1、2021 年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.下列各数中，化简结果为2021 的是（ ） A（2021） B C|2021| D 2 如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 下列计算正确的是（ ） Am+2m3m B （2m）38m3 Cm2m2m D （mn）3mn3 4 四个相同的不透明的袋子都装有除颜色外无其它差别的小球从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到 红球可能性最大的是（ ） A有 1 个红球和 2 个白球的袋子
2、B有 2 个红球和 3 个白球的袋子 C有 3 个红球和 4 个白球的袋子 D有 4 个红球和 5 个白球的袋子 5 在同一平面直角坐标系中，函数 ykx 与 yx+3k 的图象不可能是（ ） A B C D 6 已知一组正整数 1、2、3、a、b 的平均数为 2，且众数是唯一的，则 ab的值为（ ） A1 B3 C4 D9 7 若关于 x 的分式方程1 有一个正整数解，则整数 a 的值为（ ） A1 B0 C1 D1 或1 8 若一次购买单价分别为 7 元、5 元的两款笔记本共用了 54 元，则 7 元笔记本最少买（ ） A2 本 B3 本 C4 本 D7 本 9 如图，点 D 是等边ABC
3、 内一点，AB，AD，BD2，若将ABD 绕着点 A 逆时针旋转 60 后得到ACE则 tanACE 的值为（ ） A B C D 10 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）顶点坐标为（2，a） ，对于下列结论：abc0；a+b+c0； c3a；若方程 ax2+bx+c20 没有实数根，则2a0其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 11 截止 2021 年 5 月 26 日全球新冠肺炎病例累计确诊逾 16842 万例，16842 万用科学记数法表示为 12 在函数中，自变量 x 的取值范围是 13 如图，点 D 在ABC
4、 内部，DABEAC，若添加一个条件： ，则ADE 等边三角形 14 若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最多为 个 15 已知等边三角形 ABC 的边长为 4， 线段 ADBC， 且 ADBC， 直线 BD 与直线 AC 交于点 E， 则ABE 的面积为 16 如图，双曲线 y（k0）与线段 AB 交于点 A（1，a） 、C 两点，点 B 坐标为（a+1，0） ，连接 OA， OAB 的面积为 6，则 17在平面直角坐标系中， 点A1在x轴的正半轴上， OA11， A2OA1A3OA2A2021OA202030， A2A1OA1，A3A2OA2
5、，A2021A2020OA2020按此规律，则 A2021A2020的长为 三、解答题（本题有 7 个小题，共 69 分） 18（1）计算： （）0+|3|+； （2）因式分解： （m2）23m+2 19 解方程： （x+1）22x1 20 某校为了了解八年级学生线上课堂发言情况，将随机抽取的该年级部分学生某一天在线上课堂上发言次 数统计如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请给合图中相关数据回答下列问题： 组别 发言次数 n A 0n2 B 2n4 C 4n6 D 6n8 E n8 （1）此次调查的样本容量为 ，a ，b ； （2）请补全直方图； （3）在扇形统计图中，B 组所对应的圆
6、心角的度数为 ，C 组所占的百分比为 %； （4）该年级共有学生 1500 人，估计全年级这天发言次数不少于 6 次的有 人 21 如图，在ABC 中，ACBCBD，点 O 在 AC 边上，OC 为O 的半径，AB 是O 的切线，切点为点 D，OC2，OA2 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求阴影部分的面积 22 甲、乙两地相距 200 千米，货车从甲地出发，行驶 1 小时后在途中的丙地出现故障，技术人员乘轿车以 100 千米/小时的速度从甲地赶来维修（沟通时间忽略不计） 到达丙地修好车后以原速原路返回，同时货 车改变速度前往乙地两车距乙地的路程 y（千米）与货车驶时间 x（小时）之间
7、的函数关系如图所示， 请结合图象回答下列问题 （1）货车出现故障前后的速度分别为 、 千米/小时； （2）货车在丙地停留了 小时； （3）求图中线段 CG 的函数关系式： （4）轿车出发后，又过了 小时，两车相距路程为 40 千米 23（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，AC 与 EF 交于点 G请回答下列问 题： 与AEG 全等的三角形为 ，与AEG 相似的三角形为 （相似比不为 1，只填一个即可） ； 若连接 AF、CE，请判断四边形 AFCE 的形状： 并证明你的结论； 拓展延伸 （2）如图 2，矩形 ABCD 中，AB2，BC4，点 M、N
8、分别在 AB、DC 边上，且 AMNC，将矩形折 叠，使点 M 与点 N 重合，折痕为 EF，MN 与 BF 交于点 G，连接 ME 设 mAM2+AE2，nED2+DN2，则 m 与 n 的数量关系为 ； 设 AEa，AMb，请用含 a 的式子表示 b： ； ME 的最小值为 24 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ， 与 y 轴交于点 C OA、 OB 的长是不等式组的整数解 （OAOB） ， 点 D （2， m） 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式及 m 的值； （2）y 轴上的点 E 使 AE 和 DE 的
9、值最小，则 OE ； （3）将抛物线向上平移，使点 C 落在点 F 处当 ADFB 时，抛物线向上平移了 个单位； （4）点 M 在在 y 轴上，平面直角坐标系内存在点 N 使以点 A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形，请直 接写出点 N 的坐标 2021 年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.下列各数中，化简结果为2021 的是（ ） A（2021） B C|2021| D 【考点】算术平方根；立方根 【专题】计算题；实数；运算能力 【答案】D 【分析】利用相反数的概念进行化简判断 A，利用算
10、术平方根的概念化简判断 B，利用绝对值的化简判 断 C，利用立方根的概念化简判断 D 【解答】解：A、（2021）2021，故此选项不符合题意； B、2021，故此选项不符合题意； C、|2021|2021，故此选项不符合题意； D、2021，故此选项符合题意； 故选：D 2 如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】全等图形；中心对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可 【解答】解：两个全等的正方形的四种不同摆放中，第二个和第三个图形是中心对称图形， 故选：B 3 下列
11、计算正确的是（ ） Am+2m3m B （2m）38m3 Cm2m2m D （mn）3mn3 【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法 【专题】整式；运算能力 【答案】A 【分析】 直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、 同底数幂的除法运算法则分别计算得出答案 【解答】解：Am+2m3m，故此选项符合题意； B （2m）38m3，故此选项不合题意； Cm2m21，故此选项不合题意； D （mn）3m3n3，故此选项不合题意； 故选：A 4 四个相同的不透明的袋子都装有除颜色外无其它差别的小球从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到 红球可能性最大的是（ ） A有 1 个红球和
12、 2 个白球的袋子 B有 2 个红球和 3 个白球的袋子 C有 3 个红球和 4 个白球的袋子 D有 4 个红球和 5 个白球的袋子 【考点】可能性的大小 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【答案】D 【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可求比例时，应注意记清各自的数目 【解答】解：A从有 1 个红球和 2 个白球的袋子里摸出一个球，是红球的可能性为； B从有 2 个红球和 3 个白球的袋子里摸出一个球，是红球的可能性为； C从有 3 个红球和 4 个白球的袋子里摸出一个球，是红球的可能性为； D从有 4 个红球和 5 个白球的袋子里摸出一个球，是红球的可能性为； ， 可能
13、性最大的是有 4 个红球和 5 个白球的袋子， 故选：D 5 在同一平面直角坐标系中，函数 ykx 与 yx+3k 的图象不可能是（ ） A B C D 【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象 【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质、正比例函数的性质，可以判断哪个选项正确，本 题得以解决 【解答】解：当 k3 时，函数 ykx 的图象经过第一、三象限且过原点，yx+3k 的图象经过第一、 三、四象限， 当 0k3 时， 函数 ykx 的图象经过第一、 三象限且过原点， yx+3k 的图象经过第一、 二、 三象限； 当 k0 时
14、，函数 ykx 的图象经过第二、四象限且过原点，yx+3k 的图象经过第一、二、三象限， 由上可得，选项 C 不可能； 故选：C 6 已知一组正整数 1、2、3、a、b 的平均数为 2，且众数是唯一的，则 ab的值为（ ） A1 B3 C4 D9 【考点】算术平均数；众数 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念 【答案】C 【分析】根据一组正整数 1、2、3、a、b 的平均数为 2，且众数是唯一的，可以得到 1+2+3+a+b25， 从而可以求得 a+b 的值，从而可以得到 a、b 的值，再根据这组数据的众数是唯一的，从而可以得到 a、 b 的值，从而可以求得 ab的值 【解答】解：一组正整数
15、 1、2、3、a、b 的平均数为 2， 1+2+3+a+b25， a+b4， a1，b3 或 a3，b1 或 a2，b2， 又这组数据的众数是唯一的， a2，b2， ab224， 故选：C 7 若关于 x 的分式方程1 有一个正整数解，则整数 a 的值为（ ） A1 B0 C1 D1 或1 【考点】分式方程的解 【专题】计算题；分式；运算能力 【答案】B 【分析】先解分式方程，得 x，因为有正整数解，所以 x0，得 a1，因为 x10，x1，所以 a 1，即可求出 a 的取值 【解答】解：x（xa）2（x1）x（x1） ， x2ax2x+2x2x， （a+1）x2， x， 分式方程有正整数解，
16、 x0， a+11 或 2， a0 或 1， x10， x1， a1， 整数 a 的值为：a0 故选：B 8 若一次购买单价分别为 7 元、5 元的两款笔记本共用了 54 元，则 7 元笔记本最少买（ ） A2 本 B3 本 C4 本 D7 本 【考点】二元一次方程的应用 【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识 【答案】A 【分析】设购买 x 本 7 元的笔记本，y 本 5 元的笔记本，利用总价单价数量，即可得出关于 x，y 的 二元一次方程，结合 x，y 均为非负整数，即可得出答案 【解答】解：设购买 x 本 7 元的笔记本，y 本 5 元的笔记本，由题意得， 7x+5y5
17、4， 因为 x、y 都是非负整数， 所以当 x2 时，y8； 当 x7 时，y1； 7 元笔记本最少买 2 本， 故选：A 9 如图，点 D 是等边ABC 内一点，AB，AD，BD2，若将ABD 绕着点 A 逆时针旋转 60 后得到ACE则 tanACE 的值为（ ） A B C D 【考点】旋转的性质；解直角三角形 【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理得出ADB90，由旋转的性质得出ABDACE，则可得出答案 【解答】解：AB，AD，BD2，且， AD2+BD2AB2， ADB90， tanABD， 将ABD 绕着点 A 逆时针旋转 60后得到
18、ACE， ABDACE， tanABDtanACE 故选：D 10 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）顶点坐标为（2，a） ，对于下列结论：abc0；a+b+c0； c3a；若方程 ax2+bx+c20 没有实数根，则2a0其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；推理能力；模型思想 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断 即可 【解答】解：抛物线开口向下，则 a0，对称轴 x20，因此 a、b
19、 同号，所以 b0， 抛物线与 y 轴的交点在负半轴，因此 c0， abc0， 因此正确； 当 x1 时，ya+b+c0， 因此不正确； 抛物线过（2，a）点，因此 4a2b+ca，即 5a2b+c0， 对称轴为 x2，即 b4a， 所以 5a8a+c0，即 c3a， 因此正确； 方程 ax2+bx+c20 没有实数根，即抛物线与直线 y2 没有交点， 此时顶点的纵坐标a2， 又a0， 2a0， 因此正确； 综上所述，正确的有，共 3 个， 故选：C 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 11 截止 2021 年 5 月 26 日全球新冠肺炎病例累计确诊逾 16842 万例，16842
20、万用科学记数法表示为 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【答案】1.6842108 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：16842 万1684200001.6842108 故答案为：1.6842108 12 在函数中，自变量 x 的取值范围是 【考点】函数自变量的取值范围 【专题】函数及其图象；应用意识 【答案】x1 且 x1 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围即可 【解答】解：由题意得， 1x0，且 x210， 即 x1，且 x1， 所以
21、 x1 且 x1， 故答案为：x1 且 x1 13 如图，点 D 在ABC 内部，DABEAC，若添加一个条件： ，则ADE 等边三角形 【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质 【专题】图形的全等；推理能力 【答案】ADDE 或DAE60或BAC60或 ABBC 等 【分析】根据全等三角形的性质和等边三角形的判定即可得到结论 【解答】解：DABEAC， ABAC，ADAE，BADCAE， 添加 ADDE 或DAE60或BAC60或 ABBC 等， ADE 是等边三角形， 故答案为：ADDE 或DAE60或BAC60或 ABBC 等 14 若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图如图
22、所示，则组成这个几何体的小正方体最多为 个 【考点】由三视图判断几何体 【专题】投影与视图；几何直观 【答案】5 【分析】易得此几何体有两行，两列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可 【解答】解：底层正方体最多有 4 个正方体，第二层最多有 1 个正方体，所以组成这个几何体的小正方 体的个数最多有 5 个 故答案为：5； 15 已知等边三角形 ABC 的边长为 4， 线段 ADBC， 且 ADBC， 直线 BD 与直线 AC 交于点 E， 则ABE 的面积为 【考点】平行线的性质；等边三角形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【答案】或 【分析】分两种情况：点 D 在 A 的
23、右侧和左侧，根据平行线分线段成比例定理和三角形相似列比例式可 得 AE 和 CE 的关系，再根据同高三角形面积的关系可得结论 【解答】解：分两种情况： 如图 1，点 D 在 A 的右侧， 等边三角形 ABC 的边长为 4， ABC 的面积424， ADBC， ， ADBC， ， ， ，即， SABE； 如图 2，点 D 在点 A 的左边， ADBC， ADECBE， ， AEAC， SABESABC4， 综上，ABE 的面积为或 4 故答案为：或 16 如图，双曲线 y（k0）与线段 AB 交于点 A（1，a） 、C 两点，点 B 坐标为（a+1，0） ，连接 OA， OAB 的面积为 6，则
24、 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；运算能力；推理能力；模型思想 【答案】 【分析】根据点 A、B 的坐标可求出 a 的值，再求出点 C 的坐标，利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解：过点 A、C 分别作 AMOB，CNOB，垂足为 M、N，过点 C 作 CDAM，垂足为 d， A（1，a） 、B（a+1，0） ， OM1，AMa，ONa+1， MBAMa， 又OAB 的面积为 6，即OBAM6， a（a+1）6， 解得 a3（取正值） ， AMMB3， 设 NBb，则 CNb， C（4b，b） A（1，3） ，C
25、（4b，b）都在反比例函数图象上， （4b）b13， 解得 b1 或 b3（舍去） ， CNDN1， AD312， CDOB， ， 故答案为： 17在平面直角坐标系中， 点A1在x轴的正半轴上， OA11， A2OA1A3OA2A2021OA202030， A2A1OA1，A3A2OA2，A2021A2020OA2020按此规律，则 A2021A2020的长为 【考点】规律型：点的坐标 【专题】规律型；平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识 【答案】 【分析】观察图形可得，OA1A2，OA2A3， ，OA2020A2021都是含有 30角的直角三角形，根据 30 角所对的边
26、等于斜边的一半，找出规律写出 A2021A2020的长即可 【解答】解：A1A2OA1，A2A3OA2， ，A2020A2021OA2020， 且A2OA1A2OA3 A2020OA202130， OA1A2，OA2A3， ，OA2020A2021都是含有 30角的直角三角形， 在 RtOA1A2中，OA11，A1A2OA2， 由勾股定理可得：OA12+A1A22OA22， ， OA2， 同理可得：A2A3， A3A4， A4A5， 当 n 为奇数时，AnAn+1； 当 n 为偶数时，AnAn+1， A2021A2020的长为， 故答案为： 三、解答题（本题有 7 个小题，共 69 分） 18
27、（1）计算： （）0+|3|+； （2）因式分解： （m2）23m+2 【考点】零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；因式分解；二次根式；运算能力 【答案】 （1）6+； （2） （m1） （m6） 【分析】 （1）先化简零指数幂，二次根式，特殊角三角函数，绝对值，然后先算乘除，再算加减； （2）先利用完全平方公式计算乘方，然后合并同类项化简，再利用十字相乘法分解因式 【解答】解： （1）原式1+（3）+ 1+3+ 1+2+3+ 6+； （2）原式m24m+43m+2 m27m+6 （m1） （m6） 19 解方程： （x+1）22x1 【考点】解一元二次方程公式法
28、 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】方程无实数根 【分析】整理后得出 x2+20，求出 b24ac 的值，再得出答案即可 【解答】解：整理，得 x2+2x+12x1， x2+2x+12x+10， x2+20， 0241280， 此方程无实数根 20 某校为了了解八年级学生线上课堂发言情况，将随机抽取的该年级部分学生某一天在线上课堂上发言次 数统计如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请给合图中相关数据回答下列问题： 组别 发言次数 n A 0n2 B 2n4 C 4n6 D 6n8 E n8 （1）此次调查的样本容量为 ，a ，b ； （2）请补全直方图； （3）在扇形统计图
29、中，B 组所对应的圆心角的度数为 ，C 组所占的百分比为 %； （4）该年级共有学生 1500 人，估计全年级这天发言次数不少于 6 次的有 人 【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图； 扇形统计图 【专题】统计的应用；应用意识 【答案】 （1）50，3，4； （2）见解答； （3）108，36； （4）420 【分析】 （1）根据 D 组的发言人数和 D 组发言人数所占的百分比，即可求出被抽取的学生人数，再根据 A、E 组所占百分比即可求 a，b； （2）根据总人数求出 C 组的人数，补全直方图即可； （3）360乘 B 组所占总人数之比即
30、可得 B 组所对应的圆心角的度数，用 C 组所占总人数之比乘 100% 即可； （4）用总人数 1500 乘 E、D 两组人数所占的百分比，计算即可 【解答】解： （1）被调查的学生人数为 1020%50（人） ， A 组人数为：506%3（人） ， E 组的人数是 508%4（人） ， 此次调查的样本容量为 50，a3，b3， 故答案为：50，3，4； （2）C 组的人数是 50（3+4+15+10）18（人） ， 补全频数分布直方图如下： （3）在扇形统计图中，B 组所对应的圆心角的度数为 360108，C 组所占的百分比为 36%； 故答案为：108，36； （4）1500420（人）
31、， 故答案为：420 21 如图，在ABC 中，ACBCBD，点 O 在 AC 边上，OC 为O 的半径，AB 是O 的切线，切点为点 D，OC2，OA2 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求阴影部分的面积 【考点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推 理能力 【答案】 （1）见解析； （2）4+4 【分析】 （1）连接 OD，由切线的性质可证得ODC90，证得BCOBDO 得到OCBODC 90，根据切线的判定即可证得 BC 是O 的切线； （2）根据 S阴影SABCSOADS扇形
32、OCD计算即可求出结果 【解答】 （1）证明：连接 OD， AB 是O 的切线，切点为点 D， ODBC， ODC90， 在BCO 和BDO 中， ， BCOBDO（SSS） ， OCBODC90， OC 为O 的半径， BC 是O 的切线； （2）解：BC 是O 的切线，切点为点 C， ACB90， ACBC， CABCBA45， AB 是O 的切线，切点为点 D， ODA90， AOD180ODAOAD45， COD180AOD135，ADODOC2， SOADODAD222， BCACOC+OA2+2， SABCACBC（2+2）26+4， S扇形OCD， S阴影SABCSOADS扇形O
33、CD6+424+4 22 甲、乙两地相距 200 千米，货车从甲地出发，行驶 1 小时后在途中的丙地出现故障，技术人员乘轿车以 100 千米/小时的速度从甲地赶来维修（沟通时间忽略不计） 到达丙地修好车后以原速原路返回，同时货 车改变速度前往乙地两车距乙地的路程 y（千米）与货车驶时间 x（小时）之间的函数关系如图所示， 请结合图象回答下列问题 （1）货车出现故障前后的速度分别为 、 千米/小时； （2）货车在丙地停留了 小时； （3）求图中线段 CG 的函数关系式： （4）轿车出发后，又过了 小时，两车相距路程为 40 千米 【考点】一次函数的应用 【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能
34、力 【答案】 （1）50 千米/小时，60； （2）1.5； （3）y100 x100（2.5x3） ； （4）0.1 或 1.75 【分析】 （1）根据题意和图象中的数据，可以先计算出货车出现故障前的速度，然后可以计算出轿车从 甲地到货车出现故障的地方用的时间，然后即可计算出货车出现故障后的速度； （2）根据函数图象中的数据和（1）中的结果，可以计算出货车在丙地停留的时间； （3）根据（1）中的结果可以计算出点 C 的坐标，再根据图象中点 G 的坐标，即可得到线段 CG 的函数 关系式； （4）根据题意和图象，利用分类讨论的方法，可以计算出轿车出发后，又过了多长时间，两车相距路程 为 40
35、千米 【解答】解： （1）由图象可得， 货车出现故障前的速度为： （200150）150（千米/小时） ， 轿车从甲地到货车出现故障的地方用的时间为： （200150）1000.5（小时） ， 故货车出现故障后的速度为：150（53+0.5）60（千米/小时） ， 故答案为：50 千米/小时，60； （2）货车在丙地停留了：310.51.5（小时） ， 故答案为：1.5； （3）点 C 的横坐标为：30.52.5， 故点 C 的坐标为（2.5，150） ， 设线段 CG 的函数关系式为 ykx+b， 点 C（2.5，150） ，G（3，200） ， ， 解得， 即线段 CG 的函数关系式是 y
36、100 x100（2.5x3） ； （4）设轿车出发后，又过了 t 小时，两车相距路程为 40 千米， 当轿车到达货车出现故障前相距 40 千米时，100t20015040，得 t0.1， 当轿车到达货车出现故障后相距 40 千米时，t+12.5，得 t1.75， 故答案为：0.1 或 1.75 23（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，AC 与 EF 交于点 G请回答下列问 题： 与AEG 全等的三角形为 ，与AEG 相似的三角形为 （相似比不为 1，只填一个即可） ； 若连接 AF、CE，请判断四边形 AFCE 的形状： 并证明你的结论； 拓展延伸
37、 （2）如图 2，矩形 ABCD 中，AB2，BC4，点 M、N 分别在 AB、DC 边上，且 AMNC，将矩形折 叠，使点 M 与点 N 重合，折痕为 EF，MN 与 BF 交于点 G，连接 ME 设 mAM2+AE2，nED2+DN2，则 m 与 n 的数量关系为 ； 设 AEa，AMb，请用含 a 的式子表示 b： ； ME 的最小值为 【考点】相似形综合题 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力 【答案】 （1）CFG，ADC 和CBA；菱形，理由见解答过程； （2）mn；b52a； 【分析】 （1）根据矩形的性质和翻折的性质可证AEGCFG，ADCCBA，AGEADC
38、， 即可得出答案； 由知AEGCFG， 得 AECF， 由翻折得 AFCF， AECE， 则 AFCFCEAE， 可得结论； （2）连接 NE，由翻折得 EF 是 MN 的垂直平分线，则 MENE，利用勾股定理得 AM2+AE2ME2， ED2+DN2EN2，则 mn； 由可知 AM2+AE2ED2+DN2，则 b2+a2（4a）2+（2b）2，化简即可； 由得 AEa，AM52a，则 ME2a2+（52a） 25a220a+25，利用二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADCCBA，D90， DACACB， 将矩形 ABCD 折叠，使点 A 与点
39、 C 重合，折痕为 EF， EFAC，AGCG， 在AEG 和CFG 中， ， AEGCFG（ASA） ， AGED90，GAEDAC， AGEADC， 与AEG 全等的三角形为CFG，与AEG 相似的三角形为ADC 和CBA， 故答案为：CFG，ADC 和CBA； 如图，四边形 AFCE 是菱形，理由如下： 将矩形 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF， AFCF，AECE， 由知AEGCFG， AECF， AFCFCEAE， 四边形 AFCE 是菱形； （2）如图，连接 NE， 将矩形折叠，使点 M 与点 N 重合，折痕为 EF， EF 是 MN 的垂直平分线， MENE
40、， AD90， AM2+AE2ME2，ED2+DN2EN2， mAM2+AE2，nED2+DN2， m 与 n 的数量关系为 mn， 故答案为：mn； 由可知 AM2+AE2ED2+DN2， b2+a2（4a）2+（2b）2， 化简得 b52a， 故答案为 b52a； 由得 AEa，AM52a， ME2a2+（52a）25a220a+25， 50， a2 时，ME2最小，最小值为 522202+255， ME0， ME 的最小值为， 故答案为： 24 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ， 与 y 轴交于点 C OA
41、、 OB 的长是不等式组的整数解 （OAOB） ， 点 D （2， m） 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式及 m 的值； （2）y 轴上的点 E 使 AE 和 DE 的值最小，则 OE ； （3）将抛物线向上平移，使点 C 落在点 F 处当 ADFB 时，抛物线向上平移了 个单位； （4）点 M 在在 y 轴上，平面直角坐标系内存在点 N 使以点 A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形，请直 接写出点 N 的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】二次函数的应用；应用意识 【答案】 （1）该抛物线的解析式为 yx2x6；m 的值为4； （2）2； （3）9； （4）N1（5，4） 、 N2（5，
42、4） 、N3（5，） 、N4（5，） 【分析】 （1）求出不等式组的解集，确定 A、B 两点的坐标，用待定系数法即可求二次函数的解析式； 将点 D 的横、纵坐标代入解析式，可求 m 的值； （2）连接 AD 交 y 轴于点 E，求出直线 AD 的解析式就可以求点 E 的坐标，进而求出 OE； （3）因为 ADFB，可用相似三角形的性质求出 OF 的长度，进而求出点 C 移动的单位长度； （4）利用菱形的性质，分类讨论，针对不同的情况，分别求出点 N 的坐标 【解答】解： （1）所给不等式组的解集为 2x4，其整数解为 2，3， OA、OB 的长是所给不等式组的整数解，且 OAOB， OA2，O
43、B3，则 A（2，0） ，B（3，0） ， 点 A、B 在抛物线上， ， 解得， 所求的抛物线的解析式为 yx2x6， 点 D（2，m）在抛物线上， m22264； （2）如图 1 所示，连接 AD 交 y 轴于点 E，则此时 AE+ED 最小， 设直线 AD 的解析式为 ykx+b（k0） ， 点 A（2，0） ，D（2，4）在直线 AD 上， ， 解得， 直线 AD 的函数解析式为 yx2， 当 x0 时，y2， 即 E（02） ， OE|2|2， 故答案为：2； （3）如图 1， ADFB， AEOBFO， ， OEOA2， OFOB3， C（0，6） ， OC|6|6， CFCO+OF
44、6+39， 抛物线向上平移 9 个单位， 故答案为：9； （4）以 A、B、M、N 为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分， 由OAOB， AB 与 MN 不能作为一组对角线， 分两种情况： 以 AM 与 BN 为对角线时，如图 2和图 2， 如图 2，ABOA+OB2+35， 四边形 ABMN 是菱形， MNABx 轴，MNMBAB5， 在 RtMBO 中，OM4， M（0，4） ， N（5，4） ， 如图 2，同理可得：N（5，4） ， 以 AN 与 BM 为对角线时，如图 2和图 2， 如图 2，菱形的边长仍为 5，MNx 轴， MO， M（0，） ， N（5，） ， 如图 2，同理可得：N（5，） ， 综上所述，两种情况，符合条件的点 N 的坐标为： N1（5，4） 、N2（5，4） 、N3（5，） 、N4（5，）