1、思维特训(二) 中点四边形中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形中点四边形的形状只与原四边形对角线的位置及数量关系有关(1)若原四边形对角线不垂直也不相等，则所得中点四边形为平行四边形；(2)若原四边形对角线垂直但不相等，则所得中点四边形为矩形；(3)若原四边形对角线不垂直但相等，则所得中点四边形为菱形；(4)若原四边形对角线垂直且相等，则所得中点四边形为正方形 类型一 连接四边形各边中点得到的中点四边形1如图 2S1，任意四边形 ABCD 中，E，F，G ，H 分别是 AB，BC ，CD，DA 上的点，对于四边形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课
2、中 ，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )图 2S1A当 E，F ， G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为菱形B当 E，F，G，H 是各边中点 ，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形C当 E，F，G，H 不是各边中点时 ，四边形 EFGH 可以为平行四边形D当 E，F ， G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 不可能为菱形2已知：如图 2S2，分别以 BM，CM 为边，向BMC 外作等边三角形 ABM 和CDM，E ，F ， G，H 分别为 AB，BC ，CD，DA 的中点(1)猜测四边形 EFGH 的形状；(2)证明你的猜想；(3)BMC 形状的改
3、变是否对上述结论有影响？图 2S23观察探究，完成证明和填空如图 2S3，在四边形 ABCD 中，E，F，G ，H 分别是边 AB，BC ，CD，DA 的中点，顺次连接 E，F，G，H 得到的四边形 EFGH 叫做中点四边形(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形(2)请你探究并填空：当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是_；当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是_；当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是_(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的图 2S3类型二 连接对角线或其他线段中点得到中点四边形4如图 2S4，E，F，G，
4、H 分别是边 AB，BC ，CD， DA 的中点(1)判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；(2)当 BD，AC 满足什么条件时，四边形 EFGH 是正方形(不要求证明)?图 2S45如图 2S5，E，F，G，H 分别是线段 AB，CB ，CD，AD 的中点，连接E，F ，G，H， 判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由图 2S56如图 2S6，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，且 BECF，连接 AE，BF，EF ，AF ，G， H，M ，N 分别是边 AB，AF，EF，BE 的中点(1)猜想四边形 GHMN 的形状，并说明理由；(2)若 AB4，CF2
5、，求四边形 GHMN 的面积图 2S67如图 2S7，在四边形 ABCD 中，ABCD，M，N，P，Q 分别是AD，BC ，BD ， AC 的中点(1)求证：MN 与 PQ 互相垂直平分；(2)连接 MP，MQ，NP，NQ，若 PQ6，MN10，求四边形 MPNQ 的面积和 AB 的长图 2S7详解详析1D 解析 A当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在EF FGGH HE，故四边形 EFGH 为菱形，故 A 正确；B当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在EFGFGHGHE90 ，故四边形 EFGH 为矩形，故 B 正确；C如
6、图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若EHFG，EH FG，则四边形 EFGH 为平行四边形，故 C 正确；D如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若EF FGGH HE，则四边形 EFGH 为菱形，故 D 错误故选 D.2解：(1)四边形 EFGH 是菱形(2)证明：如图，连接 AC，BD，ABM 和 CDM 是等边三角形，AMBM，CMDM，AMBCMD60，AMCBMD.在AMC 和BMD 中，AMBM，AMCBMD ， CMDM，AMCBMD，ACBD.E，F，G，H 分别为 AB， BC，CD，DA 的中点，EFGH AC，EH F
7、G BD，12 12EFFG GHEH，四边形 EFGH 是菱形(3)BMC 形状的改变对上述结论没有影响3解：(1)证明：如图，连接 BD.E，H 分别是 AB，AD 的中点 ，EH 是ABD 的中位线，EH BD，EH BD.12同理，得 FG BD，FG BD ，12EHFG ，EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形(2)矩形 菱形 正方形(3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定的4解：(1)四边形 EFGH 是平行四边形证明：在ABC 中，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，EFAC，且 EF AC，同理有 GHAC，且 GH AC，EFGH 且 EFGH
8、 ，12 12四边形 EFGH 是平行四边形(2)当 ACBD 且 ACBD 时，四边形 EFGH 是正方形5解：四边形 EFGH 为平行四边形理由如下：连接 AC，BD，如图所示：E，F，G，H 分别是线段 AB，CB ，CD，AD 的中点，HG 为DAC 的中位线，EF 为BAC 的中位线，HE 为 ABD 的中位线，GF 为CBD 的中位线，HGAC， EFAC，HEBD ，GFBD ，HGEF，HEGF ，四边形 EFGH 为平行四边形6解：(1)四边形 GHMN 是正方形理由如下：正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，且 BECF，ABBC， ABEBCF90，
9、ABE BCF(SAS) ，AEBF，BAE CBF .又CBFABF90，BAE ABF90，AEBF.G，H，M ， N 分别是边 AB，AF，EF ，BE 的中点，GNHM AE BFGHMN，GHBF，GNAE，12 12四边形 GHMN 是菱形，HGN90，四边形 GHMN 是正方形(2)BECF2，AB4， ABE90，在 RtABE 中，AE 2 ，AB2 BE2 5GN 2 ，12 5 5正方形 GHMN 的面积为 GN25.7解：(1)证明：如图，连接 MP，PN，NQ，QM.M，P 分别是线段 AD，BD 的中点，MP 是ABD 的中位线，MPAB 且 MP AB.12同理，NQAB 且 NQ AB.MPNQ 且 MPNQ ，四边形 MPNQ 是平行四边12形P，N 分别是线段 BD，BC 的中点，NP 是BCD 的中位线，NP CD.12又ABCD，NPMP，平行四边形 MPNQ 是菱形，MN 与 PQ 互相垂直平分(2)如图，设 MN 与 PQ 相交于点 O.由(1)知，平行四边形 MPNQ 是菱形PQ6，MN10，四边形 MPNQ 的面积 PQMN 61030.12 12又由(1)知，MN 与 PQ 互相垂直平分 ，OP3，OM 5，且 OPOM，由勾股定理得到 MP .AB2MP 2 .OP2 OM2 34 34