1、第十二章 全等三角形一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的本题共10个小题，每小题3分共30分）1如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知ABC=ACB，补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD的是（ ）AADAEBBECDCOBOCDBDCCEB2如图，是上一点，交于点，若，则的长是( )A0.5B1C1.5D23如图，在中，平分，则点到的距离等于（ ）A3B4C5D94如图，在中，点为的中点，延长至点，使，则的面积是（ ） ABC8D5已知ABCDEF，若ABC的周长为30cm，AB8cm，BC12cm，则DE、DF的长度分别是（
2、）A8cm和9cmB8cm和10cmC10cm和12cmD8cm和12cm6如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，该作法的依据是ASSSBSASCASADAAS7如图，ABD和ACE分别是等边三角形，ABAC，下列结论中正确有（ ）个.DC=BE，BOD=60，BDO=CEO，AO平分DOE，AO平分BACA2B3C4D58下列命题中，是假命题的是（ ）A两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B两个锐角对应相等的两个直角三角形全等C斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等D斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等9如图，在RtABC中，C90，D是AB的中点，E在边AC上，若D与C关于BE
3、成轴对称，则下列结论：A30；ABE是等腰三角形；点B到CED的两边距离相等其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个10如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；其中正确的结论为（ ）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本题共8个小题，每小题3分共24分）11如图，已知，判定，需添加的条件是_（只需填一个条件）12如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_13如图，已知1=2，AC=AD，请增加一个条件，使ABCAED，你添加的条件是_（只要写出一个答案）14如图, ，分别平分与，则与之间的距离是_ 15如图，在RtABC中，C90，A30，AC3
4、，则斜边AB_16如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论： AE=BD；AG =BF；FGBE；CF=CG.其中正确的结论为_. 17如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则1+2_18如图，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则当与全等时，点的运动速度为_ 三、解答题（本大题共7小题，19、20小题每小题6分，21、22每小题8分，23、24每小题9分，25、26每小题10分，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19已知：如图，点A
5、，D，B，E在同一条直线上，ABC=EDF，AD=BE，BC=DF. 求证：AC=EF.20如图，为上一点，.求证：.21如图所示，是上一点，与交于点求证：22如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理23如图，中，为中线，求中线的取值范围24如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点求证:是的中点证明:(已知)，_ (两直线平行，内错角相等)，是边的中点，(_ ），(_ ），在和中，( ) ， (全等三角形的对应边相等)，是的中点25在中，直线经过点C，且于D，于E，（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，显然有：（不必证明）；（2）当直线绕点C旋转到
6、图2的位置时，求证：；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系26如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点（正多边形的各边相等，各个内角也相等）如图1，求证：ABEADC；探究：如图1，BOD= ；如图2，BOD= ；如图3，BOD= 第十二章 全等三角形一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的本题共10个小题，每小题3分共30分）1如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知ABC=ACB，补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD的是（ ）AADAE
7、BBECDCOBOCDBDCCEB【答案】B【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定ABEACD，从而可以解答本题【详解】解：ABC=ACB，AB=AC，BAE=CAD，补充条件AD=AE时，ABEACD（SAS），故选项A不符合题意；补充条件BE=CD，无法判断ABEACD，故选项B符合题意；补充条件OB=OC时，则OBC=OCB，故ABE=ACD，则ABEACD（ASA），故选项C不符合题意；补充条件BDC=CEB时，则AEB=ADC，则ABEACD（AAS），故选项D不符合题意；故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答
8、本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答2如图，是上一点，交于点，若，则的长是( )A0.5B1C1.5D2【答案】B【分析】根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长【详解】，在和中，.故选B【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键3如图，在中，平分，则点到的距离等于（ ）A3B4C5D9【答案】B【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD【详解】解：BC=12，BD=2CD，CD=4，由角平分线的性质，
9、得点D到AB的距离等于CD=4故选：B【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键4如图，在中，点为的中点，延长至点，使，则的面积是（ ） ABC8D【答案】D【分析】由直角三角形的性质可求AC=8，BC=AB=4，可求ABC的面积，由“SAS”可证ADBEDC，可得SADB=SEDC，即可求解【详解】解：B=90，ACB=30，AB=4，AC=8，BC=AB=4，SABC=ABBC=8，点D为BC的中点，CD=BD，在ADB和EDC中，ADBEDC（SAS），SADB=SEDC，SABC=SACE=8，故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质
10、，直角三角形的性质，证明ADBEDC是本题的关键5已知ABCDEF，若ABC的周长为30cm，AB8cm，BC12cm，则DE、DF的长度分别是（ ）A8cm和9cmB8cm和10cmC10cm和12cmD8cm和12cm【答案】B【分析】根据三角形的周长为30cm，可计算出AC的长，再利用全等三角形的性质可得DE、DF的长度【详解】AB8cm，BC12cm，AC3081210（cm），ABCDEF，DEAB8cm，DFAC10cm，故选：B【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等6如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，该作法的依据是ASSSBSASCASADAA
11、S【答案】A【分析】根据题意易知：OB=OA，BC=AC，OC=OC，因此符合SSS的条件【详解】解：如图解：连接BC，AC，由作图知：在OAC和OBC中， OACOBC（SSS），故选A【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，要清楚作图时作出的线段OB与OA、BC与AC是相等的7如图，ABD和ACE分别是等边三角形，ABAC，下列结论中正确有（ ）个.DC=BE，BOD=60，BDO=CEO，AO平分DOE，AO平分BACA2B3C4D5【答案】B【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，ADB=ABD=60，DAB=EAC=60，求出DAC=BAE，根据SAS证DACBAE，推
12、出BE=DC，ADC=ABE，根据三角形的内角和定理求出BOD=180-ODB-DBA-ABE=60，根据等边三角形性质得出ADB=AEC=60，但ADCAEB，过点A作AFDC，AHBE，根据三角形全等得AF=AH，则点A 到角两边距离相等，故点A在角角平分线上，根据以上推出的结论即可得出答案【详解】ABD与AEC都是等边三角形，AD=AB,AE=AC,ADB=ABD=60,DAB=EAC=60，DAB+BAC=EAC+BAC，DAC=BAE，在DAC和BAE中，DACBAE(SAS),BE=DC，ADC=ABE，BOD=180ODBDBAABE=180ODB60ADC=120(ODB+AD
13、C)=12060=60BOD=60，正确；正确；ABD与AEC都是等边三角形，ADB=AEC=60，但根据已知不能推出ADC=AEB，说BDO=CEO错误，错误；过点A作AFDC，AHBE，分别交DC与BE与点F、H.DACBAE，AF=AH，则点A在DOE的角平分线上，OA平分DOE，正确；根据已知条件不能证明OA平分BAC，错误.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.8下列命题中，是假命题的是（ ）A两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B两个锐角对应相等的两个直角三角形全等C斜边和一条
14、直角边对应相等的两个直角三角形全等D斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等【答案】B【分析】根据直角三角形的判定定理可直接进行排除选项【详解】A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“SAS”判定方法，故是真命题；B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不全等，因为没有对应边的相等，故是假命题；C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“HL”判定方法，故是真命题；D、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，符合“ASA”或“AAS”的判定方法，故是真命题；故选B【点睛】本题主要考查直角三角形的判定定理，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键9如图，在RtABC中，C
15、90，D是AB的中点，E在边AC上，若D与C关于BE成轴对称，则下列结论：A30；ABE是等腰三角形；点B到CED的两边距离相等其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【答案】D【解析】【分析】根据题意需要证明RtBCERtBDE, RtEDARtEDB，即可解答【详解】D与C关于BE成轴对称RtBCERtBDE（SSS）BCEBDEEDB=EDA=90，BD=BC又D是AB的中点AD=DBRtEDARtEDB(HL)A30（直角三角形含30角，BC= AB）ABE是等腰三角形点B到CED的两边距离相等故选D【点睛】此题考查全等三角形的判定和直角三角形的性质，解题关键在于利用全等三角形的判定求
16、解10如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；其中正确的结论为（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】在BC上取BF=BD，通过SAS证BDPBFP，ASA证CPFCPE，作PGAB于G，PHAC于H通过AAS证DPGEPH即可判断各结论【详解】解：ABC的两条角平分线BE和CD交于P，BAC=60PBC+PCB= (ABC+ACB)60，BPC=180-60=120，故正确；BPD=60，在BC上取BF=BD，BP平分ABC，ABP=CBP，在BDP和BFP中，BDPBFP（SAS），BPD=BPF=60，BPC=120，FPC=EPC=60，C
17、PFCPE（ASA），CE=CF，BC=BD+CE，故正确；作PGAB于G，PHAC于H，BAC=60，GPH=120，DPE=BPC=120，DPG=EPH，DPGEPH（AAS）PG=PH，PD=PE，故正确；AD-DG=AE+EH，AD-AE=2DG，故不正确；AP是角平分线，P到AB、AC的距离相等，SABP：SACP=AB：AC，故正确故选：D【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键二、填空题（本题共8个小题，每小题3分共24分）11如图，已知，判定，需添加的条件是_（只需填一个条件）【答案】【解析】若，则，故答案为：AD=B
18、C（答案不唯一）.12如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_【答案】AB=AC【详解】解：还需添加条件AB=ACADBC于D，ADB=ADC=90在RtABD和RtACD中，AB=AC，AD=AD，RtABDRtACD（HL）故答案为AB=AC13如图，已知1=2，AC=AD，请增加一个条件，使ABCAED，你添加的条件是_（只要写出一个答案）【答案】AE=AB（答案不唯一）【分析】添加条件AB=AE，由等式的性质得到BAC=EAD，再利用SAS证明BACEAD【详解】添加AE=AB，1=2，1+EAB=2+EAB，BAC=EAD，在BCA和EDA中， ，BACEAD（SAS）故
19、答案为：AB=AE【点睛】考查了三角形全等的判定方法，解题关键是判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL14如图, ，分别平分与，则与之间的距离是_ 【答案】8【分析】过点G作GFBC于F，交AD于E，根据角平分线的性质得到GF=GH=5，GE=GH=5，计算即可【详解】解：过点G作GFBC于F，交AD于E，ADBC，GFBC，GEAD，AG是BAD的平分线，GEAD，GHAB，GE=GH=4，BG是ABC的平分线，FGBC，GHAB，GF=GE=4，EF=GF+GE=8，故答案为：8【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题
20、的关键15如图，在RtABC中，C90，A30，AC3，则斜边AB_【答案】2 【解析】C=90，A=30，AB=2BC，AB2=BC2+AC2 ,又AC=3，AB=2 .16如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论： AE=BD；AG =BF；FGBE；CF=CG.其中正确的结论为_. 【答案】【分析】首先由SAS判定BCDACE，即可证得正确；又由全等三角形的对应角相等，得到CBD=CAE，根据ASA，证得BCFACG，即可得到正确，同理证得CF=CG，则正确，可得FCE=60，可得CFG是等边三角形，
21、则可得CFG=FCB，则FGBE，可得正确【详解】解：ABC和DCE均是等边三角形，BC=AC，CD=CE，ACB=ECD=60，ACB+ACD=ACD+ECD，ACD=60，BCDACE（SAS），AE=BD，（正确）CBD=CAE，BCA=ACG=60，AC=BC，BCFACG（ASA），AG=BF，（正确）CF=CG（正确），且ACD=60CFG是等边三角形，CFG=FCB=60，FGBE，（正确）正确的有【点睛】本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，应用数形结合思想17如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则1+2_【答案】135【分析】直接
22、利用网格证明ABCCDE，得出对应角1=3，进而得出答案【详解】解：如图所示：可知：AB=CD=3，BC=DE=1，B=D=90，ABCCDE（SAS），1=3，则1+2=2+3=135故答案为：135【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键18如图，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则当与全等时，点的运动速度为_ 【答案】1或【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：AP=BP，AC=BQ，AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可【详解】解：设点Q的运动速度是x cm/s，CAB=DBA，ACP与B
23、PQ全等，有两种情况：AP=BP，AC=BQ，则1t=4-1t，解得：t=2，则3=2x，解得：x=；AP=BQ，AC=BP，则1t=tx，4-1t=3，解得：t=1，x=1，综上所述，点的运动速度为1或；故答案为：1或【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键三、解答题（本大题共7小题，19、20小题每小题6分，21、22每小题8分，23、24每小题9分，25、26每小题10分，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，ABC=EDF，AD=BE，BC=DF. 求证：AC=EF.【答案】证明
24、见解析【分析】结合图形可得AD+BD=BE+BD，得出AB=ED，再利用全等三角形的判定定理即可证明，从而得出结论【详解】解： 在和中 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，熟记定理和性质是解题的关键20如图，为上一点，.求证：.【答案】详见解析【分析】先由平行线的性质得，再由角的和与差得，根据定理可得，最后根据三角形全等的性质即可得.【详解】在与中，.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键.21如图所示，是上一点，与交于点求证：【答案】证明见解析【分析】利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；【详解】证明：在和中，（全
25、等三角形对应角相等）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键22如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理【答案】见解析.【解析】【分析】利用基本作图（作已知角的角平分线）作出OC，同时得到OC，然后根据“SSS“判断ODPOEP得到DOP=EOP，再根据等角的补角相等得到AOC=BOC【详解】解：如图，射线或为所作通过证明得到，然后根据等角的补角相等得到【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线
26、的垂线）23如图，中，为中线，求中线的取值范围【答案】【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，然后根据三角形三条边的关系求解即可【详解】解：延长至点，使，连接，是中线，在和中，在中，【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键24如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点求证:是的中点证明:(已知)，_ (两直线平行，内错角相等)，是边的中点，(_ ），(_ ），在和中，( ) ， (全等三角形的对应边相等)，是的中点【答案】；线段中点的
27、定义；【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证【详解】证明:(已知)，(两直线平行，内错角相等)，是边的中点，(线段中点的定义)，在和中，(全等三角形的对应边相等)，是的中点【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键25在中，直线经过点C，且于D，于E，（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，显然有：（不必证明）；（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）
28、由于ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，由此即可证明ADCCEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，由此仍然可以证明ADCCEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然ADCCEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD【详解】解：（1）ABC中，ACB=90，ACD+BCE=90，又直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90ACD+DAC=90，BCE=DAC，
29、在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），CD=BE，CE=AD，DE=CD+CE=AD+BE；（2）ABC中，ACB=90，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90，ACD+BCE=BCE+CBE=90，而AC=BC，ADCCEB，CD=BE，CE=AD，DE=CE-CD=AD-BE；（3）如图3，ABC中，ACB=90，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90，ACD+BCE=BCE+CBE=90，ACD=CBE，AC=BC，ADCCEB，CD=BE，CE=AD，DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-
30、AD【点睛】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高26如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点（正多边形的各边相等，各个内角也相等）如图1，求证：ABEADC；探究：如图1，BOD= ；如图2，BOD= ；如图3，BOD= 【答案】见解析；60；90；108【分析】根据等边三角形的性质可以得出ABEADC根据ABEADC可得CDA=EBA，根据三角形内角和可得BOD=BAD，从而求解【详解】解：证明：如图，ABD和AEC是等边三角，AD=AB，AE=AC，DAB=EAC=ABD=ADB=60，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE在ABE和ADC中，ABEADC（SAS）；，AFD=OFB，BOD=BAD=60；如图， 四边形和四边形是正方形，即，在和中，AHB=OHD，BOD=BAD=90；如图，五边形和五边形是正五边形，在和中，AMB=OMD，BOD=BAD=（5-2）1805=108【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，正五边形的性质的运用及正边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性质证明三角形全等是关键