1、思维特训(六) 与一元二次方程有关的阅读理解阅读材料型题是近年来中考试题中出现的新题型，它以内容丰富、构思新颖别致、题型多样为特点，由阅读材料和解决问题两部分组成，让考生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，进而解决问题解答阅读理解题，要读懂材料，正确理解题意，弄清题目要求，理清问题与材料之间的关系把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，多角度去思考，或直接运用阅读中得到的方法、思想解决问题，或在材料中所提供的信息的基础上加以类比、变式、拓展得到类似的方法进行求解类型一 十字相乘法解一元二次方程1阅读下列材料：(1)将多项式 x22x35 分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：竖分
2、二次项与常数项：Error! Error!x2xx，35(5) (7)交叉相乘，验中项：7x(5x)2xx77x，x (5)5x 且 7x(5x )2x.横向写出两因式：x 22x 35(x7)(x5)我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法(2)根据乘法原理：若 ab0，则 a0 或 b0.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x210x210；(2)x22x8；(3)x25x60.类型二 换元法解一元二次方程2请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知(x y3)(xy 4)10，求 xy 的值解：设 txy，则原方程变形为(t3)(t4)10，即 t2t20，(t2)(
3、t1)0，t 12，t 21，xy2 或 xy1.解答问题：已知(x 2y 24)(x 2y 22)7，求 x2y 2 的值类型三 含绝对值的一元二次方程的解法3阅读例题，解答问题例：解方程：x 2 1 0.|x 1|解：(1)当 x10，即 x1 时，原方程化为 x2x 110，即 x2x0，解得 x10，x 21.(2)当 x10，即 x1 时，原方程化为 x2( x1)10，即 x2x20，解得 x11，x 22.x1，x 11，x 22 都舍去综上所述，原方程的解是 x10，x 21.依照上述解法，解方程：x 22 40.|x 2|类型四 与一元二次方程有关的几何问题的解法4发现思考：
4、已知等腰三角形 ABC 的两边长分别是方程 x27x100 的两个根，求等腰三角形 ABC 三条边的长各是多少下边是小明同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因小明的作业解：x 27x100，a1，b7，c10，b 24ac90，x ， b b2 4ac2a 732x 15，x 22.当腰为 5，底为 2 时，等腰三角形的三条边长分别为 5，5，2；当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边长分别为 2，2，5.探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形 ABC 的两边长分别是关于 x 的方程 x2mx 0 的两个实数根m2 14(1)当 m2 时， 求ABC 的周长；
5、(2)当ABC 为等边三角形时，求 m 的值5阅读下列内容，并解题：我们知道，计算 n 边形的对角线条数公式为： n(n3) 12如果一个 n 边形共有 20 条对角线，那么可以得到方程 n(n3) 20.12整理得 n23n400，解得 n8 或 n5.n 为大于或等于 3 的整数，n5 不合题意，舍去，n8，即多边形是八边形根据以上内容，解答下列问题：(1)若一个多边形共有 14 条对角线，求这个多边形的边数；(2)A 同学说： “我求得一个多边形共有 10 条对角线” ，你认为 A 同学的说法正确吗？为什么？类型五 构造一元二次方程6问题：已知方程 x2x 10，求一个一元二次方程，使它
6、的根分别是已知方程根的 2 倍解：设所求方程的根为 y，则 y2x ，所以 x .y2把 x 代入已知方程，得( )2 10.y2 y2 y2化简，得 y22y 40.故所求方程为 y22y 40.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式 )：(1)已知方程 x2x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数；(2)已知关于 x 的一元二次方程 ax2bxc 0( a0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数详解详析1解：(1)x 210x210.因式分解，得(x
7、3)( x7)0，x30 或 x70，x 1 3，x 27.(2)x22x8.整理，得 x22x80，因式分解，得(x2)( x4)0，x20 或 x40，x 1 2，x 24.(3)x25x60.因式分解，得(x6)( x1)0，x60 或 x10，x 1 6，x 21.2解：设 tx 2y 2，则原方程变形为(t4)(t2)7，即 t22t150，解得 t15，t 23(不合题意，舍去) ，x 2y 25.3解：x 22|x2| 40.(1)当 x20，即 x2 时，原方程化为 x22( x2)40，即 x22x0，解得 x10，x 22.x2，x0 舍去(2)当 x20，即 x2 时，原
8、方程化为 x22( x2)40，即 x22x80，解得 x14，x 22.x2，x2 舍去综上所述，原方程的解是 x12，x 24.4解：发现思考：错误之处：当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边长分别为 2，2，5.错误原因：此时不能构成三角形探究应用：(1)当 m2 时， 方程为 x22x 0，x 1 ，x 2 .34 12 32当腰为 时， ， ， 不能构成三角形；12 12 12 32 1212 32当腰为 时，等腰三角形的三边长分别为 ，此时周长为 .32 323212 32 32 12 72故当 m2 时，ABC 的周长为 .72(2)若ABC 为等边三角形 ，则原方程有两个
9、相等的实数根， (m) 2 4( )m 2 2m10，m2 14m 1m 21.故当ABC 为等边三角形时，m 的值为 1.5解：(1)设多边形的边数为 n，根据题意得 n(n3)14，12整理得 n23n280，解得 n7 或 n4.n 为大于或等于 3 的整数，n4 不合题意，舍去，n7，即多边形的边数是 7.(2)A 同学的说法不正确理由如下：当 n(n3) 10 时，整理得 n23n200，12解得 n ，符合方程 n23n200 的正整数 n 不存在，多边形的对角3892线不可能有 10 条6解：(1)设所求方程的根为 y，则 yx，所以 xy.把 xy 代入已知方程 x2 x20，得(y) 2(y )20.化简，得 y2y20.故所求方程为 y2y 20.(2)设所求方程的根为 y，则 y ，所以 x .1x 1y把 x 代入方程 ax2bx c0，得1ya( )2b c0，1y 1y去分母，得 abycy 20.若 c0，有 ax2bx 0，于是方程 ax2bxc0 有一个根为 0，不符合题意c0，故所求方程为 cy2bya0(c0)