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第2章 圆与方程 单元检测卷(含答案)2021年秋苏教版高中数学选择性必修第一册

1、第第 2 2 章章 圆与方程圆与方程 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1直线 xy10 被圆(x1)2y23 截得的弦长等于( ) A. 2 B2 C2 2 D4 答案 B 解析 由题意,得圆心为(1,0),半径 r 3,弦心距 d|101| 1212 2, 所以所求的弦长为 2 r2d22. 2若点 P(1,1)为圆 x2y26x0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线的方程为( ) A2xy30 Bx2y10 Cx2y30 D2xy10 答案 D 解析 由题意,知圆的标准方程为(x3)2y29,圆心 A(3,0

2、) 因为点 P(1,1)为弦 MN 的中点,所以 APMN. 又 AP 的斜率 k10 13 1 2, 所以直线 MN 的斜率为 2, 所以弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1),即 2xy10. 3圆 C:x2y2ax20 与直线 l 相切于点 A(3,1),则直线 l 的方程为( ) A2xy50 Bx2y10 Cxy20 Dxy40 答案 D 解析 由已知条件,得 32123a20,解得 a4,则圆 C:x2y24x20 的圆心为 C(2,0),半径为 2,直线 AC 的斜率 k1,则直线 l 的方程为 y11 k (x3)x3,即 xy40. 4已知直线 l 过点(2,0),当直线

3、 l 与圆 x2y22x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( ) A(2 2,2 2) B( 2, 2) C. 2 4 , 2 4 D. 1 8, 1 8 答案 C 解析 易知圆心坐标是(1,0),半径是 1,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 yk(x2),即 kxy2k 0,由点到直线的距离公式,得 |k2k| k211,即 k 21 8,解得 2 4 k 2 4 . 5如果圆(xa)2(y1)21 上总存在两个点到原点的距离为 2,则实数 a 的取值范围是( ) A(2 2,0)(0,2 2) B(2 2,2 2) C(1,0)(0,1) D(1,1) 答案 A 解析 圆(

4、xa)2(y1)21 上总存在两个点到原点的距离为 2, 圆 O:x2y24 与圆 C:(xa)2(y1)21 相交 OC a21, 由 21OC21,得 1 a213, 0|a|2 2, 2 2a0 或 0a2 2. 6 已知圆 C1: (xa)2(y2)21 与圆 C2: (xb)2(y2)24 外切, a, b 为正实数, 则 ab 的最大值为( ) A2 3 B.9 4 C. 3 2 D. 6 2 答案 B 解析 因为圆C1: (xa)2(y2)21的圆心C1(a,2), 半径r11, 圆C2: (xb)2(y2)24的圆心C2(b,2), 半径 r22,所以 C1C2 ab2222|

5、ab|12,所以 a2b22ab9,所以(ab)24ab9, 所以 ab9 4 ab2 4 9 4,即当 ab 时,ab 取得最大值,最大值为 9 4. 7若过定点 M(1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C:x24xy250 在第一象限内的部分有交点,则实数 k 的取值范围是( ) A(0, 5) B( 5,0) C(0, 13) D(0,5) 答案 A 解析 圆 C 的方程 x24xy250 化为(x2)2y29,圆 C 与 x 轴正半轴交于点 A(1,0),与 y 轴正半轴 交于点 B(0, 5),如图所示,因为过定点 M(1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C:x24xy250 在第一象限

6、 内的部分有交点,所以 kMAkkMB,所以 0k 5. 8在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2),点 B(1,1),P 为圆 x2y22 上一动点(异于点 B),则 PB PA的最大值是( ) A2 B4 C. 2 D2 2 答案 A 解析 设点 P(x0,y0),则 x20y202,所以PB 2 PA2 x012y012 x20y022 x 2 0y 2 02x02y02 x20y204y04 2x02y04 4y06 x0y02 2y03 ,令 x0y02 2y03 ,则 0,x0(21)y0320,由题意,知直线 x(21)y32 0 与圆 x2y22 有公共点,所以 |3

7、2| 1212 2,得 240,得 0dACdBC, 又 OA 2232 13, OB 2212 5,且 OC 6212 37.结合图形(图略)可知,若以原点为圆心的圆与ABC 有唯一公共点,则公共点为(0,1)或(6,1),所以圆的半径为 1 或 37,圆的方程为 x2y21 或 x2y2 37. 12 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两定点 A, B 的距离之比为定值 (1)的点的轨迹是圆, 此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系 xOy 中,A(2,0),B(4,0),点 P 满足PA PB 1 2.设点 P 的轨 迹为 C,则下列结论正确的是( ) A轨迹 C 的方程为(x

8、4)2y29 B在 x 轴上存在异于 A,B 的两点 D,E 使得PD PE 1 2 C当 A,B,P 三点不共线时,射线 PO 是APB 的平分线 D在 C 上存在点 M,使得 MO2MA 答案 BC 解析 在平面直角坐标系 xOy 中,A(2,0),B(4,0),点 P 满足PA PB 1 2,设 P(x,y),则 x22y2 x42y2 1 2,化 简得(x4)2y216,所以 A 错误; 假设在 x 轴上存在异于 A, B 的两点 D, E 使得PD PE 1 2, 设 D(m,0), E(n,0), 则 xn 2y22 xm2y2, 化简得 3x23y2(8m2n)x4m2n20,由

9、轨迹 C 的方程为 x2y28x0,可得 8m2n24,4m2n2 0,解得 m6,n12 或 m2,n4(舍去),即在 x 轴上存在异于 A,B 的两点 D,E 使PD PE 1 2, 所以 B 正确; 当 A,B,P 三点不共线时,OA OB 1 2 PA PB可得射线 PO 是APB 的平分线,所以 C 正确; 若在 C 上存在点 M,使得 MO2MA,可设 M(x,y),则有 x2y22 x22y2,化简得 x2y216 3 x16 3 0,与 x2y28x0 联立,方程组无解,故不存在点 M,所以 D 错误 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13过点(1,

10、2)可作圆 x2y22x4yk20 的两条切线,则实数 k 的取值范围是_ 答案 (3,7) 解析 把圆的方程化为标准方程得(x1)2(y2)27k, 圆心坐标为(1,2),半径 r 7k, 则点(1,2)到圆心的距离 d2. 由题意,可知点(1,2)在圆外, dr,即 7k0, 解得 3k7,则实数 k 的取值范围是(3,7) 14若O1:x2y25 与O2:(xm)2y220(mR)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂 直,则线段 AB 的长是_ 答案 4 解析 由题意知 O1(0,0),O2(m,0),且 5|m|3 5.因为 O1AO2A,所以 m2( 5)2(2 5)

11、225,所以 m 5,所以 AB2 52 5 5 4. 15已知 P(a,b)为圆 C:x2y22x4y40 上任意一点,则b1 a1的最大值为_ 答案 4 3 解析 圆的方程即(x1)2(y2)21,圆心坐标为(1,2),半径为 1,代数式b1 a1表示圆上的点(a,b)与定点 (1,1)连线的斜率,设过点(1,1)的直线方程为 y1k(x1),与圆的方程联立,可得(k21)x2(2k22k 2)x(k1)20,考虑临界条件,令 (2k22k2)24(k21)(k1)20,可得 k10,k24 3,则 b1 a1的 最大值为4 3. 16若直线 xsin ycos 1 与圆 x2y22x2y

12、cos cos215 160 相切,且 为锐角,则这条直线的斜 率是_ 答案 3 3 解析 圆 x2y22x2ycos cos215 160 化为标准方程为(x1) 2(ycos )21 16,圆心为(1,cos ), 半径为1 4,由题意得,圆心到直线的距离 d |1sin cos2 1| sin2cos2 1 4,所以|sin sin 2|1 4.因为 为锐角,所 以 0sin2sin 1,sin sin21 40,解得 sin 1 2,故 cos 3 2 ,所以直线 xsin ycos 1 的斜率 k sin cos 1 2 3 2 3 3 . 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分

13、) 17(10 分)已知圆 C 的圆心为(2,1),若圆 C 与圆 O:x2y23x0 的公共弦所在直线过点(5,2),求圆 C 的方程 解 设圆 C 的半径长为 r,则圆 C 的方程为(x2)2(y1)2r2,即 x2y24x2y5r2,圆 C 与圆 O 的 方程相减得公共弦所在直线的方程为 x2y5r20,因为该直线过点(5,2),所以 r24,则圆 C 的方 程为(x2)2(y1)24. 18(12 分)已知圆 C:(x2)2(y3)24,直线 l:(m2)x(2m1)y7m8. (1)求证:直线 l 与圆 C 恒相交; (2)当 m1 时,过圆 C 上点(0,3)作圆的切线 l1交直线

14、 l 于点 P,Q 为圆 C 上的动点,求 PQ 的取值范围 (1)证明 直线 l 的方程可化为 m(x2y7)2xy80, 故 l 恒过点 A(3,2) (32)2(23)224, 即点 A 在圆 C 内,直线 l 与圆 C 恒相交 (2)解 由题意知直线 l1的方程为 x0. 又当 m1 时,l:xy5, 联立 x0, xy5, 得交点 P(0,5), PC2 2,PQ2 22,2 22 19(12 分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道,总长 2 997 m,在南昌大桥和新八一大桥之 间,也是国内最大的水下立交系统如图,已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷

15、道拱部的形状),路面宽为 4 5 m,高 4 m车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.5 m,高为 3.5 m 的货车能否驶入这个隧道?请说明理由(参考数据: 143.74) 解 如图,建立平面直角坐标系,设圆心 M(0,m),A(2 5,0),B(0,4), 由 MAMB 得,m1 2, 则圆的方程为 x2 y1 2 2 9 2 2, 所以当 x2.5 时,y 141 23.240), 根据题意得 1a21b2r2, 1a21b2r2, ab20 a1, b1, r2 故所求圆 M 的方程为(x1)2(y1)24. (2)如图, 四边形 PAMB 的面积为 SSPAMSPBM, 即 S

16、1 2(AM PABM PB), 又 AMBM2,PAPB,所以 S2PA, 而 PA PM24,即 S2 PM24. 因此要求 S 的最小值,只需求 PM 的最小值即可, PM 的最小值即为点 M 到直线 3x4y80 的距离, 所以 PMmin|348| 5 3, 四边形 PAMB 面积的最小值为 2 PM242 5. 21(12 分)已知圆 O:x2y2r2(r0)经过点 A(0,5),与 x 轴正半轴交于点 B. (1)求 r 的值; (2)圆 O 上是否存在点 P,使得PAB 的面积为 15?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由 解 (1)因为圆 O:x2y2r2(r0)经

17、过点 A(0,5),所以 r225,解得 r5. (2)存在因为 r5, 所以圆 O 的方程为 x2y225, 依题意,得 A(0,5),B(5,0), 所以 AB5 2, 直线 AB 的方程为 xy50, 又因为PAB 的面积为 15, 所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 2, 设点 P(x0,y0), 所以点 P 到直线 AB 的距离为|x0y05| 2 3 2, 解得 x0y01 或 x0y011(显然此时点 P 不在圆上,故舍去), 建立方程组 x0y01, x20y2025, 解得 x04, y03 或 x03, y04, 所以存在点 P(4,3)或 P(3,4)满足题意 22(

18、12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x2)2(y3)21 交于 M,N 两点 (1)求 k 的取值范围; (2)若OM ON 12,其中 O 为坐标原点,求OMN 的面积 解 (1)设直线 l 的方程为 ykx1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以|2k31| 1k2 1, 解得4 7 3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ,4 7 3 . (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21,整理得 (1k2)x24(1k)x70, 所以 x1x241k 1k2 ,x1x2 7 1k2, 所以OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k 1k2 8. 由题设得4k1k 1k2 812,解得 k1, 所以直线 l 的方程为 yx1, 所以圆心 C 在直线 l 上,所以 MN2. 原点 O 到直线 l 的距离 d 1 2 2 2 , 所以OMN 的面积 S1 2MN d 1 22 2 2 2 2 .