1、要点要点 1 1：余角、补角、对顶角：余角、补角、对顶角 【要点梳理】【要点梳理】 1.1.余角与补角余角与补角 （1 1）定义：）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余互余， 其中一个角叫做另一个角的余角余角 类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补互补，其中一个角 叫做另一个角的补角补角 （2 2）性质：）性质：同角（等角）的余角相等同角（同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等等角）的补角相等 【注意】【注意】 (1)互余互补指的
2、是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它 们的位置无关们的位置无关(2)一个锐角的补角比它的余角大 90 2.2.对顶角对顶角 （1 1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边( (相对相对) )的两个角的两个角， 互为对顶角 （2 2）性质：）性质：对顶角相等对顶角相等 【注意】【注意】 (1)对顶角对顶角满足的条件： 相等的两个角； 有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反相等的两个角； 有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反 向延长线向延长线. . (2
3、)只有两条直线相交时，才能产生对顶角两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会 产生邻补角，邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延 长线长线. . 【典例精讲】【典例精讲】 1、如果1与2互为余角，1与3互为补角，2与3的和等于平角的 2 3 ，那么这三 个角的度数分别为（ ） A75 15 105, B30 60 120, C50 40 130, D70 20 110, 2、下列各图中，1 和2 是对顶角的是（ ） 课程类型：新授课课程类型：新授课衔接课衔接课 年级：新初一年级：新初一 学科：数学学科：数学 课程主
4、题课程主题 第第 6 6 单元单元 第第 3 3 节：余角、补角、对顶角节：余角、补角、对顶角 A B C D 3、下列图形中的两个角互为补角的是（ ） A和 B和 C和 D和 4、 已知是锐角， 与互补， 与互余， 则与的关系为 （ ） A90 B+90 C+180 D 5、若1与2互补，155 15，则2的度数为（ ） A124 45 B134 45 C35 45 D34 45 6、已知一个角是60，那么这个角的补角的度数是（ ） A120 B150 C60 D30 7、已知A=105，则A 的补角的余角等于（ ） A35； B25； C15； D5； 8、一个角的余角是 30 度，则这个
5、角是（ ）度 A20 B30 C60 D150 9、下列叙述正确的是（ ） A一个钝角和一个锐角一定互为补角 B每一个锐角都有余角 C两个锐角一定互为余角 D一个钝角的余角是锐角 10、已知A=50，则A的补角等于（ ） A40 B100 C130 D150 11、若45n ， 45n ，则 与 的关系是（ ） A互补 B互余 C和为钝角 D和为周角 12、 一副三角板ABC、DBE， 如图 1 放置， （D=30、BAC45） ， 将三角板DBE 绕点B逆时针旋转一定角度，如图 2 所示，且 0CBE90，则下列结论中正确 的个数有（ ） DBCABE的角度恒为 105； 在旋转过程中，若B
6、M平分DBA，BN平分EBC，MBN的角度恒为定值； 在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 90的次数为 2 次； 在图 1 的情况下，作DBFEBF ，则AB平分DBF A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 13、一个角的补角比它的余角的 3 倍少20，这个角的度数是_度 要点要点 2 2：方位角与钟表上的角：方位角与钟表上的角 【要点梳理】【要点梳理】 1 1、方位角、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线 OA 的方向是北偏东 60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表示方 向的角，就叫做方位角 【注意】【注意】
7、（1 1）正东，正西，正南，正北）正东，正西，正南，正北 4 4 个方向不需要用角度来表示；个方向不需要用角度来表示； （2 2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东 6060”一般不说成“东偏北”一般不说成“东偏北 3030”；”； （3） 在同一问题中观察点可能不止一个， 在不同的观测点都要画出表示方向的 “十字线” ， 确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点 O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以 O 为端点 2 2、钟表上有关角问题、钟表上有关角问题 钟表中共有 1212 个大格个大格，把周角 12
8、等分、每个大格对应每个大格对应 3030的角，分针分针 1 1 分钟转分钟转 6 6， 时针每小时转时针每小时转 3030，时针时针 1 1 分钟转分钟转 0.50.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度 的计算问题 【典例精讲】【典例精讲】 1、已知 A、B 两地的位置如图所示，且BAC60，那么下列语句正确的是（ ） AA 地在 B 地的北偏东 60方向 BA 地在 B 地的北偏东 30方向 CB 地在 A 地的北偏东 60方向 DB 地在 A 地的北偏东 30方向 2、15 点整时针与分针的夹角度数为（ ） A60 B75 C90 D100 3、 如图， 在灯塔O观测小岛B位于南偏西
9、63的方向， 同时小岛C在灯塔O的北偏东27 的方向，那么BOC的度数为（ ） A126 B144 C153 D117 4、钟表在 3 点半时，它的时针和分针所成的锐角是 ( ) A15 B70 C75 D90 【课后巩固】【课后巩固】 1、已知a30，则a的余角的度数为（ ） A60 B90 C150 D180 2、下列说法错误的是（ ） A经过两点有一条直线，并且只有一条直线； B两点的所有连线中，线段最短； C连接两点的线段叫两点之间的距离； D同角（等角）的补角相等 3、有下列说法：锐角的补角一定是钝角 一个角的补角一定大于这个角 如果两个 角是同一个角的补角，那么这两个角相等 锐角和
10、钝角互补，其中正确说法的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 4、某一时刻钟表上时针和分针所成的夹角是 105，那么这一时刻可能是（ ） A8 点 30 分 B9 点 30 分 C10 点 30 分 D以上答案都不对 5、阅读下列语句：（1）延长射线OM；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是 直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角； （6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90； （7）相等的两个角是对顶角； （8） 若180ABC ， 则这三个角互补；（9） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 其 中正确的说法有（ ） A2 个 B3 个 C4
11、 个 D5 个 6、已知=3455，则的余角等于（ ） A665 B655 C6555 D555 7、若1，2互为补角，且12 ，则下列表示2的余角的式子中正确的是（ ） 1 12 2 ；1 90 ； 1 12 2 ； 1 21 2 . A B C D 8、 如图， 将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上， 下列各组角一定能互补的是 （ ） ABCD 和ACF BACD 和ACF CACB 和DCB DBCF 和ACF 9、已知一个角是这个角的余角的 1 3 ，则这个角的度数是（ ） A45 B60 C67.5 D22.5 10、65 15 的余角的补角等于_ 11、已知一个锐角的度数为71
12、.52，则这个角的余角为_（结果用度、分、 秒来表示） 12、一个锐角的补角比它的余角的 3 倍少40，这个锐角的度数是_ 要点要点 1 1：余角、补角、对顶角：余角、补角、对顶角 【要点梳理】【要点梳理】 1.1.余角与补角余角与补角 （1 1）定义：）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余互余， 其中一个角叫做另一个角的余角余角 类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补互补，其中一个角 叫做另一个角的补角补角 （2 2）性质：）性质：同
13、角（等角）的余角相等同角（同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等等角）的补角相等 【注意】【注意】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它 们的位置无关们的位置无关(2)一个锐角的补角比它的余角大 90 2.2.对顶角对顶角 （1 1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边( (相对相对) )的两个角的两个角， 互为对顶角 （2 2）性质：）性质：对顶角相等对顶角相等 【注意】【注意】 (1)对顶角对顶角满足的条件： 相等的两个角；
14、 有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反相等的两个角； 有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反 向延长线向延长线. . (2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会 产生邻补角，邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延 长线长线. . 【典例精讲】【典例精讲】 1、如果1与2互为余角，1与3互为补角，2与3的和等于平角的 2 3 ，那么这三 个角的度数分别为（ ） A75 15 105, B30 60 120, C50 40 130, D70 20 110, 【答案】A 2、下列各
15、图中，1 和2 是对顶角的是（ ） 课程类型：新授课课程类型：新授课衔接课衔接课 年级：新初一年级：新初一 学科：数学学科：数学 课程主题课程主题 第第 6 6 单元单元 第第 3 3 节：余角、补角、对顶角节：余角、补角、对顶角 A B C D 【答案】C 3、下列图形中的两个角互为补角的是（ ） A和 B和 C和 D和 【答案】C 4、 已知是锐角， 与互补， 与互余， 则与的关系为 （ ） A90 B+90 C+180 D 【答案】A 5、若1与2互补，155 15，则2的度数为（ ） A124 45 B134 45 C35 45 D34 45 【答案】A 6、已知一个角是60，那么这个
16、角的补角的度数是（ ） A120 B150 C60 D30 【答案】A 7、已知A=105，则A 的补角的余角等于（ ） A35； B25； C15； D5； 【答案】C 8、一个角的余角是 30 度，则这个角是（ ）度 A20 B30 C60 D150 【答案】C 9、下列叙述正确的是（ ） A一个钝角和一个锐角一定互为补角 B每一个锐角都有余角 C两个锐角一定互为余角 D一个钝角的余角是锐角 【答案】B 10、已知A=50，则A的补角等于（ ） A40 B100 C130 D150 【答案】C 11、若45n ， 45n ，则 与 的关系是（ ） A互补 B互余 C和为钝角 D和为周角 【
17、答案】B 12、 一副三角板ABC、DBE， 如图 1 放置， （D=30、BAC45） ， 将三角板DBE 绕点B逆时针旋转一定角度，如图 2 所示，且 0CBE90，则下列结论中正确 的个数有（ ） DBCABE的角度恒为 105； 在旋转过程中，若BM平分DBA，BN平分EBC，MBN的角度恒为定值； 在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 90的次数为 2 次； 在图 1 的情况下，作DBFEBF ，则AB平分DBF A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】A 13、一个角的补角比它的余角的 3 倍少20，这个角的度数是_度 【答案】35 要点要点 2 2：方位角与钟表上的
18、角：方位角与钟表上的角 【要点梳理】【要点梳理】 1、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线 OA 的方向是北偏东 60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表示方 向的角，就叫做方位角 【注意】【注意】 （1 1）正东，正西，正南，正北）正东，正西，正南，正北 4 4 个方向不需要用角度来表示；个方向不需要用角度来表示； （2 2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东 6060”一般不说成“东偏北”一般不说成“东偏北 3030”；”； （3） 在同一问题中观察点可能不
19、止一个， 在不同的观测点都要画出表示方向的 “十字线” ， 确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点 O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以 O 为端点 2 2、钟表上有关角问题、钟表上有关角问题 钟表中共有 1212 个大格个大格，把周角 12 等分、每个大格对应每个大格对应 3030的角，分针分针 1 1 分钟转分钟转 6 6， 时针每小时转时针每小时转 3030，时针时针 1 1 分钟转分钟转 0.50.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度 的计算问题 【典例精讲】【典例精讲】 1、已知 A、B 两地的位置如图所示，且BAC60，那么下列语句正确的是（ ） A
20、A 地在 B 地的北偏东 60方向 BA 地在 B 地的北偏东 30方向 CB 地在 A 地的北偏东 60方向 DB 地在 A 地的北偏东 30方向 【答案】D 2、15 点整时针与分针的夹角度数为（ ） A60 B75 C90 D100 【答案】C 3、 如图， 在灯塔O观测小岛B位于南偏西63的方向， 同时小岛C在灯塔O的北偏东27 的方向，那么BOC的度数为（ ） A126 B144 C153 D117 【答案】B 4、钟表在 3 点半时，它的时针和分针所成的锐角是 ( ) A15 B70 C75 D90 【答案】C 【课后巩固】【课后巩固】 1、已知a30，则a的余角的度数为（ ） A
21、60 B90 C150 D180 【答案】A 2、下列说法错误的是（ ） A经过两点有一条直线，并且只有一条直线； B两点的所有连线中，线段最短； C连接两点的线段叫两点之间的距离； D同角（等角）的补角相等 【答案】C 3、有下列说法：锐角的补角一定是钝角 一个角的补角一定大于这个角 如果两个 角是同一个角的补角，那么这两个角相等 锐角和钝角互补，其中正确说法的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 4、某一时刻钟表上时针和分针所成的夹角是 105，那么这一时刻可能是（ ） A8 点 30 分 B9 点 30 分 C10 点 30 分 D以上答案都不对 【答案】B 5、阅读下列语
22、句：（1）延长射线OM；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是 直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角； （6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90； （7）相等的两个角是对顶角； （8） 若180ABC ， 则这三个角互补；（9） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 其 中正确的说法有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 6、已知=3455，则的余角等于（ ） A665 B655 C6555 D555 【答案】D 7、若1，2互为补角，且12 ，则下列表示2的余角的式子中正确的是（ ） 1 12 2 ；1 90 ； 1 12 2 ； 1 21 2 . A B C D 【答案】C 8、 如图， 将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上， 下列各组角一定能互补的是 （ ） ABCD 和ACF BACD 和ACF CACB 和DCB DBCF 和ACF 9、已知一个角是这个角的余角的 1 3 ，则这个角的度数是（ ） A45 B60 C67.5 D22.5 【答案】D 10、65 15 的余角的补角等于_ 【答案】155 15 11、已知一个锐角的度数为71.52，则这个角的余角为_（结果用度、分、 秒来表示） 【答案】18 2848 12、一个锐角的补角比它的余角的 3 倍少40，这个锐角的度数是_ 【答案】25