1、思维特训(九) 相似三角形的基本模型几何图形大都由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于我们快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法类型一 平行线型如图 9S1，若 DEBC，则ADEABC，形象地说图为“A”型，图为“X”型，它们都是平行线型的基本图形图 9S11如图 9S2，在ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，连接 DE 交 AC 于点 G，交BC 于点 F，则图中相似三角形 (不含全等三角形)共有_ 对图 9S22如图 9S3，已知 ECAB，EDA ABF.求证：OA 2OE OF.图 9S3类型二 相交线型常见的有如下三种情形：如图 9S4，已知
2、1B，则由公共角A 得ADEABC.如图，已知1B，则由公共角A 得ADEACB.如图，已知BD，则由对顶角 12 得ADE ABC.图 9S43如图 9S5，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且ABE ACD ，BE，CD 相交于点 G.(1)求证：AEDABC；(2)如果 BE 平分ABC，求证： DECE .图 9S54如图 9S6，小明画了一个锐角三角形 ABC，并作出了它的两条高 AD 和 BE，两条高相交于点 P.小明说图形中共有两对相似三角形，他的说法正确吗？如果不正确，请给出正确答案图 9S6类型三 母子型将图 9S4中的 DE 向下平移至点 C，则得图 9S
3、7，有ACDABC，称之为“母子”型的基本图形特别地，令ACB90，CD 为斜边上的高(如图)，则有ACDABCCBD.图 9S75如图 9S8，在ABC 中，P 为 AB 上一点，要使APCACB ，还需具备的一个条件是_图 9S86如图 9S9，在ABC 中，AB 10 cm，BC20 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度移动 ，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4 cm/s 的速度移动，如果点 P， Q 分别从点 A，B 同时出发，那么经过几秒钟， PBQ 与ABC 相似？图 9S9类型四 旋转型将图 9S1中的ADE 绕点 A 旋转一
4、定角度，得到图 9S10，称之为旋转型的基本图形图 9S107如图 9S11，ABC 和 CEF 均为等腰直角三角形，点 E 在ABC 内，CAE CBE90，连接 BF.(1)求证：CAECBF；(2)若 BE1，AE2，求 CE 的长图 9S1182017阿坝州 如图 9S12，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC DAE 90，P 为射线 BD，CE 的交点(1)求证：BD CE；(2)若 AB2，AD1，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC 90时，求 PB 的长图 9S12类型五 一线三等角型(1)三等角型相似三角形是以等腰三角形或等边三角形为背景的图 9S13(2)
5、三直角型相似三角形是以正方形或矩形为背景的图 9S1492017宿迁 如图 9S 15，在ABC 中，ABAC ， 点 E 在边 BC 上移动( 点 E 不与点 B， C 重合)，满足DEFB，且点 D，F 分别在边 AB，AC 上(1)求证：BDECEF；(2)当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分DFC.图 9S1510在ABC 中，AB AC， 点 D，E，F 分别在 BC，AB，AC 上，EDFB.(1)如图 9S16，求证： DECDDF BE.(2)若 D 为 BC 的中点，如图，连接 EF.求证：ED 平分BEF；若四边形 AEDF 为菱形，求BAC 的度数及 的值A
6、EAB图 9S1611如图 9S17，在ABC 中，AB AC ，BAC120，P 为 BC 的中点，小明拿着含有 30角的透明直角三角板，使 30角的顶点落在点 P 处，三角板绕点 P 旋转(1)如图，当三角板的一直角边和斜边分别与 AB，AC 交于点 E，F 时，连接 EF，求证：BPE CFP.(2)操作：将三角板绕点 P 旋转到图的情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E，F，连接 EF.BPE 与CFP 相似吗？请说明理由；BPE 与PFE 相似吗？请说明理由图 9S17详解详析15 解析 本题图中有两组平行线，故存在平行线型的基本图形，把它们一一分离出来，如图
7、.又由于ADEBFECFD，故共有 5 对相似三角形2证明：ECAB，OABOED，EDADAB， .OAOE OBODEDAABF，DABABF，ADBC，OBFODA， ，OBOD OFOA ，OAOE OFOAOA 2OE OF.3证明：(1)ABE ACD ，且A 是公共角，ABE ACD， ，即 .AEAD ABAC AEAB ADAC又A 是公共角，AEDABC.(2)ABEACD，BGDCGE，BGD CGE ， ，即 .DGEG BGCG DGBG EGCG又DGE BGC，DGE BGC ，GDE GBC .BE 平分ABC，GBCABE.ABE ACD，GDE ACD ，D
8、ECE.4解析 根据相似三角形的判定，图中共有六对相似三角形：CBECAD，AEP ADC， BDPBEC ，BDPAEP，BECAEP，ADCBDP，所以他的说法不正确解：小明的说法不正确图中共有六对相似三角形，它们分别是：CBECAD，AEP ADC，BDPBEC，BDPAEP，BECAEP，ADCBDP.5答案不唯一，如PCAB 解析 本题为开放题，答案不唯一注意到APC 与ACB 属于“母子”型基本图形，而A 为公共角，故还需具备的一个条件是PCAB 或APCACB 或AC2APAB (即 )ACAP ABAC6解析 设经过 t s 后，PBQ 与ABC 相似根据题意可得 AP2t c
9、m，BQ4t cm， BP(102t)cm，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例列出方程求解即可解：设经过 t s 后，PBQ 与ABC 相似，则有 AP2t cm，BQ4t cm， BP(102t)cm.(1)当PBQABC 时，有 ，BPAB BQBC即 ，解得 t2.5；10 2t10 4t20(2)当PBQCBA 时，有 ，BQAB BPBC即 ，解得 t1.4t10 10 2t20所以经过 1 s 或 2.5 s，PBQ 与ABC 相似7解：(1)证明：ABC 和CEF 均为等腰直角三角形， ，ACBECF45，ACBC CECF 2ACEBCF，CAECBF .(2)CAE CB
10、F，CAECBF， .AEBF ACBC 2又AE2，BF .2CAECBE90，CBFCBE90，EBF 90，EF 2BE 2BF 21 2( )23，2EF .3CE 22EF 2 6，CE .68解：(1)证明：ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DABCAE ，ADBAEC，BDCE.(2)当点 E 在 AB 上时，如图，BEABAE 1.EAC90，CE .5同(1)可证ADBAEC， DBAECA .又PEB AEC，PEBAEC， ， ，PB ；PBAC BECE PB2 15 255当点 E 在 BA 的延长线上时，如图，BE3.EAC9
11、0，CE .5同(1)可证ADBAEC，DBAECA.又BEP CEA，PEBAEC， ， ，PB .PBAC BECE PB2 35 655综上所述，PB 的长为 或 .255 6559证明：(1)ABAC，B C.BDE180B DEB，CEF 180DEFDEB，DEFB，BDECEF，BDECEF.(2)BDECEF， .BECF DEEFE 是 BC 的中点，BE CE ， ，即 .CECF DEEF DECE EFCF又DEFB C ，DEFECF，DFEEFC，FE 平分DFC.10解：(1)证明：在ABC 中，AB AC，BC.BBDE DEB 180 ，BDEEDFFDC 1
12、80，EDFB，FDCDEB，BDECFD， ，即 DECDDF BE.DEDF BECD(2)证明：由(1) 证得BDECFD， .BECD DEDFD 为 BC 的中点，BDCD ， .BEBD DEDF又BEDF ，BDEDFE，BEDDEF，ED 平分BEF.四边形 AEDF 为菱形，AEF DEF，AE AF DE.又BEDDEF ，AEFBED DEF60 .又AEAF，BAC60.又ABAC， ABC 是等边三角形 ，B60，BED 是等边三角形，BEDE .又AEDE ，AE AB， .12 AEAB 1211解：(1)证明：在ABC 中，BAC120，ABAC，BC30.BBPEBEP 180，BPE BEP150.又BPE EPF CPF180，EPF30，BPE CPF150，BEP CPF，BPE CFP.(2)BPECFP.理由同(1)BPE 与PFE 相似理由：由(1)得BPE CFP， ，BECP PEPF而 CPBP， ，BEBP PEPF即 .BEPE BPPF又EBP EPF ，BPE PFE.