1、思维特训(五) 配方法的妙用1配方法是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法，如能灵活运用，可以得到多种配方形式：a 2b 2(ab) 22ab( ab) 22ab；a 2abb 2( ab) 2ab(ab) 23ab ；a 2b 2c 2abbcac (ab) 2 (bc) 2( ca) 2(a b2)2 ( 32b)2 122配方的方法技巧：配方的目标是出现完全平方式，有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式常用以下三种形式：(1)由 a2 b2 配上 2ab，(2) 由 2ab 配上a2b 2，(3)由 a22ab 配上 b2.同一个
2、式子可以有不同的配方法和配方结果类型一 完全平方式1若 4x2kxyy 2 表示一个完全平方式，则 k 的值为( )A4 B4 C8 D82已知 9x218(n1)x 18n 是完全平方式，求常数 n 的值3若 x26x10，求 x2 1 的值1x24已知 a，b，c 为整数，且满足 a2b 2c 23ab3b2c，求( )abc的值1a 1b 1c类型二 最大(小)值5已知多项式 pa 22b 22a4b5，则 p 的最小值是( )A1 B2 C3 D46多项式x 2 x 取得最大值时，x 的值为( )12 14A B C. D.14 12 12 147无论 x 取何值，二次三项式3x 21
3、2x 11 的值都不超过 _8对关于 x 的二次三项式 x24x 9 进行配方得 x24x9(xm) 2n.(1)求 m，n 的值；(2)当 x 为何值时，x 24x 9 有最小值？最小值是多少？9先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式 y24y 8 的最小值解：y 24y8y 24y44(y2) 24.(y2) 20，(y 2) 244，y 24y8 的最小值是 4.(1)求代数式 m2m4 的最小值；(2)求代数式 4x 22x 的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙( 墙长 15 m)的空地上建一个长方形花园 ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为 20 m 的栅
4、栏围成如图 5S1，设 ABx m，请问：当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？图 5S1类型三 非负数的和为 010已知 a，b，c 满足 a22b7，b 22c1，c 26a 17，则 abc 的值等于( )A2 B3 C4 D511已知 4x24x 1 0，求 xy 的值3y 212若 a，b，c 是ABC 的三边长，且 a2b 2c 2506a8b10c，判断ABC 的形状13已知代数式(xa)( xb) (xb)(cx )(ax)(cx)是一个完全平方式，试问以a，b，c 为三边长的三角形是什么三角形？详解详析1B 解析 若 4x2kxyy 2 表示一个完全平方式，则可以
5、配成(2xy) 2 的形式，则k4.2解：根据题意，得 18(n 1)23 .化简，得 n1 .两边平方，得18n 2nn22n12n，解得 n2 .33解：x 26x 10，x 6 0，1xx 6，1x两边平方，得 x22 x 36，1x 1x2x 2 36234，1x2x 2 134133.1x24解：由 a，b，c 均为整数，a 2b 2c 23ab3b2c，得 a2b 2c 23ab3b2c1，4a 24b 24c 2124ab12b8c4，(4a24abb 2)(3 b212b12) (4c 28c 4) 0，(2ab) 23( b24b4)4(c 22c 1) 0，(2ab) 23
6、( b2) 24(c 1) 20，2ab0，b20，c10，解得 a1，b2，c1， .(1a 1b 1c)abc2545B 解析 pa 22b 22 a4b5( a1) 22( b1) 222.故选 B.6A 解析 x 2 x (x )2 ，12 14 14 516(x )20，(x )2 ，14 14 516 516当 x 时，多项式x 2 x 取得最大值14 12 14故选 A.71 解析 3x 212x 113( x24x4) 12113(x2) 211，无论x 取何值，二次三项式3x 2 12x11 的值都不超过 1.8解：(1)x 24x9( xm )2nx 22mxm 2n，2m
7、4，m 2n9，解得 m2，n5.(2)m2，n 5，x 24x9(x m) 2n(x2) 25，当 x2 时，x 24x 9 有最小值 ，最小值是 5.9解：(1)m 2 m4(m )2 .12 154(m )20， ( m )2 ，12 12 154 154则代数式 m2m4 的最小值是 .154(2)4x 22x( x1) 25.(x 1)20，(x 1) 255，则代数式 4x 22x 的最大值为 5.(3)由题意，得花园的面积是 x(202x) 2x 220x，2x 220x2(x 5) 250，2(x5) 20，2(x5) 25050，2x 220x的最大值是 50，此时 x5，则
8、当 x5 时，花园的面积最大，最大面积是 50 m2.10B 解析 由 a22b7，b 22c1，c 26a17 得a22bb 22c c 26a11 0，(a3) 2(b1) 2(c 1) 20，a3，b1，c1，abc3.故选 B.11解：4x 24x 1 0，即(2x1) 2 0.3y 2 3y 2(2x 1)20， 0，3y 22x10 且 0， x ，y ，3y 212 23则 xy .12 23 7612解：由已知条件可把原式变形为(a3) 2(b4) 2(c5) 20.(a3) 20，( b4) 20，(c5) 20，a30，b40，c50，即 a3，b4，c5，故ABC 为直角三角形13解：原式x 2( ab)x abx 2(bc) xbcx 2(ac)xac3x 2(2a2b2c )x abbc ac，结果为完全平方式，即 (2 a2b2c) 243(abbcac)0，a 2b 2c 2abac bc 0，即 2a22b 22c 22ab2ac 2bc0，(ab) 2(ac) 2( bc )20，即 abc，则以 a，b，c 为三边长的三角形是等边三角形