1、第四章第四章 指数函数、对数函数与幂函数指数函数、对数函数与幂函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.化简 x3 x 的结果为( ) A. x B. x C. x D. x 答案 A 解析 要使式子有意义，只需x30，即 xb，则( ) A.ln(ab)0 B.3a0 D.|a|b| 答案 C 解析 法一 由函数 yln x 的图像(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 不正确；因为函数 yx3在 R 上 单调递增，所以当 ab 时，
2、a3b3，即 a3b30，故 C 正确；当 ba0 时，|a|b|，故 D 不正 确.故选 C. 法二 当 a0.3，b0.4 时，ln(ab)3b，|a|0，f(2)3log2220，f(3)2 log230，f(4)3 2log24 1 20，f(5) 6 5log250，所以函数 f(x)的零点所在区间为(3，4). 6.如图，函数 f(x)的图像为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是( ) A.x|1x0 B.x|1x1 C.x|1x1 D.x|1x2 答案 C 解析 令 g(x)ylog2(x1)，作出函数 g(x)的图像如图， 由 xy2， ylog2（x1），
3、得 x1， y1， 结合图像知不等式 f(x)log2(x1)的解集为x|1f(2 3 2)f(2 2 3) B.f log31 4 f(2 2 3)f(2 3 2) C.f(2 3 2)f(2 2 3)f log31 4 D.f(2 2 3)f(2 3 2)f log31 4 答案 C 解析 因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数， 所以 f log31 4 f(log34)f(log34). 又因为 log3412 2 32 3 20， 且函数 f(x)在(0，)上单调递减， 所以 f(log34)f(2 2 3)a，则下列结论中正确的是( ) A.对任意实数 a，函数 f(x)的最小值为
4、 a1 4 B.对任意实数 a，函数 f(x)的最小值都不是 a1 4 C.当且仅当 a1 2时，函数 f(x)的最小值为 a 1 4 D.当且仅当 a1 4时，函数 f(x)的最小值为 a 1 4 答案 D 解析 因为 f(x) e x，xa， x2xa，xa， 所以当 xa 时，f(x)ex单调递增，此时 0a 时，f(x)x2xa x1 2 2 a1 4. 若 a1 4，则 f(x) x1 2 2 a1 40， 此时 f(x) e x，xa， x2xa，xa的值域为(0，)，无最小值； 若 a1 4，则 f(x)mina 1 40， 此时 f(x) e x，xa， x2xa，xa的值域为
5、 a1 4， ，最小值为 a 1 4.故选 D. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.) 9.设 a，b，c 是均不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A.logab logcalogcb B.loga(bc)logab logac C.loga(bc)logablogac D.logablogacbc 答案 AD 解析 由换底公式得 logab logcalg b lg a lg a lg c lg b lg clogcb， logacb clo
6、gcb c logcac clogcb clogcalogab， A， D 均恒成立. 10.已知函数 ya2x2ax1(a0，a1)，则使函数 y 在区间1，1上的最大值是 14 的 a 的 值为( ) A.1 3 B.4 C.3 D.2 答案 AC 解析 令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22. 当 a1 时，因为 x1，1，所以 t 1 a，a ， 又函数 y(t1)22 在 1 a，a 上单调递增， 所以 ymax(a1)2214，解得 a3(负值舍去). 当 0a1 时，因为 x1，1，所以 t a，1 a ， 又函数 y(t1)22 在 a，1 a 上单调递增， 则
7、 ymax 1 a1 2 214，解得 a1 3(负值舍去). 综上知 a3 或 a1 3. 11.已知函数 f(x)e xex 2 ，g(x)e xex 2 ，则 f(x)，g(x)满足( ) A.f(x)f(x)，g(x)g(x) B.f(2)f(3)，g(2)g(3) C.f(2x)2f(x)g(x) D.f(x)2g(x)21 答案 ABC 解析 f(x)e xex 2 e xex 2 f(x)，g(x)e xex 2 g(x)，故 A 正确； f(x)为增函数，则 f(2)g(2)，故 B 正确； 2f(x) g(x)2e xex 2 exe x 2 2e 2xe2x 4 f(2x)
8、，故 C 正确； f(x)2g(x)2f(x)g(x) f(x)g(x)ex (e x)1，故 D 错误. 12.定义“正对数”：ln x 0，0 x0，b0，则下列结论中正确的是( ) A.ln abblna B.ln (ab)lnalnb C.ln a bln alnb D.ln (ab)lnalnb 答案 AC 解析 对于 A，由定义可知，当 a1 时，ab1， 故 ln abln abbln a， 又 bln abln a，所以 lnabbln a； 当 0a1 时，abab0 时，a b1，此时 ln a bln a b0， 因为 ln alnb0，所以 ln a bln alnb，
9、故结论成立； 当 ab1 时，a b1，此时 ln alnbln aln bln a bln a b，故结论成立； 当 a1b 时，a b1，此时 ln a bln a b0，因为 ln alnbln a，a ba，所以 ln a bln a，即 ln a bln alnb，故结论成立； 当 b1a 时，a b1，此时 ln a b0，因为 ln alnbln b0，故结论成立.综上所述，C 正 确. 对于 D，可举反例，令 a2，b3，则 ln (ab)ln(23)ln 5，lnalnbln 2ln 3， 易得 ln 5ln 2ln 3， 所以 ln (ab)1，若 f(x)2，则 x_.
10、答案 log32 解析 当 x(，1时，f(x)(0，3； 当 x(1，)时，f(x)(，1). f(x)2，3x2xlog32. 14.函数 f(x) x 22，x0， 2x6ln x，x0的零点个数是_. 答案 2 解析 当 x0 时， 由 f(x)0， 即 x220， 解得 x 2或 x 2.因为 x0， 所以 x 2. 法一 (函数单调性法)当 x0 时，f(x)2x6ln x.显然 f(x)在(0，)上单调递增. 又 f(1)216ln 140，所以 f(1) f(3)0 时，由 f(x)0，得 2x6ln x0， 即 ln x62x. 如图，分别作出函数 yln x 和 y62x
11、的图像. 显然，由图可知，两函数图像只有一个交点，且在 y 轴的右侧，故当 x0 时，f(x)0 只有一个 解. 综上，函数 f(x)共有 2 个零点. 15.已知函数 f(x) x2x，x1， log1 3x，x1， 则 f(f(3)_；若对任意的 xR，都有 f(x)|k1| 成立，则实数 k 的取值范围为_.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 2 ，3 4 5 4， 解析 f(f(3)f(log1 33)f(1)(1) 2(1)2. 对任意 xR，都有 f(x)|k1|成立， 即 f(x)max|k1|. 因为 f(x)的草图如图所示， 观察 f(x) x2x，x1， log1
12、 3x，x1 的图像可知，当 x1 2时，函数 f(x)max 1 4， 所以|k1|1 4，解得 k 3 4或 k 5 4. 实数 k 的取值范围为 ，3 4 5 4， . 16.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1x)f(1x)，当 x0，1时，f(x)x1，设函数 g(x) e |x1|(1x3)，则 f(x)与 g(x)图像的所有交点的横坐标之和为_. 答案 4 解析 由题意可知函数 f(x)的图像关于 y 轴对称，且关于直线 x1 对称，易知函数 g(x)e |x 1|(1x0，解得1x3， 所以函数的定义域为x|1x3； (2)将原函数分解为 ylog4u，u2x3x2两个
13、函数.因为 u2x3x2(x1)244， 所以当 x1 时，u 取得最大值 4，又 ylog4u 为单调增函数， 所以 ylog4(2x3x2)log441. 所以 y 的最大值为 1，此时 x1. 20.(12 分)已知函数 yf(x)是函数 ylog2x 的反函数. (1)求 yf(x)的解析式； (2)若 x(0，)，试分别写出使不等式： log2x2xx2； log2xx2loga(5x)的解集. 解 (1)函数 yf(x)是函数 ylog2x 的反函数， f(x)2x. (2)作出函数 y2x，yx2，ylog2x 在同一直角坐标系中的图像，可得：224，244216， 下面借助图像
14、解决问题. log2x2xx2，2x4，解集为(2，4)； log2xx22x，0 x4， 解集为(0，2)(4，). (3)由 loga(x3)loga(5x)得， 当 a1 时， x30， 5x0， x35x， 解得 4x5， 当 0a0， 5x0， x35x， 解得 3x1 时，原不等式的解集为(4，5)， 当 0a1 时，原不等式的解集为(3，4). 21.(12 分)已知定义在1，1上的奇函数 f(x)，当 x1， 0时的解析式为 f(x) 1 4x a 2x(aR). (1)写出 f(x)在0，1上的解析式； (2)求 f(x)在0，1上的最大值. 解 (1)因为 f(x)是定义在
15、1，1上的奇函数，所以 f(0)0，即 1a0，得 a1(经验证符合 题意).设 x0，1，则x1，0，f(x)f(x) 1 4 x 1 2 x2x4x，即当 x0， 1时，f(x)2x4x. (2)当 x0，1时，f(x)2x4x 2x1 2 2 1 4，其中 2 x1，2，所以当 2x1，即 x0 时， f(x)最大值为 0. 22.(12 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元，且甲厂在 2 月份的利润是 14 万元，乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份 x 之间的函数 关系式分别符合下列函数模型：f(x)a1x2b1x6，g(x
16、)a23xb2(a1，a2，b1，b2R). (1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润； (2)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)与 g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利 润的大小情况. 解 (1)依题意：由 f（1）6， f（2）14，有 a 1b10， 4a12b18， 解得 a14，b14，f(x)4x24x6. 由 g（1）6， g（2）8，有 3a 2b26， 9a2b28， 解得 a21 3，b25，g(x) 1 33 x53x15. 所以甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)86 万元，乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)86 万元， 故有 f(5)g(5)，即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等. (2)作函数图像如下：显然 x0. 从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况： 当 x1 或 x5 时，有 f(x)g(x)； 当 1xg(x)； 当 5x12 时，有 f(x)g(x).