1、第五章第五章 三角函数三角函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1下列各角中，与 27 角终边相同的是( ) A63 B153 C207 D387 答案 D 解析 与 27 角终边相同的角的集合为|27 k 360 ，kZ， 取 k1，可得 387 . 与 27 角终边相同的是 387 . 2sin 45 cos 15 cos 225 sin 15 的值为( ) A 3 2 B. 3 2 C1 2 D. 1 2 答案 D 解析 sin 45 cos 15 cos 225 sin 15 sin 45 cos 15 co
2、s(180 45 )sin 15 sin 45 cos 15 cos 45 sin 15 sin(45 15 )sin 30 1 2. 3若 sin 4 1 4，则 sin 2 等于( ) A.7 8 B 7 8 C. 3 4 D 3 4 答案 B 解析 设 4，则 sin 1 4， 4，故 sin 2sin 2 4 cos 22sin21 7 8. 4如果角 的终边过点 P(2sin 30 ，2cos 30 )，那么 sin 等于( ) A1 2 B. 1 2 C 3 2 D 3 3 答案 C 解析 由题意得 P(1， 3)，它与原点的距离为 2， sin 3 2 . 5已知 (0，)，且
3、3cos 28cos 5，则 sin 等于( ) A. 5 3 B.2 3 C. 1 3 D. 5 9 答案 A 解析 由 3cos 28cos 5，得 3(2cos21)8cos 50， 即 3cos24cos 40，解得 cos 2(舍去)或 cos 2 3. (0，)， 2， ，则 sin 1cos 2 1 2 3 2 5 3 . 6化简cos 20 1cos 40 cos 50 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D2 答案 B 解析 依题意得 cos 20 1cos 40 cos 50 cos 20 2sin 220 cos 50 2sin 20 cos 20 cos
4、50 2 2 sin 40 cos 50 2 2 sin 40 sin 40 2 2 . 7函数 f(x) x 2cos x1，x 3， 3 的图象大致是( ) 答案 A 解析 函数 f(x) x 2cosx1 x 2cos x1f(x)，则函数 f(x)是奇函数，排除 D； 当 0 x0，则 f(x)0，排除 B，C. 8函数 y12sin2 x3 4 是( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 2的奇函数 D最小正周期为 2的偶函数 答案 A 解析 因为 y12sin2 x3 4 cos 2 x3 4 cos 2x3 2 sin 2x，所以该函数为奇函数，
5、且其最小 正周期为 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9下列结论正确的是( ) A7 6 是第三象限角 B若圆心角为 3的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为 3 2 C若角 的终边过点 P(3,4)，则 cos 3 5 D若角 为锐角，则角 2 为钝角 答案 BC 解析 选项 A，7 6 的终边与5 6 相同，为第二象限角，所以 A 不正确； 选项 B，设扇形的半径为 r， 3r，所以 r3， 扇形面积为1 23 3 2 ，所以 B 正确； 选项 C，角 的终边过点 P(3,4)，根据三角函数的定
6、义， cos 3 5，所以 C 正确； 选项 D，当角 为锐角时，0 2，02，所以 D 不正确 10给出下列函数：ycos|2x|；y|cos x|；ycos 2x 6 ；ytan 2x 4 .其中最小正周期为 的 有( ) A B C D 答案 ABC 解析 中，ycos|2x|cos 2x，其最小正周期为 ；中，因为 y|cos x|是 ycos x 将 x 轴下方的部分向 上翻折得到的，所以周期减半，即 y|cos x|的最小正周期为 ；中，ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； 中，ytan 2x 4 的最小正周期 T 2. 11如图是函数 yAsin(x)(xR)在区间 6
7、， 5 6 上的图象为了得到这个函数的图象，只要将 ysin x(xR)的图象上所有的点( ) A向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2，纵坐标不变 B向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 答案 AC 解析 由图象知，A1，T，所以 2，ysin(2x)，将 6，0 代入得 sin 3 0，所以 3 k，kZ，取 3，得 ysin 2x 3 ， 将 ysin x 的图象向左
8、平移 3个单位长度， 得到函数 ysin x 3 的图象， 然后各点的横坐标缩短到原来的1 2， 纵坐标不变，得到函数 ysin 2x 3 的图象，故 A 正确； 将 ysin x 各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变得到函数 ysin 2x 的图象然后向左平移 6个单位长 度，得 ysin 2 x 6 sin 2x 3 ，故 C 正确 12设函数 f(x)sin 2x 4 cos 2x 4 ，则 f(x)( ) A是偶函数 B在 0， 2 上单调递减 C最大值为 2 D其图象关于直线 x 2对称 答案 ABD 解析 f(x)sin 2x 4 cos 2x 4 2sin 2x 4 4 2
9、cos 2x. 选项 A，f(x) 2cos(2x) 2cos 2xf(x)，是偶函数，故 A 正确； 选项 B，x 0， 2 ，所以 2x(0，)，因此 f(x)单调递减，故 B 正确； 选项 C，f(x) 2cos 2x 的最大值为 2，故 C 不正确； 选项 D，当 x 2时，f(x) 2cos 2 2 2，因此当 x 2时，函数有最小值，因此函数图象关于直线 x 2对称，故 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13函数 f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递增区间为_ 答案 2k5 4，2k 1 4 ，kZ 解析 由图象知 T
10、2 |2, 所以 ，由五点作图法得 4，即 3 4 ， f(x)sin x3 4 ， 令 2k 2x 3 4 2k 2，kZ， 解得 2k5 4x2k 1 4，kZ. f(x)的单调递增区间为 2k5 4，2k 1 4 ，kZ. 14函数 y sin x |sin x| |cos x| cos x 的值域是_ 答案 2,0,2 解析 根据题意知，xk 2 ，kZ， 当 x 在第一象限时，y sin x |sin x| |cos x| cos x sin x sin x cos x cos x2； 当 x 在第二象限时，y sin x |sin x| |cos x| cos x sin x si
11、n x cos x cos x0； 当 x 在第三象限时，y sin x |sin x| |cos x| cos x sin x sin x cos x cos x2； 当 x 在第四象限时，y sin x |sin x| |cos x| cos x sin x sin x cos x cos x0， 综上所述，值域为2,0,2 15若函数 y2sin x acos x4 的最小值为 1，则实数 a_. 答案 5 解析 y2sin x acos x4 4asin(x)4，其中 tan a 2 ，且 的终边过点(2， a) 所以 ymin 4a41，解得 a5. 16若 3cos sin 2 2
12、 3 ，则 cos 32 _. 答案 5 9 解析 由 3cos sin 2 2 3 ，得 2 3 2 cos 1 2sin 2 2 3 ， 所以 sin 3 2 3 ，设 3，则 3， 则 32 32 3 2， 所以 cos 32 cos(2)cos 22sin 214 91 5 9. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知 2x 2，sin xcos x 1 5. (1)求sin x cos xsin 2x 1tanx 的值； (2)求 sin xcos x 的值 解 (1)sin xcos x1 5， 12sin xcos x 1 25，即 sin xcos
13、 x 12 25， sin x cos xsin 2x 1tan x sin xcos xsin x 1sin x cos x sin xcos xcos xsin x sin xcos x sin xcos x12 25. (2)由(1)知 sin xcos x12 250，又 2x0，0，| 2 的一段图象如图所示 (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)的单调递增区间，并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合； (3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 解 (1)由函数的图象可得 A3，3 4T 3 4 2 4 4，解得
14、2 5. 再根据五点法作图可得2 5 42k，kZ， 解得 102k，kZ， 又| 2， 10， f(x)3sin 2 5x 10 . (2)令 2k 2 2 5x 102k 2，kZ， 解得 5kx5k3 2 ， 故函数的单调递增区间为 5k，5k3 2 ，kZ. 函数的最大值为 3，此时2 5x 102k 2，kZ，即 x5k 3 2 ，kZ，故 f(x)的最大值为 3，及取到最大 值时 x 的集合为 x x5k3 2 ，kZ. (3)设把 f(x)3sin 2 5x 10 的图象向左至少平移 m 个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数 则由2 5(xm) 10 2 5x 2，解得
15、 m 3 2 ， 把函数 f(x)3sin 2 5x 10 的图象向左平移3 2 个单位长度， 可得 y3sin 2 5x 2 3cos 2 5x 的图象 20(12 分)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f()2 5 5 ，求 cos 4 3 的值 解 (1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 2sin 2x 6 ， T. (2)由(1)得 f()2sin 2 6 2 5 5 ， sin 2 6 5 5 ， cos 4 3
16、cos 2 2 6 12sin2 2 6 12 5 3 5. 21(12 分)如图，在平面直角坐标系中，角 ， 的始边均为 x 轴正半轴，终边分别与圆 O 交于 A，B 两点， 若 7 12， ， 12，且点 A 的坐标为 A(1，m) (1)若 tan 24 3，求实数 m 的值； (2)若 tanAOB3 4，求 sin 2 的值 解 (1)由题意可得 tan 2 2tan 1tan2 4 3， tan 1 2或 tan 2. 7 12， ，tan 1 2，即 m 1 1 2，m 1 2. (2)tanAOBtan()tan 12 sin 12 cos 12 3 4， sin2 12 co
17、s2 12 1， 12 2， 11 12 ， sin 12 3 5，cos 12 4 5， sin 2 6 2sin 12 cos 12 24 25， cos 2 6 2cos2 12 1 7 25， sin 2sin 2 6 6 sin 2 6 cos 6cos 2 6 sin 6 724 3 50 . 22(12 分)如图，将一块圆心角为 120 ，半径为 20 cm 的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一 边在扇形的半径 OA 上(如图)或让矩形一边与弦 AB 平行(如图)， 请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最 大？请求出这个最大值 解 对于题干图，MN20sin ，ON20cos ， 所以 S1ON MN400sin cos 200sin 2. 所以当 sin 21，即 45 时，(S1)max200 cm2. 对于题干图，MQ40sin(60 )， MN20cos(60 )20sin60 tan 60 40 3 3 sin ， 所以 S2MQ MN800 3 3 cos260 1 2 . 因为 0 60 ， 所以60 260 200， 所以用图这种裁法得到的矩形的最大面积最大， 最大面积为400 3 3 cm2.