1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1若集合 Xx|x1，下列关系式中成立的为( ) A0X B0X CX D0X 答案 D 解析 选项 A，元素 0 与集合之间为或的关系，错误；选项 B，集合0与集合 X 之间为或的关系， 错误； 选项 C， 与集合 X 之间为或的关系， 错误； 选项 D， 集合0是集合 X 的子集， 故0X 正确 2已知命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题綈 p 为( ) A某班至多有一个男生爱踢足球 B某班至少有一个男生不爱踢足球 C某
2、班所有的男生都不爱踢足球 D某班所有的女生都爱踢足球 答案 B 解析 命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命 题綈 p 为“某班至少有一个男生不爱踢足球” 3设集合 Ax|x23x20，则满足 AB0,1,2的集合 B 的个数是( ) A1 B3 C4 D6 答案 C 解析 易知 A1,2，又 AB0,1,2，所以集合 B 可以是0，0,1，0,2，0,1,2 4已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 a3AB，而 ABa3，“a3
3、”是“AB 的充分不必要条件” 5设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是( ) Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 答案 D 解析 AB，a2. 6如图，U 为全集，M，P，S 是 U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A(MP)S B(MP)S C(MP)(US) D(MP)(US) 答案 C 解析 题图中的阴影部分是 MP 的子集，不属于集合 S，属于集合 S 的补集，即是US 的子集，则阴影部 分所表示的集合是(MP)(US) 7满足“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮”的充要条件的电路图是( ) 答案 C 解析 由题图 A，闭合开关 K1或
4、者闭合开关 K2都可以使灯泡 R 亮；反之，若要使灯泡 R 亮，不一定非要 闭合开关 K1，因此“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮”的充分不必要条件；由题图 B，闭合开关 K1而不闭合 开关 K2，灯泡 R 不亮；反之，若要使灯泡 R 亮，则开关 K1必须闭合因此“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮” 的必要不充分条件；由题图 C，闭合开关 K1可使灯泡 R 亮；反之，若要使灯泡 R 亮，开关 K1一定是闭合 的因此“闭合开关 K1”是“灯泡 R 亮”的充要条件；由题图 D，闭合开关 K1但不闭合开关 K2，灯泡 R 不亮；反之，灯泡 R 亮也可不闭合开关 K1，只要闭合开关 K2即可因此“闭合
5、开关 K1”是“灯泡 R 亮” 的既不充分也不必要条件 8已知命题“xR，使 4x2(a2)x1 40”是假命题，则实数 a 的取值范围是( ) Aa0 B0a4 Ca4 D0a0”是 真命题，即判别式 (a2)2441 40，即 (a2) 24，则2a22，即 0a4，故选 D. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9设集合 Sx|2x8，Tx|0 xbc”是“ab”的必要条件 B“acbc”是“ab”的必要条件 C“acbc”是“ab”的充分条件 D“acbc”是“ab”的充分条件 答案 ACD
6、 解析 abab0(ab)c0acbc，acbc 是 ab 的必要条件 11若 p：x2x60 是 q：ax10 的必要不充分条件，则实数 a 的值为( ) A2 B1 2 C. 1 3 D3 答案 BC 解析 由 x2x60，可得 x2 或 x3. 对于 ax10，当 a0 时，方程无解； 当 a0 时，x1 a. 由题意知 pq，qp，则可得 a0，此时应有1 a2 或 1 a3，解得 a 1 2或 a 1 3. 综上可得，a1 2或 a 1 3. 12定义集合运算：ABz|z(xy)(xy)，xA，yB，设 A 2， 3，B1， 2，则( ) A当 x 2，y 2时，z1 Bx 可取两个
7、值，y 可取两个值，z(xy)(xy)对应 4 个式子 CAB 中有 4 个元素 DAB 的真子集有 7 个 答案 BD 解析 当 x 2，y 2时，z( 2 2)( 2 2)0，故 A 错误； x 可取 2， 3，y 可取 1， 2，则 z 可取( 21)( 21)1，( 2 2)( 2 2)0，( 31)( 3 1)2，( 3 2)( 3 2)1 四个式子，选项 B 正确； AB0,1,2，共 3 个元素，选项 C 错误； AB 的真子集有 2317(个)，选项 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13命题“对任意 xR，都有 x30”的否定为_ 答案
8、 存在 xR，使得 x30 解析 “对任意 xR”的否定为“存在 xR”，“x30”的否定为“x30”所以命题“对任意 xR， 都有 x30”的否定为“存在 xR，使得 x35 或 x1，Tx|axa8，STR，则 a 的取值范围是_ 答案 a|3a1 解析 借助数轴可知 a5. 3a1. 15已知集合 Ax|1x2，Bx|1x1 解析 由 xA 是 xB 成立的一个充分不必要条件， 得 AB，即 m11， m12， 即 m1. 16若 xA，则1 xA，就称 A 是“伙伴关系集合”，集合 M 1，0，1 2，2，3 的所有非空子集中具有 伙伴关系的集合的个数是_ 答案 3 解析 具有伙伴关系
9、的元素组是1， 1 2，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个：1， 1 2，2 ， 1，1 2，2 . 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8，Ax|x23x20，BxZ|1x5， CxZ|2x9 求 (1)A(BC)； (2)(UB)(UC) 解 (1)依题意知 A1,2，B1,2,3,4,5，C3,4,5,6,7,8， BC3,4,5，故有 A(BC)1,23,4,51,2,3,4,5 (2)由UB6,7,8，UC1,2， 故有(UB)(UC)6,7,81,21,2,6,7,8 18(12 分)已知集合 P2，x，y，Q2
10、x,2，y2，且 PQ，求 x，y 的值 解 PQ， x2x， yy2 或 xy2， y2x， 解得 x0， y0或1 或 x0， y0 或 x1 4， y1 2. 由元素的互异性可知 xy， 故 x0，y1 或 x1 4，y 1 2. 19(12 分)用符号“”与“”表示下面含有量词的命题，并判断真假 (1)对所有的实数 a，b，方程 axb0 恰有唯一解； (2)存在实数 x，使得 1 |x1|12. 解 (1)aR，bR，方程 axb0 恰有唯一解假命题当 a0，b1 时无解 (2)xR，使得 1 |x1|12，假命题 |x1|11， 1 |x1|11. 不存在 xR，使得 1 |x1|
11、12. 20(12 分)已知集合 A4,2a1，a2，Ba5,1a,9，分别求适合下列条件的 a 的值 (1)9(AB)； (2)9AB. 解 (1)9(AB)，2a19 或 a29， a5 或 a3 或 a3. 当 a5 时，A4,9,25，B0，4,9； 当 a3 时，a51a2，不满足集合元素的互异性； 当 a3 时，A4，7,9，B8,4,9， 所以 a5 或 a3. (2)由(1)可知， 当 a5 时，AB4,9，不合题意， 当 a3 时，AB9，所以 a3. 21(12 分)在AB1，AB，BA 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集 合存在，求实数 a 的值；若问题
12、中的集合不存在，说明理由 问题：是否存在集合 A，B，满足集合 Ax|x23x20，集合 Bx|6x26axa2a0且 B，使 得_成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 由条件可得 A1,2， 选条件， 要使得 AB1，则 1B,2B， 所以 66aa2a0，且 646a2a2a0， 解得 a2， 选条件， AB1,2, 即 6x26axa2a0 的两根为 1,2， 由根与系数的关系可得 126a 6 ， 12a 2a 6 ， 解得 a3， 选条件， 由 BA，得 B1或 B2 当 B1时， 116a 6 ， 11a 2a 6 a2， 当 B2时， 226a 6 ， 22a 2a 6 a4， a2a240 无解， 综上可得 a2. 22(12 分)已知非空集合 Px|a1x2a1，Qx|2x5 (1)若 a3，求(RP)Q； (2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 解 因为 P 是非空集合，所以 2a1a1，即 a0. (1)当 a3 时，Px|4x7，RPx|x7， Qx|2x5， 所以(RP)Qx|2x4 (2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，即 PQ， 即 a12， 2a15， a0， 且 a12 和 2a15 的等号不能同时取得， 解得 0a2， 即实数 a 的取值范围为a|0a2