1、思维特训(七) 一元二次方程根与系数关系的运用技巧一元二次方程 ax2bx c 0(a0)的两实数根分别是 x1，x 2，则 x1x 2 ，x 1x2 .ba ca这是一元二次方程根与系数的关系，运用这一关系可解决下列问题：(1)已知方程的一个根，求另一个根方法：利用两根之和或两根之积列方程求解；(2)求与两根有关的代数式的值方法：将所给的代数式变形，使其出现两根之和或两根之积；(3)求方程中字母系数的值方法：根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于字母系数的方程或不等式；(4)求作方程方法：逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项类型一 已知一根求另一根1若关于 x 的一元二次方程 ax2b
2、x c0 有一个根为1，且a 2，求方程的另一个根4 c c 42已知关于 x 的一元二次方程 mx2(m4)xm 20 的一个根是 1，求方程的另一个根类型二 求与两根有关的代数式的值32017仙桃 若 ， 为方程 2x25x10 的两个实数根，则 223 5 的值为( )A13 B12 C14 D154已知一元二次方程 x23x10 的两个实数根分别为 ， ，不解方程求下列各式的值(1)2 2； (2) 3 3；(3) ； (4)( 1)(1) 5设 x1，x 2 是方程 x2x20170 的两个实数根，求 x132018x 22017 的值6已知关于 x 的方程 x22xk0 有两个不相
3、等的实数根(1)求 k 的取值范围；(2)若 ， 是这个方程的两个实数根，求 的值；1 1 (3)根据(2)的结果你能得出什么结论？类型三 求字母系数的值7已知关于 x 的方程 x22mx(m1)0，若两根倒数的和比两根倒数的积小 1，求m 的值8已知 x1，x 2 是一元二次方程(a6)x 22axa0 的两个实数根(1)是否存在实数 a，使x 1x 1x24x 2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由(2)求使(x 11)( x21)为负整数的实数 a 的整数值9已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2(3a1) x2a 210 的两个实数根，使得(3x 1 x2
4、)(x13x 2)80 成立，求实数 a 的可能值类型四 已知两根作新方程10如果方程 x2px q0 的两个根是 x1，x 2，那么 x1x 2p，x 1x2q.请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于 x 的方程 x2mxn0(n0) ，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知 a，b 满足 a215a50，b 215b50，求 的值；ab ba(3)已知 a，b，c 均为实数，且 abc0，abc16，求正数 c 的最小值详解详析1解：a 2，4c0 且 c40，解得 c4，a2.4 c c 4设方程的另一个根为 x，则 x(1) 2，x2.ca 4 2即
5、方程的另一个根为 2.2解：关于 x 的一元二次方程 mx2(m4)xm 20 的一个根是 1，m(m 4)m 20，解得 m2.方程变为 x23x 20 或 x2x20.设方程的另一个根为 x，则 x12 或 x12，x2 或2，方程的另一个根为 2 或2.3B 解析 为方程 2x25x10 的实数根，2 25 10，即 225 1，2 23551355()31. ， 为方程 2x25x 10 的两个实数根， ， ，2 2355 3( )112.故选 B.52 12 52 124解析 由根与系数的关系，得 3， 1，把要求的代数式分别用， 表示 ，代入求值解：， 是一元二次方程 x23x10
6、 的两个实数根， 3， 1.(1)2 2( ) 22(3) 22( 1)11.(2)3 3 (2 2)(1) 1111.(3) 11. 2 2 11 1(4)(1)(1)() 1(1)( 3)13.5解：x 2x 20170，x 2x2017，x x 22017.又x 1，x 2 是方程 x2x20170 的两个实数根，x 1x 21，x 132018x 22017x 1x122017x 2x 22017x 1(x12017)2017x 2x 22017x 122017x 12017x 2x 22017(x 1 2017)2017x 12017x 2x 22017x 1x 22017(x 1x
7、 2)20172017120172018.6解：(1)44k .方程有两个不相等的实数根， 0，即 44k0，k1.(2)由根与系数的关系可知 2， k， 1 1 （1 ） （1 ）（1 ）（1 ） 21 2. 2 2k1 2 k(3)当 k1 时， 的值与 k 无关1 1 7解：设方程的两个根分别为 x1，x 2，则 x1x 22m ， x1x2(m 1)，由题意可知 1，即1x1 1x2 1x1x2 1， 1，解得 m .x1 x2x1x2 1x1x2 2m （m 1） 1 （m 1） 23此时 4m24( m1)4(m 2m1) 4( 1) 0，符合题意，49 23 289m .238解
8、：(1)根据题意，得 (2a) 24a( a6)24a0，解得 a0.又a60，a6.由根与系数的关系，得 x1x 2 ，2aa 6x1x2 .aa 6由x 1x 1x2 4x 2，得 x1x 24x 1x2， 4 ，解得 a24.2aa 6 aa 6经检验，a24 是方程 4 的解2aa 6 aa 6存在实数 a，使x 1x 1x2 4x 2 成立(2)(x11)(x 21)x 1x 2x 1x21 1 .2aa 6 aa 6 66 a 为负整数，66 a6a 为1 或2，3，6，解得 a7 或 8 或 9 或 12.9解：x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2(3a1) x2a
9、210 的两个实数根，x 1x 2(3a1)，x 1x22a 21，而(3x 1 x2)(x13x 2)80，3x 1210x 1x23x 2280，3(x1x 2)216x 1x280，3(3a1) 216(2a 21)80，5a 218a990，a3 或 a .335当 a3 时，方程 x2(3 a1) x2a 210 的 0，a3 不合题意，舍去，a .33510解：(1)设关于 x 的方程 x2mxn0 (n0) 的两个根为 x1，x 2，x 1x 2m，x 1x2n， ， ，1x1 1x2 x1 x2x1x2 mn 1x1 1x2 1n所求一元二次方程为 x2 x 0，即 nx2mx 10.mn 1n(2)当 ab 时，由题意知 a，b 是一元二次方程 x215x50 的两根，ab15，ab5， 47.ab ba a2 b2ab （a b）2 2abab 152 2（ 5） 5当 ab 时， 112.ab ba综上可知， 47 或 2.ab ba(3)abc0，abc16，abc，ab ，16ca，b 是关于 x 的一元二次方程 x2cx 0 的两根，16c c 2 0.416cc0，c 364，c 4，正数 c 的最小值为 4.