1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1已知 f(x) 3x1，x1， x23，x1， 则 f(3)等于( ) A7 B2 C10 D12 答案 D 解析 31， f(3)32312. 2下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( ) Af(x)|x|，g(x) x2 Bf(x) x2，g(x)( x)2 Cf(x)x 21 x1 ，g(x)x1 Df(x)( x)2，g(x) x2 答案 A 解析 对于 A 选项，f(x)和 g(x)的定义域均为 R，且 g(x) x2|x|
2、f(x)，所以 A 选项符合题意 对于 B 选项，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为x|x0，所以 B 选项不符合题意 对于 C 选项，f(x)的定义域为x|x1，g(x)的定义域为 R，所以 C 选项不符合题意 对于 D 选项，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为 R，所以 D 选项不符合题意 3若函数 yf(3x1)的定义域是1,3，则 yf(x)的定义域是( ) A1,3 B2,4 C2,8 D3,9 答案 C 解析 因为函数 yf(3x1)的定义域是1,3， 所以 1x3,23x18， 则函数 yf(x)的定义域是2,8 4幂函数 f(x)x的图象过点 1 2， 2
3、2 ，则 f(2)等于( ) A. 2 B2 C.1 2 D. 2 2 答案 A 解析 由于幂函数 f(x)x的图象过点 1 2， 2 2 ，所以 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2， 所以 f(x) 1 2 x，所以 f(2) 1 2 2 2. 5若函数 f(x)在(，1上单调递增，则下列关系式中成立的是( ) Af 3 2 f(1)f(2) Bf(1)f 3 2 f(2) Cf(2)f(1)f 3 2 Df(2)f 3 2 f(1) 答案 D 解析 f(x)在(，1上单调递增，且23 21，f(2)f 3 2 f(1) 6若 f(x)是偶函数且在0，)上单调递增，又 f(2)1，则不等
4、式 f(x1)1 的解集为( ) Ax|1x3 Bx|x3 Cx|x1 或 0 x1 或3x0 答案 A 解析 由于函数 yf(x)为偶函数，则 f(2)f(2)1， 且函数 yf(x)在0，)上单调递增，由 f(x1)1，可得 f(|x1|)f(2)， |x1|2，即2x12，解得1x3. 因此，不等式 f(x1)1 的解集为x|1x1 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是( ) A3，1 B(，1 C1,0) D2,0) 答案 A 解析 因为函数 f(x)是 R 上的减函数，所以有 2a 2 1， a0， 122a3a1， 解得3a1. 8定义在(0，)上的函数 f(x)满足x1fx1
5、x2fx2 x1x2 0 的解集为( ) A(4，) B(0,4) C(0,2) D(2，) 答案 C 解析 由题意，设 g(x)xf(x)， 因为x1fx1x2fx2 x1x2 0，即gx1gx2 x1x2 0，即 xfx8 x 0， 因为 x(0，)，所以不等式等价于 xf(x)80，即 xf(x)8， 又 f(2)4，则 g(2)2 f(2)8，所以不等式 xf(x)8 的解集为(0,2) 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是( ) Ayx
6、 By|x|1 Cy 2 3 x Dy1 x 答案 BC 解析 Ayx 是奇函数，故不符合题意； By|x|1 是偶函数，在(0，)上单调递增，符合题意； Cy 2 3 x是偶函数，在(0，)上单调递增，符合题意； Dy1 x是奇函数，不符合题意 10函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，下列命题中正确的有( ) Af(0)0 B若 f(x)在0，)上有最小值1，则 f(x)在(，0上有最大值 1 C若 f(x)在1，)上单调递增，则 f(x)在(，1上单调递减 D若 x0，f(x)x22x，则当 x0 时，f(x)x22x 答案 ABD 解析 根据题意，依次分析选项： 对于 A， 函数 f
7、(x)是定义在 R 上的奇函数， 则 f(x)f(x)， 当 x0 时， 有 f(0)f(0)， 变形可得 f(0)0， A 正确； 对于 B，若 f(x)在0，)上有最小值1，即 x0 时，f(x)1，则有x0，f(x)f(x)1，即 f(x) 在(，0上有最大值 1，B 正确； 对于 C，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若 f(x)在1，)上单调递增，则 f(x)在(，1上单调 递增，C 错误； 对于 D，设 x0，则 f(x)(x)22(x)x22x，则 f(x)f(x)(x22x)x22x，D 正确 11某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可
8、利用的化 工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的 函数关系可近似表示为 y1 2x 2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元以下判断正确的是( ) A该单位每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B该单位每月最低可获利 20 000 元 C该单位每月不获利也不亏损 D每月需要国家至少补贴 40 000 元才能使该单位不亏损 答案 AD 解析 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为 y x 1 2x 2200 x80 000 x 1 2x 80 000 x
9、200 2 1 2x 80 000 x 200200， 当且仅当1 2x 80 000 x ，即 x400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元 设该单位每月获利为 S， 则 S100 xy100 x 1 2x 2200 x80 000 1 2(x300) 235 000， 因为 400 x600，所以当 x400 时，S 有最大值40 000 元 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损 12对于定义域为 D 的函数 yf(x)，若同时满足下列条件：f(x)在 D 内单调递增或单调递减；存在区 间a，bD，使 f(x)在a，b上的值域为a，b，
10、那么把 yf(x)(xD)称为闭函数下列结论正确的是( ) A函数 yx 是闭函数 B函数 yx21 是闭函数 C函数 yx2(x0)是闭函数 D函数 f(x) x 1x(x1)是闭函数 答案 AC 解析 选项 A，因为 yx 是 R 上的单调递增的一次函数，且在 R 上任意子区间都满足新定义，所以 A 正 确； 选项 B，若函数是闭函数，则可设 xa，b，ya，b，假设函数单调递增，则 aa21， bb21， 显然无解， 若单调递减，则 ab21， ba21， 解得 ab，显然不成立，所以 B 错误； 选项 C，函数是开口向下的二次函数，且在区间(，0上单调递增，令 f(x)x2， 若是闭函
11、数，则一定有 faa， fbb， 即 a2a， b2b， 解得满足新定义的闭区间是1,0，此时 a1，b0， 所以 C 正确； 选项 D，函数在(1，)上单调递增，若满足新定义则有 faa， fbb， 即 a a1a， b b1b， 解得 ab，又 a b，所以不存在区间满足新定义，所以 D 错误 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 f(x) x23，x0， gx，x0 的 解集是_ 答案 (5,0)(3,5) 解析 根据题意，得函数 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(5)0，则 f(5)f(5)0， 又函数 f(x)在(0，)上单调递减， 则在区间(0
12、,5)上，f(x)0，在区间(5，)上，f(x)0， 又函数为奇函数，则在区间(5,0)上，f(x)0， 不等式(x3)f(x)0 x30， fx0 或 x30， fx0， 则5x0 或 3x5， 即不等式的解集为(5,0)(3,5) 16个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税每月劳务报酬收入(税前)不超过 800 元不用交税；超过 800 元时，应纳税所得额及税率按表分段计算： 劳务报酬收入(税前) 应纳税所得额 税率 劳务报酬收入(税前)不超过 4 000 元 劳务报酬收入(税前)减 800 元 20% 劳务报酬收入(税前)超过 4 000 元 劳务报酬收入(税前)的 80% 20% (注
13、：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法) 某人某月劳务报酬应交税款为 800 元，那么他这个月劳务报酬收入(税前)为_元 答案 5 000 解析 由题意，得收入为 4 000 元时，应纳税(4 000800)20%640(元)，该人月纳税为 800 元，应执行 4 000 元以上的标准，设其收入为 x 元，则 x 80% 20%800，解得 x5 000. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)若函数 f(x) x3 1 x2. (1)求 f(3)，f(a21)； (2)求函数 f(x)的定义域 解 (1)f(x) x3 1 x2，f(3) 33 1 231，f
14、(a 21) a24 1 a23. (2)对于函数 f(x) x3 1 x2，则有 x30， x20， 解得 x3 且 x2. 因此，函数 f(x) x3 1 x2的定义域为3，2)(2，) 18(12 分)已知函数 f(x)x 21 x . (1)判断并证明函数 f(x)的奇偶性； (2)当 x1 时，判断并证明 f(x)的单调性 解 (1)f(x)是奇函数，证明如下： 函数 f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称， f(x)x 21 x x 21 x f(x)， 故 f(x)为奇函数 (2)f(x)在(，1)上单调递增，证明如下： 任取 x1x21， 则 f(x1)f(x2)x 2 11
15、 x1 x 2 21 x2 x 2 1x2x2x1x 2 2x1 x1x2 x1x2x1x21 x1x2 ， x1x21，x1x21， f(x1)f(x2)0，f(x1)x2，则 g(x1)g(x2)1 1 x11 1 1 x21 1 x11 1 x21 x2x1 x11x21， 因为 x1x21，所以 x2x10，x210， 所以 g(x1)g(x2)0，即 g(x1)g(x2)， 所以函数 g(x)在(1，)上单调递减 20(12 分)某商场经销一批进价为每件 30 元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x(元)与日销售 量 y(件)之间有如下表所示的关系(其中 30 x50，且
16、xN*)： x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定 y 与 x 的一个函数关系 式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据上述关系，写出 P 关于 x 的函数关系式，并指出销售单价为多 少元时，才能获得最大日销售利润 解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上 设它们所在直线为 ykxb(k0)， 则 50kb0， 45kb15， 解得 k3， b150， 所以 y3x150(30 x50，且 xN*)， 经检验(30,
17、60)，(40,30)也在此直线上， 所以所求函数解析式为 y3x150(30 x50，且 xN*) (2)依题意得，Py(x30)(3x150)(x30) 3(x40)2300(30 x50，且 xN*) 所以当 x40 时，P 有最大值 300，即销售单价为 40 元时，才能获得最大日销售利润 21(12 分)已知函数 f(x)是对任意的 xR 都满足 f(x)f(x)0，且当 x0，则x0， 依题意知 f(x)(x)22(x)x22x，即f(x)x22x，故 f(x)x22x； 当 x0 时，f(0)f(0)0，故 f(0)0， 故 f(x)的解析式为 f(x) x22x，x0， x22
18、x，x0. (2)由 f(x)f(x)，知 f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故函数 f(x)的完整图象如图所示， 由图象可知，函数 f(x)的单调递减区间是(，1和1，)，单调递增区间是(1,1)，x2,2时 y f(x)的值域为1,1 22(12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)f(2)3. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在区间2a，a1上不单调，求实数 a 的取值范围； (3)在区间1,1上，yf(x)的图象恒在 y2x2m1 的图象上方，试确定实数 m 的取值范围 解 (1)由题意，得函数 f(x)是二次函数，且 f(0)f(2)，可得函数 f(x)的对称轴为 x1， 又由最小值为 1，可设 f(x)a(x1)21， 又 f(0)3，即 a(01)213，解得 a2， 所以函数的解析式为 f(x)2(x1)212x24x3. (2)由(1)得函数 f(x)2x24x3 的对称轴为 x1， 要使 f(x)在区间2a，a1上不单调，则满足 2a1a1，解得 0a2x2m1 在区间1,1上恒成立， 化简得 mx23x1 在区间1,1上恒成立， 设函数 g(x)x23x1， 则 g(x)在区间1,1上单调递减， g(x)在区间1,1上的最小值为 g(1)1， m1. 实数 m 的取值范围为(，1)