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2021年秋人教版A版高中数学必修第一册《第三章 函数的概念与性质》章末检测试卷(含答案)

1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1已知 f(x) 3x1,x1, x23,x1, 则 f(3)等于( ) A7 B2 C10 D12 答案 D 解析 31, f(3)32312. 2下列四组函数中,表示同一个函数的一组是( ) Af(x)|x|,g(x) x2 Bf(x) x2,g(x)( x)2 Cf(x)x 21 x1 ,g(x)x1 Df(x)( x)2,g(x) x2 答案 A 解析 对于 A 选项,f(x)和 g(x)的定义域均为 R,且 g(x) x2|x|

2、f(x),所以 A 选项符合题意 对于 B 选项,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为x|x0,所以 B 选项不符合题意 对于 C 选项,f(x)的定义域为x|x1,g(x)的定义域为 R,所以 C 选项不符合题意 对于 D 选项,f(x)的定义域为x|x0,g(x)的定义域为 R,所以 D 选项不符合题意 3若函数 yf(3x1)的定义域是1,3,则 yf(x)的定义域是( ) A1,3 B2,4 C2,8 D3,9 答案 C 解析 因为函数 yf(3x1)的定义域是1,3, 所以 1x3,23x18, 则函数 yf(x)的定义域是2,8 4幂函数 f(x)x的图象过点 1 2, 2

3、2 ,则 f(2)等于( ) A. 2 B2 C.1 2 D. 2 2 答案 A 解析 由于幂函数 f(x)x的图象过点 1 2, 2 2 ,所以 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2, 所以 f(x) 1 2 x,所以 f(2) 1 2 2 2. 5若函数 f(x)在(,1上单调递增,则下列关系式中成立的是( ) Af 3 2 f(1)f(2) Bf(1)f 3 2 f(2) Cf(2)f(1)f 3 2 Df(2)f 3 2 f(1) 答案 D 解析 f(x)在(,1上单调递增,且23 21,f(2)f 3 2 f(1) 6若 f(x)是偶函数且在0,)上单调递增,又 f(2)1,则不等

4、式 f(x1)1 的解集为( ) Ax|1x3 Bx|x3 Cx|x1 或 0 x1 或3x0 答案 A 解析 由于函数 yf(x)为偶函数,则 f(2)f(2)1, 且函数 yf(x)在0,)上单调递增,由 f(x1)1,可得 f(|x1|)f(2), |x1|2,即2x12,解得1x3. 因此,不等式 f(x1)1 的解集为x|1x1 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是( ) A3,1 B(,1 C1,0) D2,0) 答案 A 解析 因为函数 f(x)是 R 上的减函数,所以有 2a 2 1, a0, 122a3a1, 解得3a1. 8定义在(0,)上的函数 f(x)满足x1fx1

5、x2fx2 x1x2 0 的解集为( ) A(4,) B(0,4) C(0,2) D(2,) 答案 C 解析 由题意,设 g(x)xf(x), 因为x1fx1x2fx2 x1x2 0,即gx1gx2 x1x2 0,即 xfx8 x 0, 因为 x(0,),所以不等式等价于 xf(x)80,即 xf(x)8, 又 f(2)4,则 g(2)2 f(2)8,所以不等式 xf(x)8 的解集为(0,2) 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错 的得 0 分) 9下列函数中,既是偶函数又在(0,)上单调递增的函数是( ) Ayx

6、 By|x|1 Cy 2 3 x Dy1 x 答案 BC 解析 Ayx 是奇函数,故不符合题意; By|x|1 是偶函数,在(0,)上单调递增,符合题意; Cy 2 3 x是偶函数,在(0,)上单调递增,符合题意; Dy1 x是奇函数,不符合题意 10函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列命题中正确的有( ) Af(0)0 B若 f(x)在0,)上有最小值1,则 f(x)在(,0上有最大值 1 C若 f(x)在1,)上单调递增,则 f(x)在(,1上单调递减 D若 x0,f(x)x22x,则当 x0 时,f(x)x22x 答案 ABD 解析 根据题意,依次分析选项: 对于 A, 函数 f

7、(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 f(x)f(x), 当 x0 时, 有 f(0)f(0), 变形可得 f(0)0, A 正确; 对于 B,若 f(x)在0,)上有最小值1,即 x0 时,f(x)1,则有x0,f(x)f(x)1,即 f(x) 在(,0上有最大值 1,B 正确; 对于 C,奇函数在对应的区间上单调性相同,则若 f(x)在1,)上单调递增,则 f(x)在(,1上单调 递增,C 错误; 对于 D,设 x0,则 f(x)(x)22(x)x22x,则 f(x)f(x)(x22x)x22x,D 正确 11某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可

8、利用的化 工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的 函数关系可近似表示为 y1 2x 2200 x80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元以下判断正确的是( ) A该单位每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 B该单位每月最低可获利 20 000 元 C该单位每月不获利也不亏损 D每月需要国家至少补贴 40 000 元才能使该单位不亏损 答案 AD 解析 由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 y x 1 2x 2200 x80 000 x 1 2x 80 000 x

9、200 2 1 2x 80 000 x 200200, 当且仅当1 2x 80 000 x ,即 x400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元 设该单位每月获利为 S, 则 S100 xy100 x 1 2x 2200 x80 000 1 2(x300) 235 000, 因为 400 x600,所以当 x400 时,S 有最大值40 000 元 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损 12对于定义域为 D 的函数 yf(x),若同时满足下列条件:f(x)在 D 内单调递增或单调递减;存在区 间a,bD,使 f(x)在a,b上的值域为a,b,

10、那么把 yf(x)(xD)称为闭函数下列结论正确的是( ) A函数 yx 是闭函数 B函数 yx21 是闭函数 C函数 yx2(x0)是闭函数 D函数 f(x) x 1x(x1)是闭函数 答案 AC 解析 选项 A,因为 yx 是 R 上的单调递增的一次函数,且在 R 上任意子区间都满足新定义,所以 A 正 确; 选项 B,若函数是闭函数,则可设 xa,b,ya,b,假设函数单调递增,则 aa21, bb21, 显然无解, 若单调递减,则 ab21, ba21, 解得 ab,显然不成立,所以 B 错误; 选项 C,函数是开口向下的二次函数,且在区间(,0上单调递增,令 f(x)x2, 若是闭函

11、数,则一定有 faa, fbb, 即 a2a, b2b, 解得满足新定义的闭区间是1,0,此时 a1,b0, 所以 C 正确; 选项 D,函数在(1,)上单调递增,若满足新定义则有 faa, fbb, 即 a a1a, b b1b, 解得 ab,又 a b,所以不存在区间满足新定义,所以 D 错误 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13已知 f(x) x23,x0, gx,x0 的 解集是_ 答案 (5,0)(3,5) 解析 根据题意,得函数 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(5)0,则 f(5)f(5)0, 又函数 f(x)在(0,)上单调递减, 则在区间(0

12、,5)上,f(x)0,在区间(5,)上,f(x)0, 又函数为奇函数,则在区间(5,0)上,f(x)0, 不等式(x3)f(x)0 x30, fx0 或 x30, fx0, 则5x0 或 3x5, 即不等式的解集为(5,0)(3,5) 16个人取得的劳务报酬,应当交纳个人所得税每月劳务报酬收入(税前)不超过 800 元不用交税;超过 800 元时,应纳税所得额及税率按表分段计算: 劳务报酬收入(税前) 应纳税所得额 税率 劳务报酬收入(税前)不超过 4 000 元 劳务报酬收入(税前)减 800 元 20% 劳务报酬收入(税前)超过 4 000 元 劳务报酬收入(税前)的 80% 20% (注

13、:应纳税所得额单次超过两万,另有税率计算方法) 某人某月劳务报酬应交税款为 800 元,那么他这个月劳务报酬收入(税前)为_元 答案 5 000 解析 由题意,得收入为 4 000 元时,应纳税(4 000800)20%640(元),该人月纳税为 800 元,应执行 4 000 元以上的标准,设其收入为 x 元,则 x 80% 20%800,解得 x5 000. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)若函数 f(x) x3 1 x2. (1)求 f(3),f(a21); (2)求函数 f(x)的定义域 解 (1)f(x) x3 1 x2,f(3) 33 1 231,f

14、(a 21) a24 1 a23. (2)对于函数 f(x) x3 1 x2,则有 x30, x20, 解得 x3 且 x2. 因此,函数 f(x) x3 1 x2的定义域为3,2)(2,) 18(12 分)已知函数 f(x)x 21 x . (1)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (2)当 x1 时,判断并证明 f(x)的单调性 解 (1)f(x)是奇函数,证明如下: 函数 f(x)的定义域为x|x0,关于原点对称, f(x)x 21 x x 21 x f(x), 故 f(x)为奇函数 (2)f(x)在(,1)上单调递增,证明如下: 任取 x1x21, 则 f(x1)f(x2)x 2 11

15、 x1 x 2 21 x2 x 2 1x2x2x1x 2 2x1 x1x2 x1x2x1x21 x1x2 , x1x21,x1x21, f(x1)f(x2)0,f(x1)x2,则 g(x1)g(x2)1 1 x11 1 1 x21 1 x11 1 x21 x2x1 x11x21, 因为 x1x21,所以 x2x10,x210, 所以 g(x1)g(x2)0,即 g(x1)g(x2), 所以函数 g(x)在(1,)上单调递减 20(12 分)某商场经销一批进价为每件 30 元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价 x(元)与日销售 量 y(件)之间有如下表所示的关系(其中 30 x50,且

16、xN*): x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定 y 与 x 的一个函数关系 式; (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系,写出 P 关于 x 的函数关系式,并指出销售单价为多 少元时,才能获得最大日销售利润 解 (1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对应点,它们分布在一条直线上 设它们所在直线为 ykxb(k0), 则 50kb0, 45kb15, 解得 k3, b150, 所以 y3x150(30 x50,且 xN*), 经检验(30,

17、60),(40,30)也在此直线上, 所以所求函数解析式为 y3x150(30 x50,且 xN*) (2)依题意得,Py(x30)(3x150)(x30) 3(x40)2300(30 x50,且 xN*) 所以当 x40 时,P 有最大值 300,即销售单价为 40 元时,才能获得最大日销售利润 21(12 分)已知函数 f(x)是对任意的 xR 都满足 f(x)f(x)0,且当 x0,则x0, 依题意知 f(x)(x)22(x)x22x,即f(x)x22x,故 f(x)x22x; 当 x0 时,f(0)f(0)0,故 f(0)0, 故 f(x)的解析式为 f(x) x22x,x0, x22

18、x,x0. (2)由 f(x)f(x),知 f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故函数 f(x)的完整图象如图所示, 由图象可知,函数 f(x)的单调递减区间是(,1和1,),单调递增区间是(1,1),x2,2时 y f(x)的值域为1,1 22(12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)f(2)3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间2a,a1上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间1,1上,yf(x)的图象恒在 y2x2m1 的图象上方,试确定实数 m 的取值范围 解 (1)由题意,得函数 f(x)是二次函数,且 f(0)f(2),可得函数 f(x)的对称轴为 x1, 又由最小值为 1,可设 f(x)a(x1)21, 又 f(0)3,即 a(01)213,解得 a2, 所以函数的解析式为 f(x)2(x1)212x24x3. (2)由(1)得函数 f(x)2x24x3 的对称轴为 x1, 要使 f(x)在区间2a,a1上不单调,则满足 2a1a1,解得 0a2x2m1 在区间1,1上恒成立, 化简得 mx23x1 在区间1,1上恒成立, 设函数 g(x)x23x1, 则 g(x)在区间1,1上单调递减, g(x)在区间1,1上的最小值为 g(1)1, m1. 实数 m 的取值范围为(,1)