1、思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似图 11S1类型一 作平行线构造“A”型或“X”型相似1如图 11S2，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AB延长线上一点，OE 交 BC 于点 F，若 ABa，BCb，BEc，求 BF 的长图 11S22如图 11S3，在ABC 中，AD 为
2、BC 边上的中线， CF 为任一直线，CF 交 AD于点 E， 交 AB 于点 F.求证： .AEDE 2AFBF图 11S33在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图 11S4，在ABC 中 ，D 是 BA 延长线上一动点，点 F 在 BC 上，且 ，连接 DF 交 AC 于点 E.CFBF 12(1)如图，当 E 恰为 DF 的中点时 ，请求出 的值；ADAB(2)如图，当 a(a0)时，请求出 的值(用含 a 的代数式表示) DEEF ADAB思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点 F 作 FGAB 交 AC 于点 G，构造相似三角形解决问题；乙：过点 F 作 FG
3、AC 交 AB 于点 G，构造相似三角形解决问题；丙：过点 D 作 DGBC 交 CA 的延长线于点 G，构造相似三角形解决问题老师说：“这三位同学的想法都可以” 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第 (2)问中 的值ADAB图 11S4类型二 作平行线转换线段的比4如图 11S5，B 为 AC 的中点，E 为 BD 的中点，求 的值AFAE图 11S55如图 11S6，已知等边三角形 ABC，D 为 AC 边上的一动点 ，CDnDA，连接BD，M 为线段 BD 上一点，AMD60，连接 AM 并延长交 BC 于点 E.(1)若 n1，则 _， _；BECE BMDM(
4、2)若 n2，如图，求证：BM6DM；(3)当 n_时，M 为 BD 的中点(直接写出结果，不要求证明) 图 11S662017朝阳 已知：如图 11S 7，在ABC 中，点 D 在 AB 上，E 是 BC 的延长线上一点，且 ADCE，连接 DE 交 AC 于点 F.(1)猜想证明：如图，在ABC 中，若 ABBC，学生们发现：DFEF.下面是两位学生的证明思路：思路 1：过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G，可通过证 DFGEFC 得出结论；思路 2：过点 E 作 EHAB ，交 AC 的延长线于点 H，可通过证ADF HEF 得出结论请你参考上面的思路，证明 DFEF( 只用一种方
5、法证明即可 )(2)类比探究：在(1) 的条件下( 如图)，过点 D 作 DMAC 于点 M，试探究线段AM，MF，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论(3)延伸拓展：如图，在ABC 中，若 ABAC，ABC2BAC， m，请你用ABBC尺规作图在图中作出 AD 的垂直平分线交 AC 于点 N(不写作法，只保留作图痕迹)，并用含 m 的代数式直接表示 的值FNAC图 11S7类型三 作垂直证相似7如图 11S8，在ABC 中，C 90，D 为边 AB 的中点，M，N 分别为边AC，CB 上的点，且 DMDN .(1)求证： ；DMDN BCAC(2)若 BC6，AC8, CM5，直接写出
6、CN 的长图 11S88如图 11S9，在ABC 中，D 是 BC 边上的点(不与点 B，C 重合)，连接 AD.问题引入：(1)如图，当 D 是 BC 边的中点时，S ABD S ABC _ ；当 D 是 BC 边上任意一点时，S ABD S ABC _( 用图中已有线段表示)探索研究：(2)如图，在ABC 中，O 是线段 AD 上一点(不与点 A，D 重合) ，连接 BO，CO，试猜想 SBOC 与 SABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由拓展应用：(3)如图，O 是线段 AD 上一点( 不与点 A，D 重合)，连接 BO 并延长交 AC 于点 F，连接 CO 并延长交 AB
7、于点 E.试猜想 的值，并说明理由ODAD OECE OFBF图 11S99如图 11S10，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中 ，ACB 90，AC4，BC3，E，F 分别是 AC，AB 边上的点，连接 EF.(1)如图，若将直角三角形纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠， 折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，且 S 四边形 ECBF3S EDF ，则 AE_；(2)如图，若将直角三角形纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠， 折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处 ，且 MFCA，求 EF 的长；(3)如图，若 FE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 N，CN1，CE ，求 的值
8、47 AFBF图 11S10详解详析1解：如图，过点 O 作 OMBC 交 AB 于点 M.O 是 AC 的中点，OMBC，M 是 AB 的中点，即 MB a，12OM 是 ABC 的中位线，OM BC b.12 12OM BC，BEF MEO， ，BFMO BEME即 ，BF .BF12bca2 c bca 2c2证明：如图，过点 D 作 DGCF 交 AB 于点 G.DGCF，D 为 BC 的中点 ，G 为 BF 的中点 ，FG BG BF.12EFDG， .AEDE AFGF AF12BF 2AFBF3解：(1)甲同学的想法：如图，过点 F 作 FGAB 交 AC 于点 G，AEDGEF
9、， .ADGF EDEFE 为 DF 的中点 ，ED EF，AD GF.FGAB，CGFCAB ， .GFAB CFCB ， ， .CFBF 12 CFCB 13 ADAB GFAB CFCB 13乙同学的想法：如图，过点 F 作 FGAC 交 AB 于点 G， .ADAG EDEFE 为 DF 的中点 ，ED EF，AD AG.FGAC， .AGAB CFCB ， ， .CFBF 12 CFCB 13 ADAB AGAB CFCB 13丙同学的想法：如图，过点 D 作 DGBC 交 CA 的延长线于点 G，CG，CFEGDE，GDECFE ， .GDCF EDEFE 为 DF 的中点 ，ED
10、EF，GDCF.DGBC，CG，B ADG ，ADG ABC ， . ， .ADAB DGBC CFBF 12 CFBC 13 .ADAB DGBC CFBC 13(2)如图，过点 D 作 DGBC 交 CA 的延长线于点 G，CG，CFEGDE，GDECFE ， .GDCF EDEF a，EDaEF，DEEFDGaCF.DGBC，CG，B ADG ，ADG ABC ， .ADAB DGBC ， ，即 BC 3CF.CFBF 12 CFBC 13 .ADAB DGBC aCF3CF a34解：取 CF 的中点 G，连接 BG.B 为 AC 的中点， ，且 BGAF.BGAF 12又 E 为 B
11、D 的中点 ，F 为 DG 的中点， ， ，EFBG 12 EFAF 14 .AFAE 435解：(1)当 n1 时，CD DA.ABC 是等边三角形，BDAC，BAC60，ADM 90.又AMD60，MAD30，BAE BACMAD30，即BAE EAD，AE 为ABC 的中线， 1.BECE在AMD 中，DM AM(30角所对的直角边等于斜边的一半)12BAM ABM30， AMBM， 2.BMDM(2)证明：AMD ABDBAE60，CAEBAE60， ABDCAE .又BAAC， BADACE60，BADACE(ASA)，ADCE，CDBE.如图，过点 C 作 CFBD 交 AE 的延
12、长线于点 F， ， ，FCBM CEBE ADCD 12 DMFC ADAC 13由得 ，BM6DM.DMBM 16(3)M 为 BD 的中点，BMMD.BADACE，ADCE，CDBE.AMDACE，BME BCD， ， ，ADAE MDCE BMBC MECDAD ，CD ，MDAECE BCMEBM由得 CD DA，n .5 12 5 126解：(1)思路 1：如图，过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G.ABBC， ABCA.DGBC，DGABCA，DGF ECF，ADGA ，DADG.ADCE，DGCE.又DFG EFC，DFGEFC ，DFEF.思路 2：如图，过点 E 作 E
13、HAB，交 AC 的延长线于点 H.ABBC， ABCA.EHAB，AH.ECHBCA，HECH，CEEH .ADCE，ADEH .又AFDHFE ，DFAEFH，DFEF.(2)结论：MFAMFC.证明：如图 ，由思路 1 可知：DADG，DFG EFC，FG FC.DM AG， AMGM.MFFG GM，MFAMFC.(3)AD 的垂直平分线交 AC 于点 N，如图所示连接 DN，过点 D 作 DGCE 交 AC 于点 G.设 DGa，BCb，则AB ACmb， ADAGma.ABC2BAC，设BACx，则BACB2x，5x180，x36，A36.NAND，AADN 36.ADG B72，
14、NDGA36.又DGNAGD，GDNGAD，DG 2GNGA.易知 DGDNANa，a 2(maa) ma，两边同除以 a，得 m2amaa0.DGCE，DGCEFGFCDGDA 1m .CGmbma，FG m(ba) ，1m 1FNGNFGmaa m(ba) ，1m 1 m2a a mb mam 1 mbm 1 .FNAC mbm 1mb 1m 17解：(1)证明：如图，过点 D 作 DPBC 于点 P，DQAC 于点 Q，DQM DPN90.又C90，四边形 CPDQ 为矩形，QDP90 ，即MDQ MDP90.DM DN，MDN90，即MDPNDP90，MDQ NDP，DMQDNP， .
15、DMDN DQDPD 为 AB 的中点 ，DQBC，DPAC，DQ BC，DP AC， ， .12 12 DQDP BCAC DMDN BCAC(2)由题意得 AQCQ4，MQCMCQ541，DQ BC3，DP AC4.12 12DMQ DNP， ，NP .MQNP DQDP 43又 CPPB3 ，CN3 .43 538解：(1)12 BDBC(2)猜想 SBOC 与 SABC 之比应该等于 ODAD.理由：如图，分别过点 O，A 作 BC 的垂线 OE，AF，垂足分别为 E，F ，OEAF，ODAD OE AF .S BOC BCOE，S ABC BCAF，12 12S BOC S ABC
16、OEAFODAD.(12BCOE) (12BCAF)(3)猜想 的值是 1.理由如下：ODAD OECE OFBF由(2)可知： ODAD OECE OFBF S BOCS ABC S BOAS ABC S AOCS ABC 1.S BOC S BOA S AOCS ABC S ABCS ABC9解：(1)将ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，EFAB，AEF DEF，S AEF S DEF .S 四边形 ECBF3S EDF ，S ABC 4S AEF .在 Rt ABC 中，ACB 90，AC4，BC 3，AB5.EAF BAC，RtAEFRtABC，
17、 ( )2，即( )2 ，AE 2.5.S AEFS ABC AEAB AE5 14(2)连接 AM 交 EF 于点 O，如图，将ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，AE EM，AF MF，AFEMFE.MFCA， AEFMFE，AEF AFE，AE AF，AEEMMF AF ，四边形 AEMF 为菱形设 AEx，则 EMx，CE4x .四边形 AEMF 为菱形，EMAB，CMECBA， ，CMCB CECA EMAB即 ，解得 x ，CM .CM3 4 x4 x5 209 43在 Rt ACM 中，AM .AC2 CM24103S 菱形 AEMF EFAMAECM，12EF2 .432094103 4109(3)如图，过点 F 作 FHBC 于点 H，ECFH，NCENHF ，CNNH CE FH，即 1NH FH，FH NH47.47设 FH4x，NH 7x，则 CH7x1，BH3(7 x1) 47x.FHAC，BFH BAC，BHBCFHAC，即(47x) 34x4，解得x0.4，FH 4x ，BH 47x .85 65在 Rt BFH 中，BF 2，（65）2 （85）2AFABBF523， . AFBF 32