02y02 x20y204y04 2x02y04 4y06 x0y02 2y03 ，令 x0y02 2y03 ，则 0，x0(21)y0320，由题意，知直线 x(21)y32 0 与圆 x2y22 有公共点，所以 |3
7、2| 1212 2，得 240，得 0dACdBC， 又 OA 2232 13， OB 2212 5，且 OC 6212 37.结合图形(图略)可知，若以原点为圆心的圆与ABC 有唯一公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，所以圆的半径为 1 或 37，圆的方程为 x2y21 或 x2y2 37. 12 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点 A， B 的距离之比为定值 (1)的点的轨迹是圆， 此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系 xOy 中，A(2,0)，B(4,0)，点 P 满足PA PB 1 2.设点 P 的轨 迹为 C，则下列结论正确的是( ) A轨迹 C 的方程为(x
8、4)2y29 B在 x 轴上存在异于 A，B 的两点 D，E 使得PD PE 1 2 C当 A，B，P 三点不共线时，射线 PO 是APB 的平分线 D在 C 上存在点 M，使得 MO2MA 答案 BC 解析 在平面直角坐标系 xOy 中，A(2,0)，B(4,0)，点 P 满足PA PB 1 2，设 P(x，y)，则 x22y2 x42y2 1 2，化 简得(x4)2y216，所以 A 错误； 假设在 x 轴上存在异于 A， B 的两点 D， E 使得PD PE 1 2， 设 D(m,0)， E(n,0)， 则 xn 2y22 xm2y2， 化简得 3x23y2(8m2n)x4m2n20，由
9、轨迹 C 的方程为 x2y28x0，可得 8m2n24,4m2n2 0，解得 m6，n12 或 m2，n4(舍去)，即在 x 轴上存在异于 A，B 的两点 D，E 使PD PE 1 2， 所以 B 正确； 当 A，B，P 三点不共线时，OA OB 1 2 PA PB可得射线 PO 是APB 的平分线，所以 C 正确； 若在 C 上存在点 M，使得 MO2MA，可设 M(x，y)，则有 x2y22 x22y2，化简得 x2y216 3 x16 3 0，与 x2y28x0 联立，方程组无解，故不存在点 M，所以 D 错误 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13过点(1,
10、2)可作圆 x2y22x4yk20 的两条切线，则实数 k 的取值范围是_ 答案 (3,7) 解析 把圆的方程化为标准方程得(x1)2(y2)27k， 圆心坐标为(1,2)，半径 r 7k， 则点(1,2)到圆心的距离 d2. 由题意，可知点(1,2)在圆外， dr，即 7k0， 解得 3k7，则实数 k 的取值范围是(3,7) 14若O1：x2y25 与O2：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂 直，则线段 AB 的长是_ 答案 4 解析 由题意知 O1(0,0)，O2(m,0)，且 5|m|3 5.因为 O1AO2A，所以 m2( 5)2(2 5)
11、225，所以 m 5，所以 AB2 52 5 5 4. 15已知 P(a，b)为圆 C：x2y22x4y40 上任意一点，则b1 a1的最大值为_ 答案 4 3 解析 圆的方程即(x1)2(y2)21，圆心坐标为(1,2)，半径为 1，代数式b1 a1表示圆上的点(a，b)与定点 (1,1)连线的斜率，设过点(1,1)的直线方程为 y1k(x1)，与圆的方程联立，可得(k21)x2(2k22k 2)x(k1)20，考虑临界条件，令 (2k22k2)24(k21)(k1)20，可得 k10，k24 3，则 b1 a1的 最大值为4 3. 16若直线 xsin ycos 1 与圆 x2y22x2y
12、cos cos215 160 相切，且 为锐角，则这条直线的斜 率是_ 答案 3 3 解析 圆 x2y22x2ycos cos215 160 化为标准方程为(x1) 2(ycos )21 16，圆心为(1，cos )， 半径为1 4，由题意得，圆心到直线的距离 d |1sin cos2 1| sin2cos2 1 4，所以|sin sin 2|1 4.因为 为锐角，所 以 0sin2sin 1，sin sin21 40，解得 sin 1 2，故 cos 3 2 ，所以直线 xsin ycos 1 的斜率 k sin cos 1 2 3 2 3 3 . 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分
13、) 17(10 分)已知圆 C 的圆心为(2,1)，若圆 C 与圆 O：x2y23x0 的公共弦所在直线过点(5，2)，求圆 C 的方程 解 设圆 C 的半径长为 r，则圆 C 的方程为(x2)2(y1)2r2，即 x2y24x2y5r2，圆 C 与圆 O 的 方程相减得公共弦所在直线的方程为 x2y5r20，因为该直线过点(5，2)，所以 r24，则圆 C 的方 程为(x2)2(y1)24. 18(12 分)已知圆 C：(x2)2(y3)24，直线 l：(m2)x(2m1)y7m8. (1)求证：直线 l 与圆 C 恒相交； (2)当 m1 时，过圆 C 上点(0,3)作圆的切线 l1交直线
14、 l 于点 P，Q 为圆 C 上的动点，求 PQ 的取值范围 (1)证明 直线 l 的方程可化为 m(x2y7)2xy80， 故 l 恒过点 A(3,2) (32)2(23)224， 即点 A 在圆 C 内，直线 l 与圆 C 恒相交 (2)解 由题意知直线 l1的方程为 x0. 又当 m1 时，l：xy5， 联立 x0， xy5， 得交点 P(0,5)， PC2 2，PQ2 22,2 22 19(12 分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长 2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之 间，也是国内最大的水下立交系统如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷
15、道拱部的形状)，路面宽为 4 5 m，高 4 m车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.5 m，高为 3.5 m 的货车能否驶入这个隧道？请说明理由(参考数据： 143.74) 解 如图，建立平面直角坐标系，设圆心 M(0，m)，A(2 5，0)，B(0,4)， 由 MAMB 得，m1 2， 则圆的方程为 x2 y1 2 2 9 2 2， 所以当 x2.5 时，y 141 23.240)， 根据题意得 1a21b2r2， 1a21b2r2， ab20 a1， b1， r2 故所求圆 M 的方程为(x1)2(y1)24. (2)如图， 四边形 PAMB 的面积为 SSPAMSPBM， 即 S
16、1 2(AM PABM PB)， 又 AMBM2，PAPB，所以 S2PA， 而 PA PM24，即 S2 PM24. 因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可， PM 的最小值即为点 M 到直线 3x4y80 的距离， 所以 PMmin|348| 5 3， 四边形 PAMB 面积的最小值为 2 PM242 5. 21(12 分)已知圆 O：x2y2r2(r0)经过点 A(0,5)，与 x 轴正半轴交于点 B. (1)求 r 的值； (2)圆 O 上是否存在点 P，使得PAB 的面积为 15？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 解 (1)因为圆 O：x2y2r2(r0)经
17、过点 A(0,5)，所以 r225，解得 r5. (2)存在因为 r5， 所以圆 O 的方程为 x2y225， 依题意，得 A(0,5)，B(5,0)， 所以 AB5 2， 直线 AB 的方程为 xy50， 又因为PAB 的面积为 15， 所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 2， 设点 P(x0，y0)， 所以点 P 到直线 AB 的距离为|x0y05| 2 3 2， 解得 x0y01 或 x0y011(显然此时点 P 不在圆上，故舍去)， 建立方程组 x0y01， x20y2025， 解得 x04， y03 或 x03， y04， 所以存在点 P(4,3)或 P(3，4)满足题意 22(
18、12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求OMN 的面积 解 (1)设直线 l 的方程为 ykx1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1， 解得4 7 3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3 . (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70， 所以 x1x241k 1k2 ，x1x2 7 1k2， 所以OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k 1k2 8. 由题设得4k1k 1k2 812，解得 k1， 所以直线 l 的方程为 yx1， 所以圆心 C 在直线 l 上，所以 MN2. 原点 O 到直线 l 的距离 d 1 2 2 2 ， 所以OMN 的面积 S1 2MN d 1 22 2 2 2 2 .