1、思维特训(十) 几何动态问题中的相似1我们以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称为动态几何问题随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现的图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题2点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的数量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究3解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法” ，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论类比发现法大致
2、可遵循如下步骤：(1)根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；(2)结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识( 常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论；(3)类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质1如图 10S1，AB90，AB7，AD2， BC3，在边 AB 上取点 P，使得PAD 与 PBC 相似，则这样的点 P 共有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个图 10S12如图 10S2，在ABC 中，AB 7，AC ，BC 8，线段 BC 所在直线以每秒62 个单位长度的速度沿 BA 方向运动，并始终保持与原位置平行该直线与 AB，AC 分别交于点 M，N ，记 x
3、 秒时，该直线在ABC 内的部分的长度为 y，试写出 y 关于 x 的函数表达式：_图 10S23已知：如图 10S3，在ABCD 中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.将ACD沿 AC 方向匀速平移得到PNM ，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1 cm/s；当PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图.设移动时间为 t s(0t4) ，连接 PQ，MQ ，MC.解答下列问题：图 10S3(1)当 t 为何值时，PQ MN?(2)设QMC 的面积为 y cm2，求 y 与 t 之间的函数表达式(3)是否存在某一时刻 t，使 SQMC S
4、 四边形 ABQP14？若存在 ，求出 t 的值；若不存在，请说明理由(4)是否存在某一时刻 t，使 PQMQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由4如图 10S4，OF 是MON 的平分线，点 A 在射线 OM 上，P，Q 是直线 ON 上的两动点，点 Q 在点 P 的右侧 ，且 PQOA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交直线OF，ON 于点 B，C，连接 AB，PB.(1)如图，当 P，Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系(2)如图，当 P，Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时，线段 AB，PB 是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出
5、证明过程；若不存在， 请说明理由(3)如图，MON60， 连接 AP，设 k ，当 P 和 Q 两点都在射线 ON 上移动时，APOQk 是否存在最小值？若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由图 10S45如图 10S5，矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上，点 D 与坐标原点 O 重合，且 AD 8，AB 6.如图，矩形 ABCD 沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，同时点 P 从点 A 出发也以每秒 1 个单位长度的速度沿矩形 ABCD 的边 AB 经过点 B 向点 C 运动，当点 P 到达点 C 时，矩形 ABCD 和点 P 同时停止运动，设点 P 的运动时间为
6、 t 秒(1)当 t5 时，请直接写出点 D，P 的坐标；(2)当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，求出PBD 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并写出相应的 t 的取值范围；(3)当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，过点 P 作 PE x 轴，垂足为 E，当PEO与BCD 相似时，求出相应的 t 值图 10S562017永州 已知点 O 是正方形 ABCD 对角线 BD 的中点(1)如图 10S6，若 E 是 OD 的中点，F 是 AB 上一点，且使得CEF90，过点 E 作 MEAD，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N.求证：AEMFEM ； F 是 AB 的
7、中点(2)如图，若 E 是 OD 上一点，F 是 AB 上一点，且使 ，请判断EFC 的形DEDO AFAB 13状，并说明理由(3)如图，若 E 是 OD 上的动点( 不与 O，D 重合) ，连接 CE，过点 E 作 EFCE，交AB 于点 F，当 时，请猜想 的值(请直接写出结论)DEDB mn AFAB图 10S67如图 10S7，在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y kxb 分别交 x 轴、y 轴于点E，F ，点 B 的坐标是 (2，2)， 过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 A，C，D 是线段CO 上的动点，以 BD 为对称轴 ，作与BCD 成轴对称的 BCD.(1)当
8、CBD15时，求点 C的坐标(2)当图中的直线 l 经过点 A，且 k 时(如图) ，求点 D 由点 C 到点 O 的运动33过程中，线段 BC扫过的图形与 OAF 重叠部分的面积(3)当图中的直线 l 经过点 D，C时(如图) ，以 DE 为对称轴，作与DOE 成轴对称的DOE，连接 OC，O O，是否存在点 D，使得DOE 与COO 相似？若存在，请求出 k，b 的值；若不存在，请说明理由图 10S7详解详析1C 解析 设 APx，则 PBABAP 7x，当PDACPB 时， ，即 ，DAPB APBC 27 x x3解得 x1 或 x6；当PDAPCB 时， ，即 ，ADBC APPB
9、23 x7 x解得 x .则这样的点 P 共有 3 个145故选 C.2y x81673解：(1)如图所示在ABC 中，AB 3 cm，BC 5 cm ，A90，由勾股定理，得 AC4 cm.若 PQMN，则 PQAB ， .CPPA CQQBCQPA t cm ，CP(4t)cm ，QB (5t)cm ， ，4 tt t5 t解得 t .209经检验，t 是原方程的解且符合题意209故当 t 的值为 时，PQMN.209(2)如图所示，过点 P 作 PDBC 于点 D，则CPDCBA， .CPCB PDBABA3 cm，CP(4t)cm，BC5 cm， ，PD (4t)cm.4 t5 PD3
10、 35又CQt cm，y (4t)t t2 t(0t4)12 35 310 65(3)存在S QMC S 四边形 ABQP14，SQMC t2 t，310 65S 四边形 ABQPS ABC S PCQ S ABC S QMC 34 t2 t6，12 ( 310t2 65t) 310 65 14，( 310t2 65t) (310t2 65t 6)即 t24t40，解得 t1t 22，当 t2 时，S QMC S 四边形 ABQP14.(4)存在如图所示，过点 M 作 MEBC 交 BC 的延长线于点 E，过点 P 作 PDBC 于点 D，则CPDCBA， .CPCB PDBA CDCABA3
11、 cm，CP(4t)cm，BC5 cm，CA 4 cm ， ，4 t5 PD3 CD4PD (4t)cm，CD (4t)cm.35 45PQMQ ， PQDMQE90.又PDQ E90，PQD DPQ90，DPQ MQE，PDQ QEM， ，PDQE DQEM即 PDEMQEDQ.EMPD (4t) cm，35 (125 35t)DQCDCQ (4t)t cm，45 (165 95t)QEDEDQ5( t)( t)cm，165 95 95 95( t)2( t)( t)，125 35 95 95 165 95即 2t23t0，解得 t (t0 舍去)32当 t 时，PQMQ.324.解：(1)
12、AB PB.理由：如图，连接 BQ.BC 垂直平分 OQ，BO BQ，BOQBQO.OF 平分MON，AOBBOQAOBBQO.又OAPQ，AOB PQB，ABPB.(2)存在证明：如图，连接 BQ.BC 垂直平分 OQ，BO BQ，BOQBQO.OF 平分MON，BOQFON，AOF FONBQC，BQP AOB.又OAPQ，AOB PQB，ABPB.(3)如图，连接 BQ.易证ABOPBQ，OABBPQ，ABPB.OPB BPQ180，OPB OAB180，AOPABP180.MON60，ABP120.ABPB，BAPBPA30.BOBQ ，BOQ BQO 30，ABP OBQ， .APO
13、Q ABOBAOB30，当 BAOM 时， 的值最小，最小值为 0.5，k 存在最小值，ABOB最小值为 0.5.5解：(1)D( 4，3)，P(12，8)(2)当点 P 在边 AB 上，即 0t 6 时，BP6t ，S BPAD (6t)84t24；12 12当点 P 在边 BC 上，即 6t14 时，BP t6，S BPAB (t6)6 3t18，12 12所以 S 4t 24（0 t 6），3t 18（6t 14）. )(3)易求 D( t， t)，45 35当点 P 在边 AB 上时，点 P( t8， t)，45 85若 ，则 ，解得 t6；PEOE CDCB85t45t 8 68若
14、，则 ，解得 t20.PEOE CBCD85t45t 8 860t6，t20 不合题意，应舍去当点 P 在边 BC 上时，点 P(14 t， t6) ，15 35若 ，则 ，解得 t6；PEOE CDCB35t 614 15t 68若 ，则 ，解得 t .PEOE CBCD35t 614 15t 86 190136t14， t 不合题意，应舍去19013综上，当 t6 时，PEO 与 BCD 相似6解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABD45，BADABCBCD ADC 90，AE CE.MEAD，MEAB，AME BME BAD90 ，ENCADC90，BME 是等腰直角三角形 ，
15、四边形 BCNM 是矩形，BMEM，BMCN，EM CN.在 RtAME 和 RtENC 中，AECE，EMCN，Rt AMERtENC( HL)，AEMECN.CEF90，FEMCEN90.ECNCEN90，FEMECN，AEMFEM.在AME 和FME 中，AME FME90，AEMFEM ，EAFEFA，AEFE.又MEAF，AM FM ，AF2AM.E 是 OD 的中点，O 是 BD 的中点， .DEDB 14MEAD， ， ，AMAB DEDB 14 AFAB 12F 是 AB 的中点(2)EFC 是等腰直角三角形理由如下：过点 E 作 MEAD，交 AB 于点 M，交 CD 于点
16、N.同(1)得：AE CE，RtAMERtENC，AEMECN. ，O 是 DB 的中点， .DEDO 13 DEDB 16MEAD， .AMAB DEDB 16 ，AF2AM ，即 M 是 AF 的中点AFAB 13MEAB，AEFE，AEMFEM ，FE CE.ECNCEN90，FEMCEN90，CEF90，EFC 是等腰直角三角形(3)当 时， .DEDB mn AFAB 2mn7解：(1)BCD BCD，CBDCBD15，CB CB2，CBC 30 .如图，过点 C作 CHBC 于点 H，则 CH1，HB ，3CH2 ，3点 C的坐标为(2 ，1) 3(2)如图，k ，33设直线 AF
17、 的函数表达式为 y xb.33直线 l 过点 A(2，0) ，b ，2 33则直线 AF 的函数表达式为 y x ，33 23 3OAF 30 ，BAF60.在点 D 由点 C 到点 O 的运动过程中，BC 扫过的图形是以点 B 为圆心，BC 为半径的扇形把点 C的坐标代入 y x ，知点 C在直线 l 上，33 23 3BC扫过的图形与OAF 的重叠部分是弓形BCBCAB，ABC是等边三角形，ABC60，重叠部分的面积是 2 .60 22360 12 3 23 3(3)如图，设 OO与 DE 相交于点 M，则 OMOM，OODE.若DOE 与COO 相似，则 COO 是直角三角形在点 D 由点 C 到点 O 的运动过程中，COO 中显然只能是COO 90，CODE，CDOD1，b1.连接 BE，由轴对称的性质可知CDCD ，BC BCBA，BCEBCDBAE90.在 RtBAE 和 RtBC E 中 ，BEBE，BABC，Rt BAERtBC E( HL)，AECE ，DEDCCEDCAE.设 OEx，则 AE2x，DEDCAE3x.在 RtODE 中，由勾股定理，得 x21(3x) 2，解得 x ，43E ，(43， 0) k10，43解得 k ，34存在点 D，使得DOE 与COO 相似，这时 k ，b1.34