1、第第 1 1 章章 直线与方程直线与方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1直线 xy0 的倾斜角为( ) A45 B60 C90 D135 答案 D 解析 因为直线的斜率为1，所以 tan 1，即倾斜角为 135 . 2过点(0，2)且与直线 x2y30 垂直的直线方程为( ) A2xy20 Bx2y20 C2xy20 D2xy20 答案 C 解析 设该直线方程为 2xym0， 由于点(0，2)在该直线上， 则 202m0，即 m2， 即该直线方程为 2xy20. 3直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为(
2、 ) A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50 答案 A 解析 设所求直线上任意一点(x，y)， 则此点关于 x 轴对称的点的坐标为(x，y)， 因为点(x，y)在直线 3x4y50 上， 所以 3x4y50. 4P 点在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离为 2，则 P 点坐标为( ) A(1,2) B(2,1) C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2) 答案 C 解析 设 P(x,53x)，则 d|x53x1| 1212 2，解得 x1 或 x2，故 P(1,2)或(2，1) 5若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则
3、直线 l2恒过定点( ) A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4，2) 答案 B 解析 直线 l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)又由于直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2恒过定点(0,2) 6已知直线 x2ym0(m0)与直线 xny30 互相平行，且它们间的距离是 5，则 mn 等于( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 由题意，所给两条直线平行，所以 n2. 由两条平行直线间的距离公式，得 d |m3| 1222 |m3| 5 5， 解得 m2 或 m8(舍去)，则 mn0. 7 已知 P(1,2
4、)， Q(2,4)， 直线 l： ykx3.若 P 点到直线 l 的距离等于 Q 点到直线 l 的距离， 则 k 等于( ) A.2 3或 6 B. 2 3 C0 D0 或 2 3 答案 D 解析 由题可知|k32| 1k2 |2k34| 1k2 ， 解得 k0 或2 3. 8直线 4x3y120 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，则BAO(O 为坐标原点)的平分线所在直线的方 程为( ) A2xy60 Bx2y30 Cx2y30 D2xy60 或 x2y30 答案 B 解析 由直线 4x3y120，令 x0，得 y4，令 y0，得 x3，即 B(0,4)，A(3,0) 由图可知BAO
5、 为锐角， BAO 的平分线所在的直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值 设P(x， y)为BAO的平分线所在的直线上的任意一点， 则点P到OA的距离为|y|， 到AB的距离为|4x3y12| 4232 |4x3y12| 5 .由角平分线的性质，得|y|4x3y12| 5 ，4x3y125y 或 4x3y125y，即 2xy 60 或 x2y30.由于斜率为负值，故BAO 的平分线所在直线的方程为 x2y30. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的 得 0 分) 9等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C(3,3)，若点
6、 A(0,4)，则点 B 的坐标可能是( ) A(2,0) B(6,4) C(4,6) D(0,2) 答案 AC 解析 设 B 点坐标为(x，y)， 根据题意知 kAC kBC1， BCAC， 则 34 30 y3 x31， x32y32 032432， 解得 x2， y0 或 x4， y6. 10过点 A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有( ) Ayx1 Byx3 Cy2x Dy2x 答案 AC 解析 当直线过原点时，可得斜率为20 102，故直线方程为 y2x；当直线不过原点时，设方程为 x a y a 1，代入点(1,2)可得1 a 2 a1，解得 a1，
7、故方程为 xy10.故所求直线方程为 y2x 或 yx1. 11直线 l1：m2xy30 和直线 l2：3mx(m2)ym0，若 l1l2，则 m 可以取的值为( ) A1 B0 C3 D2 答案 AB 解析 由 m2(m2)3m0，解得 m0 或 m1 或 m3.经验证，当 m3 时，两条直线重合，舍去所 以 m0 或 m1. 12已知点 A(2,0)，B(2,0)，如果直线 3x4ym0 上有且只有一个点 P 使得 PAPB，那么实数 m 可以 等于( ) A4 B4 C10 D10 答案 CD 解析 直线 3x4ym0 上有且只有一个点 P 使得 PAPB，则此直线与圆：x2y24 相切
8、，所以 |00m| 32422，解得 m 10. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 A(2,3)，B(1,2)，若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 y x3的最大值是_ 答案 1 2 解析 y x3的几何意义是点 P(x，y)与点 Q(3,0)连线的斜率， 又点 P(x，y)在线段 AB 上，由图知， 当点 P 与点 B 重合时， y x3有最大值，又 kBQ 20 13 1 2，因此 y x3的最大值为 1 2. 14若直线 l1：ykx3 与 l2：2x3y60 的交点 M 在第一象限，则直线 l1恒过定点_，l1的倾 斜角 的取值范围是_. 答案
9、 (0，3) 4， 2 解析 直线 l2：2x3y60 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 3,2，直线 l1：ykx3 恒过定点(0，3)，如 图， 因为 kPA1，所以直线 PA 的倾斜角为 4， 由图可知，要使直线 l1：ykx3 与 l2：2x3y60 的交点 M 在第一象限， 则 l1的倾斜角的取值范围是 4， 2 . 15若两平行直线 2xy40 与 y2xk2 的距离不大于 5，则 k 的取值范围是_. 答案 11k1 且 k6 解析 因为两平行直线 2xy40 与 y2xk2 的距离不大于 5，即两平行直线 2xy40 与 2x yk20 的距离不大于 5，所以 k24，且|k
10、24| 41 5，求得11k1 且 k6. 16 在平面直角坐标系中， 坐标原点O到过点A(cos 130 ， sin 130 )， B(cos 70 ， sin 70 )的直线距离为_ 答案 3 2 解析 kAB sin 70 sin 130 cos 70 cos 130 cos 20 cos 40 sin 20 sin 40 cos 20 2cos220 1 sin 20 2sin 20 cos 20 1cos 20 sin 20 sin 10 cos 10 ， 根据诱导公式可知，B(sin 20 ，cos 20 )， 所以经过 A，B 两点的直线方程为 ycos 20 sin 10 co
11、s 10 (xsin 20 )， 即 sin 10 xcos 10 ycos 10 cos 20 sin 10 sin 20 0， 即 sin 10 xcos 10 y 3 2 0， 所以原点 O 到直线的距离 d 3 2 sin210 cos210 3 2 . 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知点 A(2,2)，直线 l1：3x4y20. (1)求过点 A 且与直线 l1垂直的直线方程； (2)直线 l2为过点 A 且和直线 l1平行的直线，求平行直线 l1，l2间的距离 解 (1)设过点 A 且与直线 l1垂直的直线方程为 4x3ym0.把点 A 的坐标代入
12、可得86m0，解得 m2.所以过点 A 且与直线 l1垂直的直线方程为 4x3y20. (2)设过点 A 且和直线 l1平行的直线 l2的方程为 3x4yn0. 把点 A 的坐标代入可得68n0，解得 n14， 所以直线 l2的方程为 3x4y140， 所以平行直线 l1，l2间的距离 d |142| 3242 12 5 . 18(12 分)在 x 轴的正半轴上求一点 P，使以 A(1,2)，B(3，3)及点 P 为顶点的ABP 的面积为 5. 解 设点 P 的坐标为(a,0)(a0)，点 P 到直线 AB 的距离为 d， 由已知，得 SABP1 2AB d 1 2 312322 d5，解得
13、d2 5. 由已知易得，直线 AB 的方程为 x2y30， 所以 d |a3| 1222 5， 解得 a7 或 a13(舍去)， 所以点 P 的坐标为(7,0) 19(12 分)已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为3 4. (1)求直线 l 的方程； (2)若直线 m 与 l 平行，且点 P 到直线 m 的距离为 3，求直线 m 的方程 解 (1)由直线方程的点斜式， 得 y53 4(x2)， 整理得所求直线方程为 3x4y140. (2)由直线 m 与直线 l 平行，可设直线 m 的方程为 3x4yC0， 由点到直线的距离公式得|3245C| 3242 3， 即|14C| 5 3，解
14、得 C1 或 C29， 故所求直线方程为 3x4y10 或 3x4y290. 20(12 分)已知直线 l：(2m)x(12m)y43m0. (1)求证：不论 m 为何实数，直线 l 恒过一定点； (2)过点 M(1，2)作一条直线 l1，使 l1夹在两坐标轴之间的线段被 M 点平分，求直线 l1的方程 (1)证明 因为 m(x2y3)2xy40，所以由题意得 x2y30， 2xy40， 解得 x1， y2， 所以直线 l 恒过 定点(1，2) (2)解 设所求直线 l1的方程为 y2k(x1)，直线 l1与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，则 A 2 k1，0 ，B(0， k2)，因为 A
15、B 的中点为 M，所以 22 k1， 4k2， ，解得 k2， 所以所求直线 l1的方程为 2xy40. 21(12 分)如图，面积为 8 的平行四边形 ABCD，A 为坐标原点，B 的坐标为(2，1), C，D 均在第一象限 (1)求直线 CD 的方程； (2)若 BC 13，求点 D 的横坐标 解 (1)由题意，得 kABkCD1 2，所以设直线 CD 的方程为 y 1 2xm，即 x2y2m0，因为 SABCD 8，AB 5，所以 |2m| 14 8 5，所以 m 4，由题图可知 m0，所以 m4，所以直线 CD 的方程为 x 2y80. (2)设 D(a，b)，若 BC 13，则 AD
16、 13，所以 a2b80， a2b2 13， 所以点 D 的横坐标 a6 5或 2. 22(12 分)已知在ABC 中，A(1,1)，B(m， m)，C(4,2)(1m4)当 m 为何值时，ABC 的面积 S 最大？ 解 因为 A(1,1)，C(4,2)， 所以 AC 142122 10， 又直线 AC 的方程为 x3y20， 所以点 B 到直线 AC 的距离 d|m3 m2| 10 ， 所以 SSABC1 2AC d 1 2|m3 m2| 1 2 m3 2 21 4 . 因为 1m4， 所以 1 m2,0 m3 2 21 4， 所以 S1 8 1 2 m3 2 2， 当且仅当 m3 2，即 m 9 4时，S 最大