1、龙华区龙华区 20202021 学年学年九年级九年级上上期末学业质量监测期末学业质量监测数学数学试卷试卷 第一部分（选择题，共第一部分（选择题，共 30 分）分） 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的）正确的） 1. 若2 5xy ，则 x y 的值是（ ） A. 5 2 B. 2 5 C. 3 2 D. 2 3 2. 如图是一个机器的零件，则下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图
2、、左视图与俯视图均不相同 3. 关于反比例函数 y 4 x ，下列说法中正确的是（ ） A. 点（1，4）在该函数的图象上 B. 当 x 的值增大时，y的值也增大 C. 该函数图象在一、三象限 D. 若点 P（m，n） 在该函数的图象上，则点 Q（m，n） 也在该函数的图象上 4. 如图，已知直线 l1/l2/l3，直线 AC 分别与直线 l1，l2，l3，交于 A、B、C三点，直线 DF 分别与直线 l1， l2，l3交于 D、E、F三点，AC与 DF交于点 O，若 BC2AO2OB，OD1则 OF 的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，已知ABCV的三个顶点均在
3、以正方形组成的表格的格点上，则sin A的值是（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 6. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ） A. 4 9 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 7. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 2 13360 xx的两个实数根，那么这个三角形的周 长可能是（ ） A. 13 B. 18 C. 22 D. 26 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 任意两个矩形一定相似 D. 将抛物线 2 3yx向右平移
4、 2 个单位再向上平移 3个单位后得到的抛物线为 2 2yx 9. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的 墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的 大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长小明认为：隔离区的最大面积为 2 12m；小亮认为：隔离 区的面积可能为 2 9m，则（ ） A. 小明正确，小亮错误 B. 小明错误，小亮正确 C. 两人均正确 D. 两人均错误 10. 如图，已知 E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且ABBE，连接CE、DE，DE与BC交 于点 N， F 是C
5、E的中点， 连接AF交BC于点 M， 连接BF 有如下结论： =DN EN； ABFECDVV； 1 tan 3 CED；=2 CMFBEFM SSV 四边形 ，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共第二部分（非选择题，共 70 分）分） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分请把答案填在答题卷相应的表格里）分请把答案填在答题卷相应的表格里） 11. 已知关于 x一元二次方程 2 30 xxc没有实数根，即实数 c的取值范围是_ 12. 如图，小明为了测量树的高度 CD，他在与树根同一水平面上的 B 处放置一块平面镜，然后他站在 A 处 刚
6、好能从镜中看到树顶 D，已知 A、B、C 三点在同一直线上，且 AB2m，BC8m他的眼睛离地面的高 度 1.6m，则树的高度 CD为_m 13. 如图，已知抛物线 2 yaxbxc与直线y kxm 交于( 3, 1)A 、 (0,3)B 两点，则关于 x 的不等式 2 axbxckxm的解集是_ 14. 如图， ABC 中，D是 AC上一点，CBDA， 2 3 BC AC ，则 CD AD 的值是_ 15. 如图， 已知直线 1 yk x与双曲线 1 k y x 交于 A， B两点， 将线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 60后， 点 B 落在点 C处，双曲线 2 k y x 经过点 C
7、，则 1 2 k k 的值是_ 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，共小题，共 55分）分） 16 计算：2cos45|1 2|（ 1 3 ） 13 27 17. （1）解方程： 2 450 xx （2）已知二次函数的图象的顶点是1,4M ，且经过点3,2A ，请求出该二次函数的表达式 18. 深圳市生活垃圾分类管理条例9 月 1 日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合执法局网站上搜 索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准的图标，制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同） 现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 A B. C. D.
8、（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是_； （2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的 方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率 （这四张卡片分别用它们 的编号 A、B、C、D表示） 19. 如图， AB 是一座高为 60 （3+ 3） 米的办公大楼， 快递小哥在 AB上的 D处操作无人机进行快递业务 这 时在另一座楼房的 C处有人要寄快递，已知 C与 D在同一水平线上，从 A 看 C的仰角为 30，从 B看 C 的俯角为 45 （1）请求出 C与 D 之间的水平距离 CD； （2）已知
9、D处信号发射器的信号只能覆盖周围 150米范围，若无人机以 10m/秒的速度沿着 AC 方向飞到 C 处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号） 20. 某商场将一种每件成本价为 10 元的商品连续加价两次后，以每件 24 元作为定价售出已知第二次加价 的增长率比第一次加价的增长率多10% （1）求第一次加价的增长率； （2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出 100个如果销售单价每降低 1 元，销售量就 可以增加 10件那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知抛物线 yax22ax3a（a
10、0） （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （用含 a的代数式表示） （2）若 a0，且 P（m，y1）与 Q（5，y2）是该抛物线上两点，且 y1y2，求 m 的取值范围； （3）如图，当 a1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A、B两点，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C点 D 是直线 BC下方抛物线上的一个动点，AD 交 BC 于点 E，设点 E 的横坐标为 n，记 S BDE ABE S S ，当 n 为何 值时，S取得最大值？并求出 S 的最大值 22. （1）基础巩固：如图 1，已知正方形ABCD中，E是边AB的延长线上一点，过点 C作CFCE， 交AD于点
11、F求证：CECF （2）尝试应用：如图 2，已知正方形ABCD的边长为 1，M 是边AB所在直线上一点，N是边AD所在直 线上一点，且45MCN记AMx， MCN Sy V 请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 （3）应用拓广：如图 3，已知菱形ABCD是一个菱长为6km的森林生态保护区，60A ，沿保护区的 边缘AB、AD已修建好道路AP和AQ， 现要从保护区外新修建一条道路ECF， 将道路AP、AQ连通 已 知120ECF，求道路ECF的最短路程 龙华区龙华区 20202021 学年第一学期期末学业质量监测试卷学年第一学期期末学业质量监测试卷 九年级数学九年级数学 第一部分（选择题，共
12、第一部分（选择题，共 30 分）分） 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的）正确的） 1. 若2 5xy ，则 x y 的值是（ ） A. 5 2 B. 2 5 C. 3 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用比例的基本性质计算即可 【详解】2x=5y， x y = 5 2 ， 故选 A 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的性质并能进行灵活变形是解题的关键 2. 如图是一个机器的零件，则下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图
13、相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图均不相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的定义求解即可 【详解】解：该几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层的中间是一个矩形；俯视图是两个 同心圆 故选：A 【点睛】此题主要考查了画几何体的三视图，熟记三视图的定义是解答本题的关键 3. 关于反比例函数 y 4 x ，下列说法中正确的是（ ） A. 点（1，4）在该函数的图象上 B. 当 x 的值增大时，y的值也增大 C. 该函数的图象在一、三象限 D. 若点 P（m，n） 在该函数的图象上，则点 Q（m，n） 也在该函数的图象上 【答案】
14、D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答 【详解】反比例函数为 y= 4 x ， 当 x=1时，y=4， 点（1，4）在该函数的图象上，所以 A 错误； k=40，图象在二、四象限，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，所以 B、C错误； y= 4 x ， -4=xy， 点 P（m，n）在它的图象上， 4=mn， 又点 Q（m，n）的横纵坐标值的乘积m（n）=mn=4， 点 Q也在函数图象上，故 D 正确， 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的性质是解题的关键 4. 如图，已知直线 l1/l2/l3，直线 AC 分别与直线 l1，
15、l2，l3，交于 A、B、C三点，直线 DF 分别与直线 l1， l2，l3交于 D、E、F三点，AC与 DF交于点 O，若 BC2AO2OB，OD1则 OF 的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果 【详解】BC2AO2OB， OC3AO， 直线 l1l2l3， AOOD OCOF ， AOOD OCOF 1 3 ， OD1， OF3， 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段. 5. 如图，已知ABCV的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则sin A的值是（
16、） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像和勾股定理得出 AB2，AC2，BC2的值，进而得出ABC 是等腰直角三角形，即可得出结 果 【详解】 解： 设每个小正方形的边长为 1， 由网格构造直角三角形可得， AC2123210， AB212225， BC212225， AB2AC2BC2， ABC是等腰直角三角形， AC45 ， sinAsin45 2 2 故选：B 【点睛】本题考查了锐角三角函数由网格构造直角三角形，并求出 AB2，AC2，BC2的值是解决本题的关 键 6. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个
17、球均为红球的概率是（ ） A. 4 9 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率 【详解】解：画出树状图： 根据树状图可知：所有等可能的结果共有 6种，其中两次都摸到红球的有 2种， 两次都摸到红球的概率是 2 6 1 3 ； 故选：D 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解决本题的关键是画出树状图 7. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 2 13360 xx的两个实数根，那么这个三角形的周 长可能是（ ） A. 13 B. 18 C. 22 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】
18、 先利用因式分解法解方程，再由三角形三边关系判断出第三边的长度范围， 从而确定周长的范围， 即可得出答案 【详解】解：x213x360， （x4） （x9）0， 则 x40 或 x90， 解得 x14，x29， 则此三角形的第三边的范围为513c，故其周长的范围为18周长26 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形三边关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 任意两
19、个矩形一定相似 D. 将抛物线 2 3yx向右平移 2 个单位再向上平移 3个单位后得到的抛物线为 2 2yx 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理、轴对称图形和中心对称图形的概念、相似多边形的判定、抛物线的平移规 律判断即可 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题； B、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项说法是真命题； C、任意两个矩形对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项说法是假命题； D、将抛物线 y=x2-3 向右平移 2 个单位再向上平移 3 个单位后得到的抛物线为 y=（x-2）2，故本选项说法是 假命题； 故选：B 【点睛】本题
20、考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理 9. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的 墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的 大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长小明认为：隔离区的最大面积为 2 12m；小亮认为：隔离 区的面积可能为 2 9m，则（ ） A. 小明正确，小亮错误 B. 小明错误，小亮正确 C. 两人均正确 D. 两人均错误 【答案】B 【解析】 【分析】设隔离区靠近墙的长度为 x m（0 x5）
21、，隔离区的面积为 S m2，根据矩形的面积公式列出 S关于 x 的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质可得 S的最大值；令 S9，求得方程的解并根据 自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法 【详解】解：设隔离区靠近墙的长度为 x m（0 x5） ，隔离区的面积为 S m2，由题意得： 12 3 x Sx 2 1 4 3 xx， 对称轴为 x 4 6 1 2 3 ， 0 x5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随 x的增大而增大， 当 x5时，S有最大值： Smax 2 12535 54 5=+20= 333 9 35 3 12， 小明错误； 令 S9得：9 2 1 4 3 xx
22、， 解得：x19（舍） ，x23， x3 时，S9 隔离区的面积可能为 9m2 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 10. 如图，已知 E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且ABBE，连接CE、DE，DE与BC交 于点 N， F 是CE的中点， 连接AF交BC于点 M， 连接BF 有如下结论： =DN EN； ABFECDVV； 1 tan 3 CED；=2 CMFBEFM SSV 四边形 ，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 （1）证明NCDNBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得
23、到 DNEN，判断；根据两 边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断；FGAE 于 G，根据等腰直角三角形的性质、正切的 定义求出 tanFAG，根据相似三角形的性质判断；根据三角形的面积公式计算，判断 【详解】解：四边形 ABCD 为正方形，ABBE， ABCDBE，ABCD， NCDNBE， NDCD NEBE 1， DNEN，故结论正确； CBE90，BCBE，F是 CE 的中点， BCE45，BF 1 2 CE 2 2 BE，FBFE，BFEC， DCE90+45135，FBE45， ABF135， ABFECD， 2 2 DC CE ， 2 2 BF AB ， DCBF CEAB
24、， ABFECD，故结论正确； 作 FGAE于 G，则 FGBGGE， 1 3 FG AG ， tanFAG 1 3 FG AG ， ABFECD， CEDFAG， tanCED 1 3 ，故结论正确； tanFAG 1 3 ， 1 3 BM AB ， 1 2 BM MC ， SFBM 1 2 SFCM， F是 CE 的中点， SFBCSFBE， S四边形BEFM2SCMF，故结论正确； 故选：D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质 定理、三角形的面积公式是解题的关键 第二部分（非选择题，共第二部分（非选择题，共 70 分）分） 二、填
25、空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分请把答案填在答题卷相应的表格里）分请把答案填在答题卷相应的表格里） 11. 已知关于 x 的一元二次方程 2 30 xxc没有实数根，即实数 c 的取值范围是_ 【答案】 9 4 c 【解析】 【分析】根据题意可知，判别式，求解即可 【详解】解：方程没有实数根， 2 340cV， 解得 9 4 c 故答案为 9 4 c 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握相关关系是解题的关键 12. 如图，小明为了测量树的高度 CD，他在与树根同一水平面上的 B 处放置一块平面镜，然后他站在 A 处 刚好能从镜中看到树顶 D，
26、已知 A、B、C 三点在同一直线上，且 AB2m，BC8m他的眼睛离地面的高 度 1.6m，则树的高度 CD为_m 【答案】6.4 【解析】 【分析】利用EABDCB，可得 EAAB DCBC ，可求 DC6.4即可 【详解】解：由题意可得：EBADBC，EABDCB， 故EABDCB， 则 EAAB DCBC ， AB2m，BC8m，AE1.6m， 1.62 8DC ， 解得：DC6.4m， 故答案为：6.4 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键 13. 如图，已知抛物线 2 yaxbxc与直线y kxm 交于( 3, 1)A 、 (0,3)B 两点，则
27、关于 x 的不等式 2 axbxckxm的解集是_ 【答案】30 x 【解析】 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的 x的取值范围即可 【详解】解：抛物线 y 2 axbxc与直线 ykx m交于 A（3，1） ，B（0，3）两点， 不等式 2 axbxckxm的解集是3x0 故答案为：3x0 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想 14. 如图， ABC 中，D是 AC上一点，CBDA， 2 3 BC AC ，则 CD AD 的值是_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 【详解】CBDA，CC， ABCBDC， 2
28、 3 BCCD ACBC ， 设 CD2x，BC3x， 2 3 BC AC ， AC 9 2 x， ADACCD 5 2 x， 24 5 5 2 CDx AD x ， 故答案为： 4 5 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：有两角对应相等的两三角形相似，相似三角形的对 应边成比例 15. 如图， 已知直线 1 yk x与双曲线 1 k y x 交于 A， B两点， 将线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 60后， 点 B 落在点 C处，双曲线 2 k y x 经过点 C，则 1 2 k k 的值是_ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】连接 OC、BC，作 BMx轴于 M，CNx
29、轴于 N，根据旋转的性质得到ABC 是等边三角形，根 据反比例函数和正比例函数的对称性得出 OA=OB，即可得出 COAB，证得BOMOCN，得到 2 1 () 3 BOM CON SOB SOC ，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求解 【详解】解：连接 OC、BC，作 BMx轴于 M，CNx轴于 N， AB=AC，BAC=60 ， ABC是等边三角形， 直线 1 yk x与双曲线 1 k y x 交于 A，B两点， OA=OB， COAB，BCO= 1 2 ACB=30 ， 3 tan30 3 OB OC ， BOC=90 ， BOM+CON=90 ， BOM+MBO=90 ， CON=
30、MBO， BMO=ONC=90 ， BOMOCN， 2 1 () 3 BOM CON SOB SOC ， 11 11 | 22 BOM Skk ， 22 11 | 22 CON Skk ， 1 2 1 1 2 1 3 2 k k ， 1 2 1 3 k k ， 故答案为： 1 3 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称 性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数 k的几何意义，证得 2 1 () 3 BOM CON SOB SOC 是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，共小题，共 55分）分） 16. 计算：2cos
31、45|1 2|（ 1 3 ） 13 27 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解 【详解】2cos45|1 2|（ 1 3 ） 13 27 2 221 33 2 22 1 3 3 1 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的定义，解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题 17. （1）解方程： 2 450 xx （2）已知二次函数的图象的顶点是1,4M ，且经过点3,2A ，请求出该二次函数的表达式 【答案】 （1） 12 5,1xx ； （2） 2 17 22 yxx 【解析】 【分析】
32、（1）利用十字相乘法解方程即可得答案； （2）根据顶点坐标设二次函数解析式为 2 (1)4ya x，把点3,2A 代入求出 a 值即可得答案 【详解】 （1） 2 450 xx 510 xx 50 x或10 x 12 5,1xx （2）抛物线的顶点为1,4M ， 设抛物线为 2 (1)4ya x， 经过点3,2A ， 2 2( 3 1)4a ， 解得： 1 2 a ， 所求的二次函数表达式为： 2 1 (1)4 2 yx ，即 2 17 22 yxx 【点睛】本题考查解一元二次方程、二次函数图象上的点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟 练掌握一元二次方程点解法及二次函数的性质是解题关键
33、 18. 深圳市生活垃圾分类管理条例9 月 1 日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合执法局网站上搜 索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准图标，制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同） 现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 A. B. C. D. （1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是_； （2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的 方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率 （这四张卡片分别用它们 的编号 A、B、C、D表示） 【答案】
34、 （1） 1 4 ； （2） 1 6 【解析】 【分析】 （1）根据一共有四张卡片，“可回收物”的卡片有一张，由概率公式求解即可； （2）利用列表法求出所有的结果数和满足条件的结果数，由概率公式求解即可 【详解】解： （1）由题意得：小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率 P= 1 4 （2）解：列表得 A B C D A ,A B ,A C ,A D B ,B A ,B C ,B D C ,C A ,C B ,C D D ,D A ,D B ,D C 结果共有 12种可能，其中符合题意的有 2 种， 21 126 P 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练
35、掌握相关知识进行求解 19. 如图， AB 是一座高为 60 （3+ 3） 米的办公大楼， 快递小哥在 AB上的 D处操作无人机进行快递业务 这 时在另一座楼房的 C处有人要寄快递，已知 C与 D在同一水平线上，从 A 看 C的仰角为 30，从 B看 C 的俯角为 45 （1）请求出 C与 D 之间的水平距离 CD； （2）已知 D处信号发射器的信号只能覆盖周围 150米范围，若无人机以 10m/秒的速度沿着 AC 方向飞到 C 处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号） 【答案】 （1）C 与 D 之间的水平距离 CD 为 180m； （2）当无人机飞行
36、（3 3+12）秒后会出现接收不到信 号的危险 【解析】 【分析】 （1）设 ADxm，利用三角函数表示3,CDxBD再利用60 33AB 列方程，解方程可 得答案； （2）过点 D作 DEAC于点 E，设无人机飞到 F处时出现接收不到信号的危险，再利用三角函数求解 DE 90m，AE30 3m，再利用勾股定理求解 22 120EFDFDE （m） ，从而可得答案 【详解】解： （1）由题意得，DAC60，DBC45，ADC90， 设 ADxm， RtADC中，tanDAC, CD AD CDADtanDACxtan603x， 在 RtBCD 中， BCD90DBC45DBC， BDCD 3x
37、， ABAD+BD， 360 33xx， 解得60 3x ， CD 3x180（m） ， 答：C与 D 之间的水平距离 CD 为 180m； （2）过点 D作 DEAC于点 E， 设无人机飞到 F处时出现接收不到信号的危险， 连接 DF，则 DF150m， 在 RtADE 中， sinDAC DE AD ，cosDAC AE AD ， DEADsinDAC60 3gsin6090（m） ， AEADcosDAC60 3gcos6030 3（m） ， 在 RtDEF 中，根据勾股定理，得 2222 15090120EFDFDE （m） ， 30 3 120AFAEEFm， 30 3120 3 3
38、12 10 t 秒 答：当无人机飞行3 3+12秒后会出现接收不到信号的危险 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数建立边与角之间的 关系是解题的关键 20. 某商场将一种每件成本价为 10 元的商品连续加价两次后，以每件 24 元作为定价售出已知第二次加价 的增长率比第一次加价的增长率多10% （1）求第一次加价的增长率； （2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出 100个如果销售单价每降低 1 元，销售量就 可以增加 10件那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1） 50%； （2）
39、当销售单价为 22 元/个时， 该商场每天销售该商品获得的利润最大， 最大利润是 1440 元 【解析】 【分析】 （1）设第一次加价的增长率为 x，根据题意列方程求解即可； （2）当销售单价为 m元/个时，获得的利润为 y元，根据题意求得 y与 m 的关系，再根据二次函数的性质 求解即可 【详解】 （1）解：设第一次加价的增长率为 x，由题意得 10 1110%24xx 解得： 12 13 0.550%, 5 xx （不合题意，舍去） 答：第一次加价的增长率为50% （2）解：当销售单价为 m元/个时，获得的利润为 y元，由题意得 10100 10 24ymm 2 10221440m 100
40、 当22m时，y 可取得最大值为 1440 答：当销售单价为 22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是 1440 元 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的性质，理解题意找到等量关系列出方程并熟练掌握 二次函数的性质是解题的关键 21. 已知抛物线 yax22ax3a（a0） （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （用含 a的代数式表示） （2）若 a0，且 P（m，y1）与 Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且 y1y2，求 m的取值范围； （3）如图，当 a1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A、B两点，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C
41、点 D 是直线 BC下方抛物线上的一个动点，AD 交 BC 于点 E，设点 E 的横坐标为 n，记 S BDE ABE S S ，当 n 为何 值时，S取得最大值？并求出 S 的最大值 【答案】 （1）对称轴 x1，顶点坐标（1，4a） ； （2）m3 或 m5； （3）当 n 3 5 时，S 取得最大值， 最大值为 9 16 【解析】 【分析】 （1）利用配方法求解即可 （2）分两种情形：点 P 在对称轴的右侧或左侧，分别构建不等式求解即可 （3）过点 A作 AF/y 轴交 BC 于 F，过点 D作 DHx 轴于 H，交 y轴于 G则DEGAEF，根据 BDE ABE SDEDG S SAE
42、AF ，构建二次函数，利用二次函数的性质，求解即可 详解】解： （1）yax22ax3aa（x22x+11）3aa（x1）24a， 顶点坐标（1，4a） ，对称轴 x1 （2）a0，抛物线的对称轴 x1， 当 x1时，y随 x的值的增大而增大， 当点 P（m，y1）在对称轴的右侧， y1y2， m5 当 P（m，y1）在对称轴的左侧时，即 m1 时， 作点 P关于对称轴的对称点 Q（2m，y1） ， y1y2， 2m5， 解得 m3， 综上所述，m的取值范围为 m3或 m5 （3）a1 时，抛物线 yx22x3， 由 y0，得 x22x30，解得 x3 或1， A（1，0） ，B（3，0） ，
43、 由 x0，得到 y3， C（0，3） ， 直线 BC的解析式为 yx3， 过点 A作 AF/y 轴交 BC于 F，过点 D作 DHx轴于 H，交 y轴于 G则DEGAEF， BDE ABE SDEDG S SAEAF ， A（1，0） ， F（1，4） ， AF4， 设 D（x，x22x3） ，则 G（x，x3） ， DGx3（x22x3）x2+3x， 2 2 3139 () 44216 xx Sx ， 1 0 4 ， x 3 2 时，S 取得最大值为 9 16 ， 此时 D为（ 3 2 ，15 4 ） ， 直线 AD的解析式为 y 3 2 x 3 2 ， 由 33 22 3 yx yx ，
44、解得 3 5 4 5 x y ， n 3 5 ， 故当 n 3 5 时，S 取得最大值，最大值为 9 16 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质 等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题 22. （1）基础巩固：如图 1，已知正方形ABCD中，E是边AB的延长线上一点，过点 C作CFCE， 交AD于点 F求证：CECF （2）尝试应用：如图 2，已知正方形ABCD的边长为 1，M 是边AB所在直线上一点，N是边AD所在直 线上一点，且45MCN记AMx， MCN Sy V 请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 （3）应
45、用拓广：如图 3，已知菱形ABCD是一个菱长为6km的森林生态保护区，60A ，沿保护区的 边缘AB、AD已修建好道路AP和AQ， 现要从保护区外新修建一条道路ECF， 将道路AP、AQ连通 已 知120ECF，求道路ECF的最短路程 【答案】 （1）见解析； （2） 2 22 42 xx y x 或 2 22 42 xx y x ； （3）6 3km 【解析】 【分析】 （1）证明BCEDCF，根据全等三角形的性质定理即可得出 CECF； （2）分别讨论当点 M 在线段AB上和点 M 在线段AB的延长线上和点 M 在线段BA的延长线上，利用相 似三角形的性质和判定证明KCNKACVV得出 C
46、K 的值，全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式 解答即可； （3）以 CD 为边作DCG120 ，交射线 AP 于点 G，过点 C 作 CHPA于点 H，利用菱形的性质和全等 三角形的判定和性质解答即可 【详解】 （1）证明：四边形ABCD是正方形 ,90CDBCBCDDABC 90DCFBCF 90ECBBCF ECBDCF 90CBED BCEDCF CECF （2）解：当点 M 在线段AB上时，如图 1， 过点 C作CKAN，交AN于点 K，连接AC，由（1）得 ,CKCM KDBM 45MCN，45NCK 四边形ABCD是正方形， 45KACNCK CKNAKC KCNKACVV
47、KCKN KAKC ，即 2 KCKA KN 2222 (1)122CKCMxxx KD AD 112KAxx 2 22 2 xx KN x ,45CKCM CNCNMCNNCK KCNMCNVV 22 112222 1 22242 MCNKCN xxxx ySSKNCD xx VV 当点 M 在线段AB的延长线上时，同理得 2 22 42 xx y x 当点 M 在线段BA的延长线上时，同理得 2 22 42 xx y x （3）以CD为一边作120DCG，交射线AP于点 G，过点 C 作CHPA于点 H，如图 120ECF DCFECG 四边形ABCD是菱形 ,/ /CDCB CDAB 60A 60 ,180120FDCAADCA 36060CGEAADCDCG /CBAD 60CBGA CBGV等边三角形 CGCB CDFCGEV CECF 道路ECF的长度2CE 当CE最短，即当CE CH时，道路ECF的长度最短 60 ,6CBGCB 3 3CH 道路ECF的最短路程是6 3km 【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形和全等三角形的判定和性质以及菱形的性质解 答