1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1若 x0，则 x4 x的最小值为( ) A2 B3 C2 2 D4 答案 D 解析 x0，x4 x2 x4 x4，当且仅当 x 4 x即 x2 时等号成立 2不等式 x22x30 的解集为( ) Ax|x1 Bx|3x1 Cx|x3 Dx|1x3 答案 D 解析 方程 x22x30 的实数根为 x11，x23， 不等式 x22x30 的解集为x|1xy1，则下列四个数中最小的数是( ) A.xy 2 B. 2xy xy
2、C. x D.1 2 1 x 1 y 答案 D 解析 因为 xy1， 所以xy 2 11 2 1， 2xy xy 2 1 y 1 x 2 111， x1， 1 2 1 x 1 y 1 2 1 1 1 1 1， 所以四个数中最小的数是1 2 1 x 1 y . 5若 ab0，下列不等式中成立的是( ) A.a b1 B.1 ab Db2a2 答案 C 解析 若 ab0，所以a b1，故 A 不成立； 对于 B，1 a 1 b ba ab 0，所以1 a 1 b，故 B 不成立； 对于 C，因为 abb，所以|a|b，故 C 成立； 对于 D，由ab0，所以(a)2(b)2，即 a2b2，故 D
3、不成立 6关于 x 的不等式 axb0 的解集是x|x1，则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 的解集是( ) Ax|x3 Bx|1x3 Cx|1x3 Dx|x3 答案 A 解析 不等式 axb0 的解集是x|x1，故 a0，b a1，则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 即 a xb a (x 3)0，即(x1)(x3)0，故解集是x|x3 7已知1a3,2b4，则 2ab 的取值范围是( ) A62ab4 B02ab10 C42ab2 D52ab1 答案 A 解析 因为1a3,2b4， 可得22a6，4b2， 所以242ab62， 即62ab4. 8若规定 a b c d adbc
4、，则不等式 0 1 x x 3 2 的解是( ) A1x1 B. 3x 3 C. 1x 3 D 3x1 或 1x 3 答案 D 解析 因为 a b c d adbc，所以 1 x x 3 3x2， 所以 03x22，即 1x23， 解得 1x 3或 3x1. 二、 选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全 部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9若非零实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是( ) A.a b1 B.b a a b2 C. 1 ab2 1 a2b Da2ab2b 答案
5、ABD 解析 当 ab0 时，a b1 不成立， 当a b0 时， b a a b2 不成立， 因为 1 ab2 1 a2b ab ab20，则 1 ab2 1 a2b一定成立， 因为 a2b2ab(ab)(ab1)符号不定，故 a2a0)的最小值是 2 B. x22 x22的最小值是 2 C. x25 x24的最小值是 2 D23x4 x的最大值是 24 3 答案 AB 解析 由基本不等式可知，x0 时，x1 x2，当且仅当 x 1 x即 x1 时取等号，故 A 正确； x22 x22 x 22 2，当 x0 时取得等号，故 B 正确； x25 x24 x 24 1 x242，当且仅当 x
6、24 1 x24，即 x 241，显然无实根，不成立，故 C 错误； 2 3x4 x 在 x0 时，没有最大值，故 D 错误 11已知关于 x 的方程 x2(m3)xm0，下列结论正确的是( ) A方程 x2(m3)xm0 有实数根的充要条件是 mm|m9 B方程 x2(m3)xm0 有两正实数根的充要条件是 mm|01 D当 m3 时，方程的两实数根之和为 0 答案 BC 解析 对于 A，若方程 x2(m3)xm0 有实数根，则 (m3)24m0，解得 m9 或 m1.故 A 错 误； 对于 B，方程 x2(m3)xm0 有两正实数根， m324m0， m30， m0， 解得0m1； 当00
7、，x1x2m0，该方程有两个正实数根故方程 x2(m3)xm0 有两正实数 根的充要条件是 mm|0m1故 B 正确； 对于 C，若方程 x2(m3)xm0 无实数根，则 (m3)24m0，解得 1m9. 实数 m 的取值范围是m|1m1故 C 正确； 另外，若设 Am|1m1，则 AB，C 正确 对于 D，当 m3 时，方程为 x230，无实数根故 D 错误 12已知函数 yx2axb(a0)有且只有一个零点，则( ) Aa2b24 Ba21 b4 C若不等式 x2axb0 的解集为x|x1x0 D若不等式 x2axbc 的解集为x|x1x0)有且只有一个零点， 故可得 a24b0，即 a2
8、4b0. a2b24 等价于 b24b40，显然(b2)20，故 A 正确； a21 b4b 1 b2 4b1 b4，故 B 正确； 因为不等式 x2axb0 的解集为x|x1xx2， 故可得 x1x2b0，故 C 错误； 因为不等式 x2axbc 的解集为x|x1xx2，且|x1x2|4， 则方程 x2axbc0 的两根为 x1，x2， 故可得 x1x224x1x2 a24bc 4c2 c4， 故可得 c4，故 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13因式分解(x22x)27(x22x)8_. 答案 (x1)2(x4)(x2) 解析 (x22x)27(x
9、22x)8(x22x1)(x22x8)(x1)2(x4)(x2) 14若不等式 ax22ax10 的解集为 R，则 a 的取值范围是_ 答案 1a0 解析 当 a0 时，不等式 ax22ax10 化为10，解集为 R； 当 a0 时，不等式 ax22ax10 解集为 R 时， 应满足 a0， 4a24a10， 解得1a0. 综上，实数 a 的取值范围是10，y0，且 xy8，则(1x) (1y)的最大值为_ 答案 25 解析 因为 x0，y0，且 xy8， 所以(1x)(1y)102 1x1y， 即(1x)(1y)25， 当且仅当 xy4 时，等号成立 所以(1x) (1y)的最大值为 25.
10、 16某种衬衫进货价为每件 30 元，若以 40 元一件出售，则每天能卖出 40 件；若每件提价 1 元，则每天卖 出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于 525 元，则每件衬衫的售价的取值范围是 _(假设每件衬衫的售价是 m) 答案 45m65 解析 设每件衬衫提价 x 元，则每件衬衫的售价为(40 x)元， 则每天出售衬衫的净收入为(40 x30)(40 x) (x15)2625元， 由题可知，(x15)2625525， 整理得，(x25)(x5)0，解得 5x25， 4540 x65. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)某班有 48 人，计划于 2
11、022 年元旦乘出租车前往某景区游玩，现需从 A，B 两种类型的出租车选 择一种，A 型号的出租车比 B 型号的少 5 辆，若选择 A 型号出租车，每辆车乘坐 4 人，则出租车不够，每 辆车乘坐 5 人，则有一辆车没有坐满但不空；若选择 B 型号出租车，每辆车乘坐 3 人，则出租车不够，每 辆车乘坐 4 人，则出租车有剩余，设 A 型号的出租车有 x 辆，用不等式将题目中的不等关系表示出来 解 由已知得，A 型号的出租车有 x 辆，则 B 型号出租车有(x5)辆， x0， x50， 4x48， 05x485， 3x50，y0，且满足 xy8xy. (1)求 xy 的最大值； (2)求 xy 的
12、最小值 解 (1)x0，y0，8xyxy2 xy， 即( xy4)( xy2)0，解得 xy4，当且仅当 xy2 时，等号成立， xy 的最大值为 4. (2)8(xy)xy xy 2 2， 所以(xy)8(xy)40， xy4，当且仅当 xy2 时，等号成立 即 xy 的最小值为 4. 19(12 分)设命题 p：方程 x2(2m4)xm0 有两个不相等的实数根；命题 q：对所有的 2x3，不等 式 x24x13m2恒成立 (1)若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； (2)若命题 p，q 一真一假，求实数 m 的取值范围 解 (1)若命题 p 为真命题，即方程 x2(2m4)xm0
13、 有两个不相等的实数根， 则有 (2m4)24m4m220m160， 解得 m4 或 m4 或 m4或m3或m4 或 m3； 若命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，则有 1m4， 3m3， 解得 1m3. 综上所述，当命题 p，q 一真一假时，实数 m 的取值范围为m|m4 20(12 分)已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)0. (1)当 a2 时，解上述不等式； (2)当 a1 时，解上述关于 x 的不等式 解 (1)当 a2 时，代入可得(2x1)(x1)0， 解不等式可得1 2x1， 所以不等式的解集为 x 1 2x1 . (2)关于 x 的不等式(ax1)(x1)0. 若 a1， 当 a0 时，代入不等式可得x11； 当 0a1 时，化简不等式可得 a x1 a (x1)1 解不等式可得 1x 1 a， 当 a0 时，化简不等式可得 a x1 a (x1)1 或 x1，当 0a1 时，不等式解集为 x 1x1 a ，当 a1或x0， tR，该方程总有两个不相等的实数根 方程的两个实数根均大于2 且小于 4， 22t 2 0， t28t150， 解得1t3. 实数 t 的取值范围是t|1t3