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本文(第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷(含答案)2021年秋人教版A版高中数学选择性必修第一册)为本站会员(花好****3)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷(含答案)2021年秋人教版A版高中数学选择性必修第一册

1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p4. 2.已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程 是( ) A.y 5x B.y 5 5 x C.y 3x D.y 3 3 x 答案 D 解析 y28x 的焦点是(2,0), 双曲线 x2 a2y 21

2、的半焦距 c2, 又虚半轴长 b1 且 a0,所以 a 2212 3, 双曲线的渐近线方程是 y 3 3 x. 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆的上顶点.依题意可知,BF1F2是正 三角形,因为在 RtOBF2中,|OF2|c,|BF2|a,OF2B60 ,所以 cos 60 c a 1 2,即椭 圆的离心率 e1 2. 4.从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|4,设抛 物线的

3、焦点为 F,则直线 PF 的斜率为( ) A. 3 3 B. 3 2 C. 3 D.2 3 答案 C 解析 设 P(x0,y0),依题意可知抛物线准线为 x1, 所以 x0413,所以 y02 3, 所以 P(3,2 3),F(1,0), 所以直线 PF 的斜率 k 2 3 31 3.故选 C. 5.动点到点(3,0)的距离比它到直线 x2 的距离大 1,则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 答案 D 解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x3 的距离”,由抛物线 的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 6.直线 ykx1 与椭

4、圆x 2 5 y2 m1 总有公共点,则 m 的取值范围是( ) A.(1,) B.(0,1)(1,) C.1,5)(5,) D.(0,1)(1,5) 答案 C 解析 直线 ykx1 过定点(0, 1), 只需该点落在椭圆内或椭圆上, 0 2 5 1 2 m1, 解得 m1, 又 m5,故选 C. 7.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1 3 2 D.1 5 2 答案 D 解析 不妨设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0,b0),则可令 F(c,0),B(0,b),直线 F

5、B:bxcy bc0 与渐近线 yb ax 垂直, 所以 b c b a1, 即 b 2ac, 所以 c2a2ac, 即 e2e10, 所以 e1 5 2 或 e1 5 2 (舍去). 8.设抛物线 C: y24x 的焦点为 F, 过点(2, 0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M, N 两点, 则FM FN ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解析 法一 过点(2,0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2),由 y2 3(x2), y24x 消 y 得 x25x40, 解得 x1 或 x4, 所以 x1, y2 或 x4, y4. 不妨设 M(1, 2), N(4,

6、 4), 易知 F(1, 0),所以FM (0,2),FN (3,4),所以FM FN 8.故选 D. 法二 过点(2,0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2),由 y2 3(x2), y24x 消 y 得 x25x 40.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y10,y20,根据根与系数的关系,得 x1x25,x1x2 4.易知 F(1,0),所以FM (x11,y1),FN (x 21,y2),所以FM FN (x11)(x21)y1y2 x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出

7、的四个选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分) 9.如果方程x 2 a2 y2 a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围可以是( ) A.(,2) B.(3,) C.(6,2) D.(3,) 答案 BC 解析 焦点在 x 轴上, 则标准方程中 a2a6, 解得 a3 或 a0, a60, 得 a6, 所以 a3 或6a0y2,则由根与系数的 关系得,y1y24m,y1y24, |AF|3|BF|,y13y2, 由 y 1y24, y13y2 解得 y2 2 3 2 3 3 ,y12 3. my 1y2 4 3 3 , 直线

8、 l 的方程为 x 3 3 y1,即 y 3(x1). 由对称性知,这样的直线有两条. 即 y 3(x1).故选 AD. 11.方程 x2 4t y2 t11 表示曲线 C,给出以下命题正确的是( ) A.曲线 C 不可能为圆 B.若 1t4,则曲线 C 为椭圆 C.若曲线 C 为双曲线,则 t4 D.若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1t5 2. 答案 CD 解析 显然当 t5 2时,曲线为 x 2y23 2,方程表示一个圆,而当 1t4,且 t 5 2时,方程表示 椭圆;当 t4 时,方程表示双曲线;而当 1tt10,方程表示焦点在 x 轴 上的椭圆,故选 CD. 12.已知椭圆

9、C: x2 m y2 m41(m4)的右焦点为 F,点 A(2,2)为椭圆 C 内一点.若椭圆 C 上存 在一点 P,使得|PA|PF|8,则 m 的值可以为( ) A.62 5 B.64 5 C.24 D.25 答案 BCD 解析 设椭圆的左焦点为 F,则 F(2,0),由点 A 在椭圆内部得 4 m 4 m44,解 得 m62 5,根据椭圆的定义及|PA|PF|8 得|PA|PF|82 m|,又当 P,F,A 三点 共线时|PA|PF|最大,从而|82 m|AF|2,解得 9m25,综上,62 50), 则p 24,即 p8,抛物线的标准方程为 y 216x. 14.在平面直角坐标系 xO

10、y 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2在 x 轴上,离心率为 2 2 .过 F1的直线l交椭圆C于A, B两点, 且ABF2的周长为16, 那么椭圆C的方程为_. 答案 x2 16 y2 81 解析 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 由 e 2 2 知,c a 2 2 . ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16, a4,c2 2,b2a2c28. 椭圆 C 的方程为 x2 16 y2 81. 15.设集合 A (x,y) x 2 4 y2 161 , B (x,y)|y2x, 则 AB 的子集的个数是_. 答案 4 解析 集

11、合 A (x,y) x 2 4 y2 161是椭圆 x2 4 y2 161 上的点构成的点集, B(x,y)|y2x是函数 y2x的图象上的点构成的集合,且(0,1)在椭圆内, 两曲线有两个交点, AB 有两个元素, AB 的子集的个数是 224. 16.设 F1,F2分别是双曲线 x2y 2 91 的左、右焦点,则该双曲线的渐近线方程为_; 若点 P 在双曲线上,且PF1 PF2 0,则|PF1 PF2 |_(本题第一空 2 分,第二空 3 分). 答案 y 3x 2 10 解析 由双曲线方程,知 a1,b3,c 10.该双曲线的渐近线方程为 y 3x.由 F1,F2分 别是双曲线 x2y

12、2 91 的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且PF1 PF2 0(O 为坐标原点),得|PF1 PF2 |2|PO |F1F2 |F1F2|2 10. 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)设 F1,F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 点 P,满足|PF2|F1F2|,且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,求该双曲线的渐近线 方程. 解 设 PF1的中点为 M,连接 F2M.由|PF2|F1F2|,故 F2MPF1,即|F2M|2a. 在 RtF1F2M 中,|F

13、1M|(2c)2(2a)22b,故|PF1|4b. 根据双曲线的定义有 4b2c2a,即 2bac,即(2ba)2a2b2,即 3b24ab0,即 3b 4a,故双曲线的渐近线方程是 y b ax 4 3x,即 4x 3y0. 18.(12 分)抛物线 y2x 上存在两点关于直线 ym(x3)对称,求 m 的取值范围. 解 设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 ym(x3)对称,AB 的中点为 M(x,y),则 当 m0 时,有直线 y0,显然存在两点关于它对称. 当 m0 时,由 y 2 1x1, y22x2 得y 1y2 x1x2 1 y1y2 1 2y 1 m, 所

14、以 ym 2,所以 M 的坐标为 5 2, m 2 . 因为 M 在抛物线内,则有5 2 m 2 2 , 得 10m0 恒成立,y1y24t,y1y216, 则 x1x2(ty14)(ty24)t2y1y24t(y1y2)1616t216t21616, 所以OA OB x1x2y1y216160, 所以OA OB . 综上所述,无论 l 如何变化,总有OA OB . 20.(12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为 yx,且过 点(4, 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求MF1 MF2 . 解 (1)双曲线的一条渐近线

15、方程为 yx, 设双曲线方程为 x2y2(0). 把(4, 10)代入双曲线方程得 42( 10)2, 6,所求双曲线方程为x 2 6 y2 61. (2)由(1)知双曲线方程为x 2 6 y2 61, 双曲线的焦点为 F1(2 3,0),F2(2 3,0). 点 M 在双曲线上, 32m26,m23. MF1 MF2 (2 33,m) (2 33,m) (3)2(2 3)2m2330. 21.(12 分)设抛物线 C: y24x 的焦点为 F, 过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, |AB|8. (1)求 l 的方程; (2)求过点 A,B 且与 C 的准线

16、相切的圆的方程. 解 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 yk(x1)(k0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 yk(x1), y24x 消 y 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160,故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)2k 24 k2 24k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8,解得 k1(舍去),k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3),即 yx 5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y 0 x05, (

17、x01)2(y 0 x01)2 2 16. 解得 x 03, y02 或 x 011, y06. 当圆心为(3,2)时,r2(31)216;当圆心为(11,6)时,r2(111)2144. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 22.(12 分)已知椭圆 G:x 2 a2 y2 b21 (ab0)的离心率为 6 3 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求PAB 的面积. 解 (1)由已知得 c2 2,c a 6 3 . 解

18、得 a2 3,又 b2a2c24, 所以椭圆 G 的方程为 x2 12 y2 41. (2)设直线 l 的方程为 yxm. 由 yxm, x2 12 y2 41 消 y 得 4x26mx3m2120. 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB 中点为 E(x0,y0), 则 x0 x 1x2 2 3m 4 ,y0 x0mm 4; 因为 AB 是等腰PAB 的底边,所以 PEAB. 所以 PE 的斜率 k 2m 4 33m 4 1,解得 m2. 此时方程为 4x212x0. 解得 x13,x20. 所以 y11,y22. 所以 A(3,1),B(0,2).所以|AB|3 2. 此时,点 P(3,2)到直线 AB:xy20 的距离 d|322| 2 3 2 2 , 所以PAB 的面积 S1 2|AB| d 9 2.