1、思维特训(十三) 反比例函数图象的几何性质应用反比例函数图象与图形的面积相结合的题目是中考命题的热点，这类问题通常涉及两个方面：一是根据反比例函数图象上点的坐标并结合图形的性质求图形的面积，解决这类问题的基本思路是借助点的坐标表示线段的长度，并将一般转化为特殊，注意反比例函数图象中 k 的几何意义的应用；二是已知图形的面积求反比例函数 y 中的 k 值，解决这类kx问题的基本思路是根据面积求图象上点的坐标类型一 求图形的面积1如图 13S1，点 E，F 在反比例函数 y 的图象上，直线 EF 分别与 x 轴、y 轴2x交于点 A，B ， 且 BEBF1 3，则OEF 的面积是_ 图 13S12
2、如图 13S2，点 C，D 在双曲线 y (x0) 上，点 A，B 在 x 轴上，且3xOAAB，CO CA，DA DB ，则 SOCA S ADB _ 图 13S232017恩施州 如图 13S 3，AOB 90，反比例函数 y (x0)的图象过点2xA( 1，a) ，反比例函数 y (k0，x 0) 的图象过点 B， 且 ABx 轴kx(1)求 a 和 k 的值；(2)过点 B 作 MNOA，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，交双曲线 y 于另一点 C，求kxOBC 的面积图 13S34如图 13S4，直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系中 ，直角边 ABx 轴，垂足为 Q，已知A
3、CB60，点 A，C ，P 均在反比例函数 y 的图象上，作 PFx 轴于4 3x点 F，ADy 轴于点 D，延长 DA，FP 交于点 E，且 P 为 EF 的中点(1)求点 B 的坐标；(2)求四边形 AOPE 的面积图 13S4类型二 求 y 中的 k 值kx5如图 13S5，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 和正方形 DOFE 的顶点B，F 在 x 轴上，顶点 C，D 在 y 轴上，且 SADF 4，反比例函数 y (x0)的图象经过点kxE，则 k_ 图 13S56如图 13S6，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限，点 D 在边 BC 上
4、，且AOD 30，四边形 OABD 与四边形 OABD 关于直线 OD 对称(点A和 A，B 和 B 分别是对应点) 若 AB1，反比例函数 y (k0)的图象恰好经过点kxA，B ，则 k 的值为_图 13S67如图 13S8，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴上，反比例函数 y (x0) 的图象经过菱形对角线的交点 A，且与边 BC 交于点 F，点 A 的坐标为kx(4，2)(1)求反比例函数的表达式；(2)求点 F 的坐标图 13S88(1)如图 13S 7，过反比例函数 y (x0) 图象上任意一点 P(x，y)，分别向 xkx轴、y 轴作垂线 ，垂线段分别为
5、PA，PB ，求证：S 矩形 OAPBk，S OAP k，S OPB k；12 12(2)如图 13S7，反比例函数 y (x0) 的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，kx分别与 AB，BC 交于点 D，E，若四边形 ODBE 的面积为 9，求 k 的值图 13S7详解详析1. 解析 作 EPy 轴于点 P，EC x 轴于点 C，FDx 轴于点 D，FHy 轴于点83H，如图所示：EPy 轴，FHy 轴，EP FH，BPEBHF， ，即 HF3PE.PEHF BEBF 13设 E 点的坐标为(t， )，则 F 点的坐标为(3t， )2t 23tS OEF S OFD S OEC S 梯
6、形 ECDF，而 SOFD S OEC 21，12S OEF S 梯形 ECDF ( )(3tt) .1223t 2t 8324 解析 作 CMx 轴于点 M，DNx 轴于点 N，连接 OD，如图，COCA，DADB，OM AM OA，ANBN AB，12 12S MOC S MAC ，S NAD S NBD .点 C，D 在双曲线 y (x0)上，S MOC S NOD 31.5.3x 12又OAAB，S NAD SOAD SNOD 0.5，12 13S OCA S ADB 2S MOC 2S NAD 21.520.54.3解：(1)反比例函数 y (x0) 的图象过点 A(1， a)，2x
7、a 2，A(1，2)2 1过点 A 作 AE x 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，AE2，OE 1.ABx 轴，BF2.AOB90，EAO AOE AOEBOF90，EAOBOF，AEOOFB， ，OF4，AEOF OEBFB(4，2) ， k428.(2)直线 OA 过点 A(1，2)，直线 OA 的函数表达式为 y2x.MNOA，设直线 MN 的函数表达式为 y2xb， 224b，b10，直线 MN 的函数表达式为 y2x10.直线 MN 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，M(5，0) ，N(0 ，10)，解 得 或 C (1，8)，y 2x 10，y 8x， ) x
8、1，y 8) x 4，y 2， )S OBC S OMN S OCN S OBM 510 101 5215.12 12 124解：(1)点 A 在反比例函数 y 的图象上，AD AQ4 .43x 3又ACB60，BCBAADAQ 1 .3设 ADx，则 AQ x，x x4 ，3 3 3解得 x2( x2 不合题意，舍去)，点 A 的坐标为(2，2 )，3点 B 的坐标为(2，2 )3(2)点 A 的坐标为(2，2 )，AQEF2 .3 3P 为 EF 的中点 ，PF .3点 P 在函数 y 的图象上，4 3x点 P 的坐标为(4， )，即 OF4，3S 矩形 ODEF42 8 ，3 3S 四边
9、形 AOPE S 矩形 ODEFS OAD S OPF 8 2 2 4 .3 3 3 358 解析 设正方形 ABOC 和正方形 DOFE 的边长分别是 m，n，则AB OBm， DEEFOF n，BFOBOF m n ，S ADF S 梯形 ABODS DOFS ABF m(mn) n2 m(mn) n24，n 28.12 12 12 12点 E(n，n)在反比例函数 y (x0)的图象上，kn 28.kx6. 解析 四边形 OABC 是矩形，AB1，设 B(m，1)，OABCm.433四边形 OABD 与四边形 OABD 关于直线 OD 对称，OA OA m，A ODAOD30，AOA 6
10、0.过点 A作 AEOA 于点E，OE m，A E m， A( m， m)12 32 12 32反比例函数 y (k0)的图象恰好经过点kxA，B ， m mm，m ，k .12 32 433 4337解：(1)把 A(4，2)代入 y ，得 2 ，kx k4解得 k8，反比例函数的表达式为 y .8x(2)如图，分别过点 A，C ，F 作 AEx 轴于点 E，CGx 轴于点 G，FHx 轴于点H，四边形 OBCD 是菱形，OA OC，OBBC.12AEx 轴，CGx 轴，AECG，AOECOG， ，AECG OEOG OAOC 12CG2AE 4，OG2OE8.设 BCx，则 BG8x ，在
11、 Rt BCG 中 ，由勾股定理得 BC 2BG 2CG 2，即 x2(8x) 24 2，解得 x5，OB BC5，BG3.设点 F 的横坐标为 m，则点 F 的纵坐标为 ，8mFHx 轴，CG x 轴，FHCG，BFHBCG， ，BHBG FHCG即 ，解得 m16，m 21(舍去) ，m 53 8m4 ，点 F 的坐标为(6， )8m 43 438解：(1)点 P(x，y)在反比例函数 y (x0) 的图象上，xy k.kxPAx 轴，PBy 轴，四边形 OAPB 是矩形，PBOAx，OBPA y，S 矩形 OAPBOAOBxyk，S OAP OAPA xy k，S 12 12 12OPB OBPB xy k.12 12 12(2)如图，由题意得点 E，M， D 都位于反比例函数 y 的图象上，则 SOCE ，S kx |k|2OAD .|k|2过点 M 作 MGy 轴于点 G，作 MNx 轴于点 N，则 S 矩形 ONMG|k|.又M 为矩形 OABC 对角线的交点 ，S 矩形 OABC4S ONMG4|k |.反比例函数 y 的图象在第一象限，k0，kx 94k，解得 k3.k2 k2