1、4 探索三角形相似的条件第 1 课时 利用两角的关系判定三角形相似关键问答相似三角形的性质有哪些？1 如图 441，已知ABCDEF，则 x 等于( )图 441A40 B60 C80 D80或 602如图 442，D，E，F，G 四点在ABC 的边上，其中 DG 与 EF 相交于点 H.若ABC EFC70，ACB 60，DGB 40， 则下列哪一组三角形相似( )图 442ABGD ，CEF BABC，CEFCABC，BGD DFGH，ABC3.如图 443，已知ABC 与ADE 相似，且BADE，则下列比例式正确的是( )图 443AADACDEBC BAEBEADDCCAE ABADA
2、C DAE ACADAB命题点 1 利用两角分别相等判定两三角形相似 热度：93%4 如图 444，P 为线段 AB 上一点，AD 分别交 BC，PC 于点 E，G，BC 交 PD于点 F， CPDAB ， 则图中相似三角形有( )图 444A1 对 B2 对 C3 对 D4 对方法点拨根据相似三角形的定义可知：若ABCA BC， ABCABC，则ABC A BC，即三角形相似具有传递性5 2017株洲 如图 445 所示，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF的斜边 EF 上， EF 与 BC 相交于点 G，连接 CF.(1)求证：DAEDCF；(2)求证：ABGCFG.图
3、445解题突破由正方形和等腰直角三角形我们可以得到哪些线段相等，哪些角相等？命题点 2 根据两三角形相似进行计算 热度：90%6. 2016毕节 如图 446，在ABC 中，D 为 AB 边上一点，且BCDA ，已知 BC2 ，AB3，则 BD_2图 446方法点拨在写相似表达式时要像写全等表达式那样，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样也有利于正确写出边的比例式，保证结果正确7 将三角形纸片 ABC 按如图 447 所示的方式折叠，使点 C 落在 AB 边上的点D 处，折痕为 EF.已知 ABAC3，BC4，若以点 B，D，F 为顶点的三角形与ABC相似，则 CF 的长是_图 447易错警示
4、注意根据对应顶点分类讨论.8. 2017六盘水 如图 448，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，在 BA的延长线上取一点 E，连接 OE 交 AD 于点 F.若 CD5， BC8，AE 2，则AF _.图 448解题突破作平行线构造“A ”字形图的相似三角形.命题点 3 有关相似三角形的存在性问题 热度：80%9 如图 449，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过点 P 作 PF AE 于点 F.(1)求证：PFAABE.图 449(2)当点 P 在射线 AD 上运动时 ，设 PAx，是否存在实数 x，使得以点 P，F，E 为顶点
5、的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由易错警示注意 x 的值可能不止一个10 如图 4410，在 RtABC 中，BAC90，AD BC 于点 D，O 是 AC边上一点，连接 BO 交 AD 于点 F，OEOB 交 BC 于点 E.(1)求证：ABFCOE；(2)当 O 为 AC 边的中点， 2 时，如图，求 的值；ACAB OFOE(3)当 O 为 AC 边的中点， n 时，请直接写出 的值ACAB OFOE图 4410方法点拨求线段的比时常借助相似三角形的性质，当比例式中的线段不能构成相似形时，可考虑利用等量代换的方法求解详解详析【关键问答】相似三角形的性
6、质：对应角相等、对应边成比例1C 解析 ABC DEF，B E.B80，Ex80 .故选 C.2B 解析 ABCEFC70，EF AB，ABCEFC ，故 B 正确；在BDG 中，B70，DGB40，则GDB 70 ；在ABC 中，B70，ACB60， 则A50 ，ABC，CEF 与BGD 不相似，故 A，C 错误；EF AB， FGHBGD；BGD 与ABC 不相似，FGH 与ABC 不相似，故 D 错误故选 B.3D 解析 由BADE 可知ABCADE ，AEACAD AB.故选 D.4C 解析 在PCF 和BCP 中，CPF B，C 为公共角，PCFBCP；在 APD 和PGD 中 ，G
7、PDA，D 为公共角，APDPGD；APDPGD，APDPGD，BPFAGP.又AB，AGPBPF.共有 3 对相似三角形故选 C.5证明：(1)由正方形 ABCD 及等腰直角三角形 DEF，可知 ADCEDF90，ADCD，DEDF，ADEADFADFCDF，ADECDF.在DAE 和DCF 中，DEDF，ADECDF， ADCD，DAEDCF.(2)延长 BA 交 ED 于点 M，如图所示DAEDCF，EADFCD，即EAM MADBCDBCF.MADBCD90，EAMBCF.EAM BAG，BAGBCF .又AGBCGF，ABGCFG.6. 解析 BCDA，ABCCBD，ABCCBD，
8、，即83 BCBD ABBC ， 3BD8， BD .2 2BD 32 2 837. 或 2 解析 因为ABC 沿 EF 折叠后点 C 和点 D 重合，所以 FDCF .127设 CFx，则 BF4x，若以点 B，D ，F 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况：若BFDC，则 ，即 ，解得 x ；FDBF ACBC x4 x 34 127若BFDA ，则 ，即 1，解得 x2.FDBF ACAB x4 x综上所述，CF 的长为 或 2.1278. 解析 如图，过点 O 作 OMAD 交 AB 于点 M.169四边形 ABCD 是平行四边形，OBOD，MO 是 ABD 的中位线，AMBM A
9、B ，MO BC4.12 52 12AFOM ，AEF MEO， ，即 ，AF .AEME AFMO 22 52 AF4 1699解析 (1)在PFA 与ABE 中，易得PAF AEB 及PFAABE 90，故可得PFA ABE ；(2)分两种情况列出关系式解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ADBC，PAFAEB.又PFA ABE 90，PFA ABE.(2)若EFPABE， ，如图则PEF EAB，PE AB，四边形 ABEP 为矩形，PABE2，即 x2；若PFE ABE，如图，则PEF AEB.PAF AEB，PEFPAF，PEPA.PFAE，F 为 AE 的中点AE 2 ，A
10、B2 BE2 5EF AE .12 5 ，即 ，PEAE EFEB PE2 5 52PEPA5，即 x5.满足条件的 x 的值为 2 或 5.10解析 (1)要求证ABFCOE，只要证明BAFC，ABF COE 即可(2)作 OHAC ，交 BC 于点 H，易证OFA 和OEH 相似，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值(3)同(2)可得， n.OFOE解：(1)证明：ADBC，DACC90.BAC90，BADDAC90，BADC.OEOB ，BOA COE 90.又BOAABF90，ABF COE.ABF COE.(2)如图，过点 O 作 AC 的垂线交 BC 于点 H，则 OHAB.由(1)得ABFCOE，BAFC ，AFB OEC，AFOHEO.又BAF C ，BAFFAOC EHO 90，FAOEHO，OFAOEH， .OFOE OAOH又O 为 AC 的中点，OHAB，OH 为ABC 的中位线，OH AB，OA OC AC.12 12而 2， 2， 2.ACAB OAOH OFOE(3) n.OFOE