1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.化简 x3 x 的结果为( ) A. x B. x C. x D. x 答案 A 解析 要使式子有意义，只需x30，即 x0，得 x1 或 x0，故选 C. 3.函数 ylog1 2 x，x(0，8的值域是( ) A.3，) B.3，) C.(，3) D.(，3 答案 A 解析 x(0，8，log1 2 xlog1 2 8， log1 2 x3，y3.故正确答案为 A. 4.某
2、地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的 繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 yalog2(x1)， 若该动物在引入一年后的数量为 100 只，则 7 年后它们发展到( ) A.300 只 B.400 只 C.600 只 D.700 只 答案 A 解析 将 x1，y100 代入 yalog2(x1)得， 100alog2(11)，解得 a100， 所以 x7 时，y100log2(71)300. 5.设 f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数 f(x)有零点的区间是( ) A.0，1 B.1，2 C.2，1 D.1，0 答案 D 解析 f(1
3、)3 1(1)21 31 2 30， f(1) f(0)0，有零点的区间是1，0. 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)2|x m|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log 0.53)，bf(log25)，c f(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.abc B.cab C.acb D.cba 答案 B 解析 由 f(x)为偶函数得 m0，所以 af(log0.53)2|log0.53|12log2312. bf(log25)2log2514，cf(0)2|0|10， 函数 f(x)2|x|1 在(0，)上为增函数， 所以 cab，故选 B. 7.函数 f(x)log1 2 (x
4、24)的单调递增区间为( ) A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2) 答案 D 解析 f(x)log1 2 (x24)由 ylog1 2 u 及 ux24 复合而成，ylog1 2 u 在定义域内为减函数，而 u x24 在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，所以 f(x)log1 2 (x24)的单调递增 区间为(，2)，选 D. 8.如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是( ) A.x|1x0 B.x|1x1 C.x|1x1 D.x|1x2 答案 C 解析 令 g(x)log2(x1)，作函数 g(x)的图象如图， 由 x
5、y2， ylog2（x1），得 x1， y1， 结合图象知不等式 f(x)log2(x1)的解集为x|10，By|yR，所以 AB，ABB. 10.若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象不正确的是( ) 答案 ACD 解析 由函数 ylogax 的图象过点(3，1)，得 a3.选项 A 中的函数为 y 1 3 x，则其函数图象 不正确；选项 B 中的函数为 yx3，则其函数图象正确；选项 C 中的函数为 y(x)3，则其函 数图象不正确；选项 D 中的函数为 ylog3(x)，则其函数图象不正确. 11.若函数 f(x)的图象在 R 上连续不断， 且满足 f(0)
6、0， f(2)0， 则下列说法错误的有( ) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案 ABD 解析 由题知 f(0) f(1)0，因此无法判断 f(x)在区间(1，2)上是否有零点. 12.设指数函数 f(x)ax(a0 且 a1)，则下列等式中正确的有( ) A.f(xy)f(x)f(y) B.f(xy)f（x） f（y） C.f(nx)
7、nf(x)(nQ) D.f(xy)nf(x)nf(y)n(nN*) 答案 AB 解析 f(xy)ax yaxayf(x)f(y)，A 正确； f(xy)ax yaxaya x ay f（x） f（y），B 正确； f(nx)anx(ax)n，nf(x)nax(ax)n，C 不正确； f(xy)n(axy)n，f(x)nf(y)n(ax)n(ay)n (ax y)n(axy)n，D 不正确. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13. 16 81 3 4log 35 4log3 4 5_. 答案 27 8 解析 16 81 3 4 2 3 3
8、27 8 ，而 log35 4log3 4 5log310，所以应填 27 8 . 14.已知函数 f(x) 3 x，x1， x，x1，若 f(x)2，则 x_. 答案 log32 解析 当 x(，1时，f(x)(0，3； 当 x(1，)时，f(x)(，1). f(x)2，3x2xlog32. 15.关于 x 的方程 3x25xa0 的一个根大于 1， 另一个根小于 1， 则 a 的取值范围是_. 答案 (，2) 解析 设 f(x)3x25xa.由题意知，f(1)0，即2a0，a0， 2m 2 2， 42（m2）5m0， 解得5m0，解得1x3， 所以函数的定义域为x|1x3； (2)将原函数
9、分解为 ylog4u，u2x3x2两个函数. 因为 u2x3x2(x1)244， 所以当 x1 时，u 取得最大值 4，又 ylog4u 为单调增函数， 所以 ylog4(2x3x2)log441. 所以 y 的最大值为 1，此时 x1. 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x) 2x2，x1，）， x22x，x（，1）， 求函数 g(x)f(x)1 4的零点. 解 求函数 g(x)f(x)1 4的零点， 即求方程 f(x)1 40 的根. 当 x1 时，由 2x21 40 得 x 9 8； 当 x1 时，由 x22x1 40 得 x 2 5 2 (舍去)或 x2 5 2 . 函数 g(
10、x)f(x)1 4的零点是 9 8和 2 5 2 . 21.(本小题满分 12 分)已知定义在1，1上的奇函数 f(x)，当 x1，0时的解析式为 f(x) 1 4x a 2x(aR). (1)写出 f(x)在0，1上的解析式； (2)求 f(x)在0，1上的最大值. 解 (1)因为 f(x)是定义在1，1上的奇函数，所以 f(0)0，即 1a0，得 a1.设 x0， 1，则x1，0，f(x)f(x) 1 4 x 1 2 x2x4x，即当 x0，1时，f(x)2x 4x. (2)f(x)2x4x 2x1 2 2 1 4，其中 2 x1，2，所以当 2x1，即 x0 时，f(x)最大值为 0.
11、22.(本小题满分 12 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元，且甲厂在 2 月 份的利润是 14 万元，乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份 x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型： f(x)a1x2b1x6， g(x)a23xb2(a1， a2， b1， b2R). (1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润； (2)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)与 g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利 润的大小情况. 解 (1)依题意：由 f（1）6， f（2）14，有 a 1b10， 4a12b18， 解得 a14，b14，f(x)4x24x6. 由 g（1）6， g（2）8，有 3a 2b26， 9a2b28， 解得 a21 3，b25， g(x)1 33 x53x15. 所以甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)86 万元，乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)86 万元， 故有 f(5)g(5)，即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等. (2)作函数图象如下： 从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况： 当 x1 或 x5 时，有 f(x)g(x)； 当 1xg(x)； 当 5x12 时，有 f(x)g(x).