1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设 a，b，c，dR，且 ab，cd，则下列结论中正确的是( ) A.acbd B.acbd C.acbd D.a d b c 答案 C 解析 ab，cd，acbd. 2.不等式1 x 1 2的解集是( ) A.x|x2 C.x|0 x2 D.x|x2 答案 D 解析 由1 x 1 2，得 1 x 1 2 2x 2x 0， 即 x(2x)2 或 x0 的解集是x
2、|1x2，则 ab 的值为( ) A.1 B.1 C.0 D.2 答案 C 解析 易知 a0， b a121， 2 a12 a1， b1， ab0. 4.若 a1，那么下列命题中正确的是( ) A.1 a 1 b B.b a1 C.a2b2 D.abab 答案 D 解析 利用特值法，令 a2，b2. 则1 a 1 b，A 错； b a0，B 错； a2b2，C 错；ab0，b0，且满足a 3 b 41，则 ab 的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B 解析 因为 a0，b0，且满足a 3 b 41， 所以 12 a 3 b 4，化为 ab3，当且仅当 a 3 2，b2 时取
3、等号，则 ab 的最大值是 3. 6.设实数 1a2，关于 x 的一元二次不等式 x2(a23a2)x3a(a22)0 的解集为( ) A.x|3axa22 B.x|a22x3a C.x|3x4 D.x|3x6 答案 B 解析 由 x2(a23a2)x3a(a22)0，得(x3a) (xa22)0，1aa22， 关于 x 的一元二次不等式 x2(a23a2)x3a(a22)0 的解集为x|a22x0，b0，且 2ab1，若不等式2 a 1 bm 恒成立，则 m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B 解析 2 a 1 b 2（2ab） a 2ab b 42b a 2a
4、b 152 b a a b 522 b a a b9，当且仅 当 ab1 3时取等号.又 2 a 1 bm，m9，即 m 的最大值等于 9，故选 B. 8.若关于 x 的不等式 axb0 的解集为x|x1，则关于 x 的不等式axb x2 0 的解集为( ) A.x|x1 B.x|1x2 C.x|x2 D.x|1x0 的解集为x|x1， x1 为 axb0 的根，ab0，即 ab， axb0 的解集为x|x1，a0， 故axb x2 a（x1） x2 0，等价于(x1)(x2)0. x2 或 xbc，下列不等关系不成立的是( ) A.acb2abbc B.abbcb2ac C.acbcc2ab
5、 D.a2bcb2ab 答案 ACD 解析 对于 A，若 acb2abbc，则 acbcabb2，即 c(ab)b(ab)，不成立；对于 C， 若 acbcc2ab，则 acc2abbc，即 c(ac)b(ac)，不成立；对于 D，若 a2bcb2 ab，则 a2abb2bc，即 a(ab)b(bc)，若 a4，b3，c1，不成立.故选 ACD. 10.设 ab1，c c b B.acb(ac) D.a c b c 答案 ABC 解析 A.ab1，c0， c a c b，故正确； B.c0，a (c)b (c)，acbc， acb1， a(bc)b(ac)abacabbcc(ab)0， a(b
6、c)b(ac)， 故正确； D.a c b c ab c ，又 ab0，c0，所以ab c 0， 即a c0，b0，与不等式b1 xa 不等价的是( ) A.1 bx0 或 0 x 1 a B.1 ax 1 b C.x 1 b D.x 1 a 答案 ABC 解析 若 x0，则不等式b1 xa 等价为 1 x1 a，若 x0，则不等式b 1 xa 等价为 b1 x，即 x0，b0，下列不等式中正确的是( ) A. ab 2 0，b0 时，因为 2 1 a 1 b ab， 所以 2 ab 1 a 1 b，当且仅当 ab 时等号成立，故 A 不正确；显然 B，C，D 均正确. 三、填空题(本大题共
7、4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13.不等式 x22x0 的解集为_. 答案 x|0 x2 解析 不等式 x22x0 可化为 x(x2)0，解得：0 x2，不等式的解集为x|0 x0 的解集为x|x1，则 ab_，一元一次不等 式 axb0 的解集为_(第一空 2 分，第二空 3 分). 答案 1 8 x|x3 2 解析 由题意知，3 和 1 是方程 x2axb0 的两根， 所以 31a， 31b， 解得 a2， b3，故 a b1 8. 不等式 axb0 即为 2x30，所以 x0 对2x4 恒成立，则 m 的取值范围是_. 答案 m|22 3m0，m2，
8、又 m4，无解； 当2m 24，即4m0， 解得 22 3m22 3， 又4m8，22 3m0，m6， 又 m8，无解. 综上，m 的取值范围为m|22 3m3 时，求 2x2 x3的最小值. 解 x3，x30. 2x2 x3 2（x3）212（x3）18 x3 2(x3) 18 x3122 2（x3）18 x31224. 当且仅当 2(x3) 18 x3， 即 x6 时，上式等号成立， 2x2 x3的最小值为 24. 18.(本小题满分 12 分)若不等式(1a)x24x60 的解集是x|3x0； (2)b 为何值时，ax2bx30 的解集为 R. 解 (1)由题意知 1a0 且3 和 1
9、是方程(1a)x24x60 的两根， 1a0， 即为 2x2x30，解得 x3 2. 所求不等式的解集为 x x3 2 . (2)ax2bx30，即为 3x2bx30， 若此不等式的解集为 R，则 b24330， 6b6. 19.(本小题满分 12 分)某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系：s 1 18x 1 180 x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于 40 m， 那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 解 设这辆汽车刹车前的车速为 x km/h. 根据题意，有 1 18x 1 180 x 240， 移项整理，得 x210 x7 2
10、000. 即(x80)(x90)0. 故得不等式的解集为x|x90 或 x80. 在这个实际问题中 x0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 80 km/h. 20.(本小题满分 12 分)已知 a， b， c 均为正数， 证明： a2b2c2 1 a 1 b 1 c 2 6 3， 并确定 a， b，c 为何值时，等号成立. 证明 因为 a，b，c 均为正数， 所以 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac. 所以 a2b2c2abbcac. 同理 1 a2 1 b2 1 c2 1 ab 1 bc 1 ac， 故 a2b2c2 1 a 1 b 1 c 2 abbcac 3 ab 3 bc 3
11、 ac6 3. 所以原不等式成立. 当且仅当 abc 时，式和式等号成立， 当且仅当 abc，(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立.故当且仅当 abc43时，原 不等式等号成立. 21.(本小题满分 12 分)某建筑队在一块长 AM30 米， 宽 AN20 米的矩形地块 AMPN 上施工， 规划建设占地如图中矩形 ABCD 的学生公寓，要求顶点 C 在地块的对角线 MN 上，B，D 分别 在边 AM，AN 上，假设 AB 长度为 x 米. (1)要使矩形学生公寓 ABCD 的面积不小于 144 平方米，AB 的长度应在什么范围？ (2)长度 AB 和宽度 AD 分别为多少米时矩形学
12、生公寓 ABCD 的面积最大？最大值是多少平方 米？ 解 (1)依题意知NDCNAM，所以DC AM ND NA， 即 x 30 20AD 20 ，则 AD202 3x. 故矩形 ABCD 的面积为 S20 x2 3x 2. 根据条件 0 x0 的解集为x|xm 或 xn(nm0. (1)证明 a2(y1y2)ay1y20， (ay1)(ay2)0，得 y1a 或 y2a. (2)证明 当a0时， 二次函数的图象开口向上， 图象上的点A或点B的纵坐标为a， 且a0， 图象与 x 轴有两个交点； 当 a0，图 象与 x 轴有两个交点. 二次函数的图象必与 x 轴有两个交点. (3)解 ax2bxc0 的解集为x|xm 或 xn(nm0 且 ax2bxc0 的两根为 m，n， mnb a， mnc a， mn mn b c且 c0， cx2bxa0 即 x2b cx a c0， 即 x2 mn mn x 1 mn0， x 1 m x1 n 0. nm0，1 n0 的解集为 x x1 m或x 1 n .