1、第第 4 4 章章 数列数列 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1已知等比数列 an满足 a11 4，a3a54( )a41 ，则 a2等于( ) A2 B1 C.1 2 D. 1 8 答案 C 解析 由题意可得 a3a5a244()a41 a42，所以 q3a4 a18q2，故 a2a1q 1 2 . 2在等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 a1a52a310，a35， da4a3752. 3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Snan2bn，若 a73a2，S8a2，则 的值为( )
2、A15 B16 C17 D18 答案 B 解析 数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Snan2bn， 数列 an是等差数列， a73a2， a16d3()a1d ， 解得 a13 2d. S8a2， 8a187 2 d()a1d ， 40d5 2d， 解得 16. 4已知圆 O 的半径为 5，OP3，过点 P 的 2 021 条弦的长度组成一个等差数列an，最短弦长为 a1，最 长弦长为 a2 021，则其公差为( ) A. 1 2 020 B. 1 1 010 C. 3 1 010 D. 1 505 答案 B 解析 由题意， 知最长弦长为直径， 即 a2 02110， 最短弦长和最长弦长垂
3、直， 由弦长公式 a12 52328， 所以 da2 021a1 2 0211 1 1 010. 5已知数列 an满足 a11，a24，a310，an1an是等比数列，则数列 an的前 8 项和 S8等于( ) A376 B382 C749 D766 答案 C 解析 由已知得，a2a13，a3a26，而an1an是等比数列，故 q2， 当 n2 时，(anan1)(an1an2)(a2a1)3632n 2332 n1 12 32n 13， ana132n 13，化简得 a n32 n12， 当 n1 时，a11321 12， an32n 12. S8a1a2a83(1227)28312 8 1
4、2 1632819749. 6已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则ab 2 cd 的最小值是( ) A0 B1 C2 D4 答案 D 解析 x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列， 根据等差数列和等比数列的性质，可知 abxy，cdxy， ab2 cd xy 2 xy 2 xy 2 xy 4，当且仅当 xy 时取“” 7设 d，Sn分别为等差数列an的公差与前 n 项和，若 S10S20，则下列论断中正确的有( ) A当 n15 时，Sn取最大值 B当 n30 时，Sn1 C当 d0 时，a10a220 D当 d0，故 C 正确； 选项
5、D，a10a19d29 2 d18 2 d11 2 d，a22a121d29 2 d42 2 d13 2 d， d0，|a10|11 2 d，|a22|13 2 d，|a10|a22|，故 D 错误 8 若数列an的前 n 项和为 Sn， bnSn n ， 则称数列bn是数列an的“均值数列” 已知数列bn是数列an 的“均值数列”且通项公式为 bnn，设数列 1 anan1 的前 n 项和为 Tn，若 Tn1 2m 2m1 对一切 nN*恒成 立，则实数 m 的取值范围为( ) A(1,3) B1,3 C(，1)(3，) D(，13，) 答案 D 解析 由题意，得数列an的前 n 项和为 S
6、n， 由“均值数列”的定义可得Sn n n，所以 Snn2， 当 n1 时，a1S11； 当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1， a11 也满足 an2n1，所以 an2n1， 所以 1 an an1 1 2n12n1 1 2 1 2n1 1 2n1 ， 所以 Tn1 2 11 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1 1 2 1 1 2n1 1 2， 又 Tn0 B当 n9 时，Sn最大 CS170 DS190 答案 BC 解析 由等差数列前 n 项和的特点可知，当 n9 时，Sn最大，故 a90，a100，S1919a10Bn，即 40n5n 25n 2 ，解得 0nCn，即
7、 40n1 2(2 n1)，解得 0n10， 故有当 0nCn；当 10n15，An0)已知 a112，a411 2a322， a22 a21m. (1)求 m 及 a53； (2)记 Tna11a22a33ann，求 Tn. 解 (1)由已知得 a31a11(31)m2m2， a32a31m(2m2)m2m22m， a41a11(41)m3m2， a411 2a322， 3m21 2(2m 22m)2，即 m22m0. 又 m0，m2， a51a114210， a53a512240. (2)由(1)得 an1a11(n1)22n. 当 n3 时，annan1 2n 1n 2n.(*) 又 a21a1124，a22ma21248. a112，a228 符合(*)式， annn 2n. Tna11a22a33ann Tn121222323424n 2n， 2Tn122223324(n1) 2nn 2n 1， 由得， Tn212223242nn 2n 1 212 n 12 n 2n 1 2n 12n 2n1 (1n) 2n 12， Tn(n1) 2n 12.