1、第五章第五章 统计与概率统计与概率 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解 该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为 7 人， 则样本容量为( ) A.7 B.15 C.25 D.35 答案 B 解析 由题意设样本容量为 n，则 n 750 7 350，解得 n15. 2.若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)P(F)1 4
2、，则 P(EF)的值为( ) A.0 B. 1 16 C.1 4 D.1 2 答案 B 解析 E 与 F 相互独立，P(E)P(F)1 4.P(EF)P(E) P(F) 1 16. 3.从 800 件产品中抽取 60 件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将 800 件产品按 001， 002，800 进行编号.如果从随机数表第 8 行第 8 列的数 8 开始往右读数(随机数表第 7 行至 第 9 行的数如下)，则抽取的第 4 件产品的编号是( ) 第 7 行 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 第 8 行 63016
3、37859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 第 9 行 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954 A.169 B.556 C.671 D.105 答案 D 解析 找到第 8 行第 8 列的数 8，并开始向右读，每次读取三位，凡不在 001800 中的数跳 过去不读， 前面已经读过的也跳过去不读， 从而最先抽取的 4 件产品的编号依次是 169， 556， 671，105.故抽取的第 4 件产品的编号是 105. 4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子
4、的概率为1 7，从中取出 2 粒都是 白子的概率是12 35.则从中任意取出 2 粒恰好是不同色的概率是( ) A.1 7 B.12 35 C.17 35 D.18 35 答案 D 解析 易知事件“从中取出 2 粒都是黑子”和“从中取出 2 粒都是白子”为互斥事件，故任意 取出 2 粒恰好是同一色的概率为1 7 12 35 17 35，从而恰好是不同色的概率为 1 17 35 18 35. 5.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为 0.4，0.5，则恰有一人击 中敌机的概率为( ) A.0.9 B.0.2 C.0.7 D.0.5 答案 D 解析 设事件 A，B 分别表示甲
5、、乙飞行员击中敌机，则 P(A)0.4，P(B)0.5，A，B 相互独 立.事件“恰有一人击中敌机”的概率为 P(AB A B)P(A) 1P(B)1P(A) P(B)0.5. 6.有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机里随机抽取了 15 台，记录上午 8：0011：00 间各自的销售情况(单位：元)，用茎叶图表示，设甲、乙的平均数分别为x 1，x 2，标准差分别 为 s1，s2，则( ) A.x 1x 2，s1s2 B.x 1x 2，s1s2 C.x 1x 2，s1s2 D.x 1s2 答案 D 解析 根据公式得到x 1 1 15(865201436222527604143) 307 15
6、 ， x 2 1 15(10121820224627313268384243) 409 15 ， 故x 1s2.或者观察茎叶图，得到乙的数据更集中一 些，故得到 s1s2. 7.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说 四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过 西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西 游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学 生总数比值的估计值为( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 答案 C 解析 法一 设调
7、查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 x，则 x806090， 解得 x70， 所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 70 1000.7.故选 C. 法二 用 Venn 图表示阅读过西游记和红楼梦的人数之间的关系如图： 易知调查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 70，所以该校阅读过西游记的 学生人数与该校学生总数比值的估计值为 70 1000.7.故选 C. 8.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频 率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后 5 组频数和为 62，设视力在 4.6 到 4
8、.8 之间的学生数为 a，最大频率为 0.32，则 a 的值为( ) A.64 B.54 C.48 D.27 答案 B 解析 前两组中的频数为 100(0.050.11)16. 因为后五组频数和为 62，所以前三组频数和为 38. 所以第三组频数为 381622.又最大频率为 0.32， 故第四组频数为 0.3210032.所以 a22 3254.故选 B. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.) 9.在一个试验模型中， 设 A 表示一个随机事件， A 表示 A
9、 的对立事件， 以下结论正确的是( ) A.P(A)P(A ) B.P(AA )1 C.若 P(A)1，则 P(A )0 D.P(AA )0 答案 BCD 解析 A，P(A)P(A )错误；由对立事件的概念得 AA ，即 P(AA )P()1，B 正确； 由对立事件的性质 P(A)P(A )1 知，P(A)1P(A )，故若 P(A)1，则 P(A )0，C 正确； 由对立事件的概念得 A A ，即 P(A A )P()0，D 正确.故选 BCD. 10.小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近 11 周的跑步里程(单位：km)的数 据，绘制了下面的折线图： 根据折线图，下列结论正确
10、的是( ) A.剔除第 8 周数据，周跑步里程逐周增加 B.周跑步里程的极差小于 20 km C.周跑步里程的平均数低于第 7 周对应的里程数 D.周跑步里程的中位数为第 5 周对应的里程数 答案 BCD 解析 剔除第 8 周数据，周跑步里程逐周有增有减，A 错误；周跑步里程的极差比 20 km 小， B 正确； 周跑步里程的中位数为第 5 周对应的里程数， D 正确； 第 7 周对应的里程数为 15 km， 观察数据，知周跑步里程的平均数比 15 km 小，C 正确. 11.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1 2和 1 3，甲、乙两人各射击一次，下列说法正 确的是( ) A.目标恰好
11、被命中一次的概率为1 2 1 3 B.目标恰好被命中两次的概率为1 2 1 3 C.目标被命中的概率为1 2 2 3 1 2 1 3 D.目标被命中的概率为 11 2 2 3 答案 BD 解析 A 中，目标恰好被命中一次的概率应该为1 2 2 3 1 2 1 3 1 2，A 错误；B 正确；C 中，目 标恰好被命中一次的概率为1 2 2 3 1 2 1 3，恰好被命中两次的概率为 1 2 1 3，所以目标被命中的概 率应是两式之和， C 错误； D 中， 目标没有被命中的概率为1 2 2 3， 所以被命中的概率为 1 1 2 2 3， 正确. 12.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从 20
12、01 年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车 产业发展，下面的图表反映了该产业发展的相关信息： 中国新能源汽车产销情况一览表 新能源汽车产量 新能源汽车销量 产量(万辆) 比上年同期增长 (%) 销量(万辆) 比上 年同 期增 长(%) 2018 年 3 月 6.8 105 6.8 117.4 4 月 8.1 117.1 8.2 138.4 5 月 9.6 85.6 10.2 125.6 6 月 8.6 31.7 8.4 42.9 7 月 9 53.6 8.4 47.7 8 月 9.9 39 10.1 49.5 9 月 12.7 64.4 12.1 54.8 10 月 14.6 58.1 13.
13、8 51 11 月 17.3 36.9 16.9 37.6 112 月 127 59.9 125.6 61.7 2019 年 1 月 9.1 113 9.6 138 2 月 5.9 50.9 5.3 53.6 2019 年 2 月份新能源汽车销量结构图 根据上述图表信息，下列结论正确的是( ) A.2018 年 4 月份我国新能源汽车的销量高于产量 B.2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量不超过 3.4 万辆 C.2019 年 2 月份我国插电式混合动力汽车的销量低于 1 万辆 D.2017 年我国新能源汽车总销量超过 70 万辆 答案 ABD 解析 2018 年 4 月份我国新能源汽车
14、的销量为 8.2 万辆，产量为 8.1 万辆，所以 A 正确. 2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量为 6.8 2.053.32 万辆，所以 B 正确. 2019 年 2 月份我国插电式混合动力汽车的销量为 5.325%1.325 万辆，所以 C 不正确. 2017 年我国新能源汽车总销量为125.6 1.61777.67 万辆，所以 D 正确. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，
15、则经停该站高铁列车所有 车次的平均正点率的估计值为_. 答案 0.98 解析 x 100.97200.98100.99 102010 0.98. 14.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务， 则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_. 答案 7 10 解析 法一 设 3 名男同学分别为 A，B，C，2 名女同学分别为 a，b，则所有等可能事件分 别为 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 个，选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件分别为 Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 7 个，故所求概率为 7
16、 10. 法二 同法一，得所有等可能事件共 10 个，选出的 2 名同学中没有女同学包含的基本事件分 别为 AB，AC，BC，共 3 个，故所求概率为 1 3 10 7 10. 15.出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是 相互独立的，并且概率都是1 3，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为 _. 答案 4 27 解析 因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独 立的，且遇到红灯的概率都是1 3，所以未遇到红灯的概率都是 1 1 3 2 3，所以遇到红灯前已经 通过了两个交通岗的概率为2 3 2 3 1 3
17、4 27. 16.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分 布直方图如图所示： (1)直方图中 x 的值为_； (2)在这些用户中，用电量落在区间100，250)内的户数为_.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 (1)0.004 4 (2)70 解析 由于(0.002 40.003 60.006 0 x0.002 40.001 2)501，解得 x0.004 4；数据 落在100，250)内的频率是(0.003 60.006 00.004 4)500.7，所以月用电量在100，250) 内的用户数为 1000.770. 四、解答
18、题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三 个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个 问题的概率分别为 0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，求同学甲得分不低于 300 分的概率. 解 设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i1， 2， 3)， 则 P(A1)0.8， P(A2)0.6， P(A3)0.5， 且 A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于 300 分对应于事件 A1A2A3
19、A1A 2A3A 1A2A3发生， 故所求概率为 PP(A1A2A3A1A 2A3A 1A2A3) P(A1A2A3)P(A1A 2A3)P(A 1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A 2)P(A3) P(A 1)P(A2)P(A3) 0.80.60.50.80.40.50.20.60.5 0.46. 18.(12 分)某中学高一女生共有 450 人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部 分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下： 组别 频数 频率 145.5，149.5) 8 0.16 149.5，153.5) 6 0.12 153.5，15
20、7.5) 14 0.28 157.5，161.5) 10 0.20 161.5，165.5) 8 0.16 165.5，169.5 m n 合计 M N (1)求出表中字母 m，n，M，N 所对应的数值； (2)画出频率分布直方图； (3)估计该校高一女生身高在149.5，165.5)范围内有多少人？ 解 (1)由题意得 M 8 0.1650，落在区间165.5，169.5内的数据频数 m50(861410 8)4， 频率为 n 4 500.08，总频率 N1.00. (2)频率分布直方图如图： (3)该所学校高一女生身高在149.5，165.5)之间的频率为 0.120.280.200.16
21、0.76，则该 校高一女生在此范围内的人数为 4500.76342(人). 19.(12 分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示： 派出人数 2 人及以下 3 4 5 6 人及以上 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 (1)求有 4 个人或 5 个人培训的概率； (2)求至少有 3 个人培训的概率. 解 (1)设有 2 人及以下培训为事件 A，有 3 人培训为事件 B，有 4 人培训为事件 C，有 5 人培 训为事件 D， 有 6 人及以上培训为事件 E，所以有 4 个人或 5 个人培训的事件为事件 C 或事件 D，A，B，C，D，E 为互斥事
22、件，根据互斥事件有一个发生的概率加法公式可知 P(CD) P(C)P(D)0.30.10.4，即有 4 个人或 5 个人培训的概率为 0.4. (2)至少有 3 个人培训的对立事件为有 2 人及以下培训，所以由对立事件的概率公式可知要求 的概率为 P1P(A)10.10.9. 20.(12 分)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方 米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了 他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： (1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在
23、该月的用水价格为 4 元/立方米， w 至少定为多少？ (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 w3 时，估计该市居民该月的人均 水费. 解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间0.5，1，(1，1.5，(1.5， 2，(2，2.5，(2.5，3内的频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.25，0.15. 则 0.10.150.20.250.150.850.8， 0.10.150.20.450.8. 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45%. 依题意，w 至少定为 3. (2)由用水量的频率分布直方图及题
24、意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 2，4 (4，6 (6，8 (8，10 (10， 12 (12， 17 (17， 22 (22， 27 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为 40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5(元). 21.(12 分)为了迎接 2017 在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与”有 奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题
25、，已 知甲家庭回答对这道题的概率是3 4，甲、丙两个家庭都回答错的概率是 1 12，乙、丙两个家庭都 回答对的概率是1 4.若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答对这道题的概率. 解 (1)记“甲家庭答对这道题”、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事 件 A，B，C，则 P(A)3 4， 即 1P（A） 1P（C） 1 12， P（B） P（C）1 4， 所以 P(B)3 8，P(C) 2 3. (2)有 0 个家庭回答对的概率为 P0P(A B C )P(A ) P(B ) P(C )1
26、 4 5 8 1 3 5 96， 有 1 个家庭回答对的概率为 P1P(AB C A BC A B C)3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24， 所以不少于 2 个家庭回答对这道题的概率为 P1P0P11 5 96 7 24 21 32. 22.(12 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付 方式之一.为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1 000 名 学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支
27、付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于 2 000 元 大于 2 000 元 仅使用 A 27 人 3 人 仅使用 B 24 人 1 人 (1)估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数； (2)从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人， 发现他本月的支付金额大于 2 000 元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支 付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由. 解 (1)由题知， 样本中仅使用 A 的学生
28、有 27330(人)， 仅使用 B 的学生有 24125(人)， A，B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人. 故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 1003025540(人). 估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数为 40 1001 000400(人). (2)记事件 C 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人， 该学生上个月的支付金额大于 2 000 元”，则 P(C) 1 25 0.04. (3)记事件 E 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，该学生本月的支付金额大于 2 000 元”. 假设样本仅使用 B 的学生中，本月支付金额大于 2 000 元的人数没有变化，则由(2)知，P(E) 0.04. 答案示例 1：可以认为有变化.理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于 2 000 元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例 2：无法确定有没有变化.理由如下： 事件 E 是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的.所以无法确定有没 有变化.