1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p4. 2.已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程 是( ) A.y 5x B.y 5 5 x C.y 3x D.y 3 3 x 答案 D 解析 y28x 的焦点是(2，0)， 双曲线 x2 a2y 21
2、的半焦距 c2， 又虚半轴长 b1 且 a0，所以 a 2212 3， 双曲线的渐近线方程是 y 3 3 x. 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点.依题意可知，BF1F2是正 三角形，因为在 RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60 ，所以 cos 60 c a 1 2，即椭 圆的离心率 e1 2. 4.从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|4，设抛 物线的
3、焦点为 F，则直线 PF 的斜率为( ) A. 3 3 B. 3 2 C. 3 D.2 3 答案 C 解析 设 P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为 x1， 所以 x0413，所以 y02 3， 所以 P(3，2 3)，F(1，0)， 所以直线 PF 的斜率 k 2 3 31 3.故选 C. 5.动点到点(3，0)的距离比它到直线 x2 的距离大 1，则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 答案 D 解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线 x3 的距离”，由抛物线 的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选 D. 6.直线 ykx1 与椭
4、圆x 2 5 y2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) A.(1，) B.(0，1)(1，) C.1，5)(5，) D.(0，1)(1，5) 答案 C 解析 直线 ykx1 过定点(0， 1)， 只需该点落在椭圆内或椭圆上， 0 2 5 1 2 m1， 解得 m1， 又 m5，故选 C. 7.设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1 3 2 D.1 5 2 答案 D 解析 不妨设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则可令 F(c，0)，B(0，b)，直线 F
5、B：bxcy bc0 与渐近线 yb ax 垂直， 所以 b c b a1， 即 b 2ac， 所以 c2a2ac， 即 e2e10， 所以 e1 5 2 或 e1 5 2 (舍去). 8.设抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 过点(2， 0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M， N 两点， 则FM FN ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解析 法一 过点(2，0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2)，由 y2 3（x2）， y24x 消 y 得 x25x40， 解得 x1 或 x4， 所以 x1， y2 或 x4， y4. 不妨设 M(1， 2)， N(4，
6、 4)， 易知 F(1， 0)，所以FM (0，2)，FN (3，4)，所以FM FN 8.故选 D. 法二 过点(2，0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2)，由 y2 3（x2）， y24x 消 y 得 x25x 40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y10，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x2 4.易知 F(1，0)，所以FM (x11，y1)，FN (x 21，y2)，所以FM FN (x11)(x21)y1y2 x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出
7、的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.如果方程x 2 a2 y2 a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围可以是( ) A.(，2) B.(3，) C.(6，2) D.(3，) 答案 BC 解析 焦点在 x 轴上， 则标准方程中 a2a6， 解得 a3 或 a0， a60， 得 a6， 所以 a3 或6a0y2，则由根与系数的 关系得，y1y24m，y1y24， |AF|3|BF|，y13y2， 由 y 1y24， y13y2 解得 y2 2 3 2 3 3 ，y12 3. my 1y2 4 3 3 ， 直线
8、 l 的方程为 x 3 3 y1，即 y 3(x1). 由对称性知，这样的直线有两条. 即 y 3(x1).故选 AD. 11.方程 x2 4t y2 t11 表示曲线 C，给出以下命题正确的是( ) A.曲线 C 不可能为圆 B.若 1t4，则曲线 C 为椭圆 C.若曲线 C 为双曲线，则 t4 D.若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 1t5 2. 答案 CD 解析 显然当 t5 2时，曲线为 x 2y23 2，方程表示一个圆，而当 1t4，且 t 5 2时，方程表示 椭圆；当 t4 时，方程表示双曲线；而当 1tt10，方程表示焦点在 x 轴 上的椭圆，故选 CD. 12.已知椭圆
9、C： x2 m y2 m41(m4)的右焦点为 F，点 A(2，2)为椭圆 C 内一点.若椭圆 C 上存 在一点 P，使得|PA|PF|8，则 m 的值可以为( ) A.62 5 B.64 5 C.24 D.25 答案 BCD 解析 设椭圆的左焦点为 F，则 F(2，0)，由点 A 在椭圆内部得 4 m 4 m44，解 得 m62 5，根据椭圆的定义及|PA|PF|8 得|PA|PF|82 m|，又当 P，F，A 三点 共线时|PA|PF|最大，从而|82 m|AF|2，解得 9m25，综上，62 50)， 则p 24，即 p8，抛物线的标准方程为 y 216x. 14.在平面直角坐标系 xO
10、y 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为 2 2 .过 F1的直线l交椭圆C于A， B两点， 且ABF2的周长为16， 那么椭圆C的方程为_. 答案 x2 16 y2 81 解析 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由 e 2 2 知，c a 2 2 . ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16， a4，c2 2，b2a2c28. 椭圆 C 的方程为 x2 16 y2 81. 15.设集合 A （x，y） x 2 4 y2 161 ， B （x，y）|y2x， 则 AB 的子集的个数是_. 答案 4 解析 集
11、合 A （x，y） x 2 4 y2 161是椭圆 x2 4 y2 161 上的点构成的点集， B（x，y）|y2x是函数 y2x的图象上的点构成的集合，且(0，1)在椭圆内， 两曲线有两个交点， AB 有两个元素， AB 的子集的个数是 224. 16.设 F1，F2分别是双曲线 x2y 2 91 的左、右焦点，则该双曲线的渐近线方程为_； 若点 P 在双曲线上，且PF1 PF2 0，则|PF1 PF2 |_(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 答案 y 3x 2 10 解析 由双曲线方程，知 a1，b3，c 10.该双曲线的渐近线方程为 y 3x.由 F1，F2分 别是双曲线 x2y
12、2 91 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且PF1 PF2 0(O 为坐标原点)，得|PF1 PF2 |2|PO |F1F2 |F1F2|2 10. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)设 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线 方程. 解 设 PF1的中点为 M，连接 F2M.由|PF2|F1F2|，故 F2MPF1，即|F2M|2a. 在 RtF1F2M 中，|F
13、1M|（2c）2（2a）22b，故|PF1|4b. 根据双曲线的定义有 4b2c2a，即 2bac，即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b 4a，故双曲线的渐近线方程是 y b ax 4 3x，即 4x 3y0. 18.(12 分)抛物线 y2x 上存在两点关于直线 ym(x3)对称，求 m 的取值范围. 解 设抛物线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 ym(x3)对称，AB 的中点为 M(x，y)，则 当 m0 时，有直线 y0，显然存在两点关于它对称. 当 m0 时，由 y 2 1x1， y22x2 得y 1y2 x1x2 1 y1y2 1 2y 1 m， 所
14、以 ym 2，所以 M 的坐标为 5 2， m 2 . 因为 M 在抛物线内，则有5 2 m 2 2 ， 得 10m0 恒成立，y1y24t，y1y216， 则 x1x2(ty14)(ty24)t2y1y24t(y1y2)1616t216t21616， 所以OA OB x1x2y1y216160， 所以OA OB . 综上所述，无论 l 如何变化，总有OA OB . 20.(12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx，且过 点(4， 10). (1)求双曲线方程； (2)若点 M(3，m)在此双曲线上，求MF1 MF2 . 解 (1)双曲线的一条渐近线
15、方程为 yx， 设双曲线方程为 x2y2(0). 把(4， 10)代入双曲线方程得 42( 10)2， 6，所求双曲线方程为x 2 6 y2 61. (2)由(1)知双曲线方程为x 2 6 y2 61， 双曲线的焦点为 F1(2 3，0)，F2(2 3，0). 点 M 在双曲线上， 32m26，m23. MF1 MF2 (2 33，m) (2 33，m) (3)2(2 3)2m2330. 21.(12 分)设抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， |AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线
16、相切的圆的方程. 解 (1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 yk（x1）， y24x 消 y 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)2k 24 k2 24k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx 5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y 0 x05， （
17、x01）2（y 0 x01）2 2 16. 解得 x 03， y02 或 x 011， y06. 当圆心为(3，2)时，r2(31)216；当圆心为(11，6)时，r2(111)2144. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 22.(12 分)已知椭圆 G：x 2 a2 y2 b21 (ab0)的离心率为 6 3 ，右焦点为(2 2，0)，斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3，2). (1)求椭圆 G 的方程； (2)求PAB 的面积. 解 (1)由已知得 c2 2，c a 6 3 . 解
18、得 a2 3，又 b2a2c24， 所以椭圆 G 的方程为 x2 12 y2 41. (2)设直线 l 的方程为 yxm. 由 yxm， x2 12 y2 41 消 y 得 4x26mx3m2120. 设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB 中点为 E(x0，y0)， 则 x0 x 1x2 2 3m 4 ，y0 x0mm 4； 因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB. 所以 PE 的斜率 k 2m 4 33m 4 1，解得 m2. 此时方程为 4x212x0. 解得 x13，x20. 所以 y11，y22. 所以 A(3，1)，B(0，2).所以|AB|3 2. 此时，点 P(3，2)到直线 AB：xy20 的距离 d|322| 2 3 2 2 ， 所以PAB 的面积 S1 2|AB| d 9 2.