1、思维特训(三) 四边形中几种辅助线的小结1截长补短法：通过将最长线段截成较短的两部分或将较短线段延长构造全等三角形解决线段的和差倍分问题2在三角形中，已知一边的中点，常在另一边上找一中点，从而构造中位线解决问题 3在直角三角形中，常作斜边上的中线得等腰三角形，然后利用图形的性质等解决问题类型一 连接对角线解决问题1如图 3S1，在四边形 ABCD 中，ABCD，点 E，F 在对角线 AC 上，且ABF CDE ，AECF.(1)求证：ABFCDE；(2)当四边形 ABCD 满足什么条件时，四边形 BFDE 是菱形？为什么？图 3S12如图 3S2，四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方
2、形，点 E，G 分别在AD，CD 上，连接 AF，BF ，CF .(1)求证：AFCF；(2)若BAF35，求BFC 的度数图 3S2类型二 截长补短法解决线段问题3如图 3S3，在正方形 ABCD 中，P 是 AB 的中点，连接 DP，过点 B 作 BEDP交 DP 的延长线于点 E，过点 A 作 AFAE 交 DP 于点 F，连接 BF.(1)若 AE1，求 EF 的长；(2)求证：PFEPEB .图 3S34如图 3S4，E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点， DAE 的平分线 AF 交 BC的延长线于点 F，交 CD 于点 G.(1)若 AB8，BF16，求 CE 的长；(2)
3、求证：AEBEDG.图 3S45在正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC (或它们的延长线)于点 M，N ，AH MN 于点 H.(1)如图 3S5，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时 ，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系：_(2)如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，(1)中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由；如果成立，请证明(3)如图，已知MAN45，AH MN 于点 H，且 MH2，NH3，求 AH 的长( 可利用(2) 中得到的结论 )图 3S5类型三 构造三角形的中位线解决问题6如
4、图 3S6，在四边形 ABCD 中，AC BD，BD12 ，AC16，E，F 分别为AB， CD 的中点，求 EF 的长图 3S67如图 3S7，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， 点 F 在 AC 上，AF FC，AD 与 BF 相交于点 E.求证：E 是 AD 的中点12图 3S7类型四 构造直角三角形斜边上的中线解决问题8如图 3S8，ABC ADC90，M，N 分别是边 AC，BD 的中点求证：MNBD .图 3S89如图 3S9，在 RtABC 中，C90，点 E 在边 AC 上，AB DE，ADBC.12求证：CBA3CBE.图 3S9详解详析1解：(1)证明：ABCD，B
5、AC DCA.AECF， AEEFCFEF，即 AFCE .在ABF 和CDE 中，BACDCA，ABF CDE，AF CE ，ABF CDE(AAS)(2)当四边形 ABCD 满足 ABAD 时，四边形 BFDE 是菱形理由如下：连接 BD 交 AC 于点 O，如图所示由(1)得ABFCDE，ABCD，BF DE，AFBCED，BFDE .ABCD，AB CD ，四边形 ABCD 是平行四边形又ABAD ，平行四边形 ABCD 是菱形，BDAC.BFDE ，BFDE，四边形 BFDE 是平行四边形又BDAC，四边形 BFDE 是菱形2解：(1)证明：四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是
6、正方形，ADCD，EDGD，FE FG，ADED CDGD，AECG.在AFE 和CFG 中，AECG，AEFCGF90，FEFG，AFE CFG(SAS) ，AFCF.(2)由(1)得AFECFG，AFE CFG.又ABEF，BAF 35，AFE CFGBAF 35.连接 DF，如图，四边形 DEFG 是正方形，DFG 45 ，BFC180CFGDFG 1803545100.3解：(1)在正方形 ABCD 中，ABAD，BAD90，DAFBAF90.AFAE，BAE BAF90，BAE DAF.BEDP ，ABE BPE90.又ADFAPD 90，BPEAPD (对顶角相等 )，ABE AD
7、F.在ABE 和ADF 中，ABEADF，ABAD，BAEDAF，ABE ADF(ASA)，AEAF，AEF 是等腰直角三角形AE1，EF AE 1 .2 2 2(2)证明：如图，过点 A 作 AMEF 于点 M.AEF 是等腰直角三角形，AMMFEM .P 是 AB 的中点 ，APBP.又APM BPE，AMPBEP90，AMP BEP(AAS)，PMEP，AM EB .PFPMMF ，PFEPEB.4解：(1)四边形 ABCD 是正方形，AB8，ABBC8， B 90，AD BC，DAG F.AF 平分DAE，DAG EAF，EAF F，AEEF.设 CEx，则 BE8x，EFAE 8x.
8、在 Rt ABE 中，由勾股定理得 82(8x) 2(8 x) 2，解得 x2，即 CE2.(2)证明：如图，延长 CB 到点 M，使 BMDG，连接 AM.四边形 ABCD 是正方形，DABM90，AD AB，ABCD，3254.在ABM 和 ADG 中，ABAD，ABMD ，BM DG，ABM ADG(SAS)，M4，61.12(角平分线的定义 )，26，4M 32565，即MMAE，AEME.BMDG， AEBEDG .5解：(1)AH AB(2)还成立证明：如图，延长 CB 至点 E，使 BEDN.四边形 ABCD 是正方形，ABAD，D ABE90.在 Rt AEB 和 RtAND
9、中，ABAD ，ABED，BEDN，RtAEBRtAND，AEAN， EABNAD，EAM NAM45.在AEM 和 ANM 中，AEAN，EAMNAM，AMAM ，AEM ANM，S AEM S ANM ，EMMN.又AB，AH 分别是AEM 和ANM 对应边上的高，AHAB.(3)如图，分别沿 AM，AN 翻折AMH 和ANH，得到AMB 和AND，BM2，DN3，BD BAD90.分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD，由(2)可知，AHABBCCDAD.设 AHx，则 MCx2，NCx 3，在 Rt MCN 中 ，由勾股定理 ，得 MN2MC 2NC 2，5 2(x2
10、) 2(x 3) 2，解得 x16，x 21(不符合题意，舍去)AH 的长为 6.6解：如图，取边 BC 的中点 G，连接 EG，FG .E，F 分别为 AB，CD 的中点，EG 是ABC 的中位线，FG 是BCD 的中位线，EG 綊 AC，FG 綊 BD.12 12又BD12，AC16，ACBD ，EG8，FG6，EG FG .在 Rt EGF 中，由勾股定理，得EF 10，EG2 FG2 82 62即 EF 的长是 10.7证明：如图，取 CF 的中点 M，连接 DM.AF FC，12AFFMCM.AD 是 BC 边上的中线，BDCD，DM 是 BFC 的中位线，DM BF.AFFM，AEDE ，即 E 是 AD 的中点8证明：如图，连接 BM，DM.ABCADC90，M 是 AC 的中点，BMDM AC.12N 是 BD 的中点，MNBD.9证明：如图，取 DE 的中点 F，连接 AF.ADBC，C90，DAE C90，AFDF EF DE.12AB DE，12DFAFAB，DDAF，AFB ABF，AFB D DAF 2 D，ABF 2D.ADBC，CBED，CBACBEABF3CBE.