1、5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 5.3 5.3 应用应用一元一次方程一元一次方程 水箱变高了水箱变高了 北师大版北师大版 数学数学 七年级七年级 上册上册 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / h r 阿基米德阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地 方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ 形状改变，形状改变， 体积不变体积不变. . = 导入导入新知新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了
2、/ / 1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关数量关 系和等量关系系和等量关系. 2. 能利用能利用一元一次方程解决简单的一元一次方程解决简单的图形问题图形问题. 3. 利用体积利用体积不变不变、周长、周长不变不变列方程列方程. 素养目标素养目标 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 某居民楼顶有一个底面直径和高均为某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱的圆柱形储水箱 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需 要将它的底面直径
3、由要将它的底面直径由4 m减少为减少为3.2 m那么在容积不变的前提那么在容积不变的前提 下，水箱的高度将由原先的下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少？变为多少？ 知识点 图形问题图形问题 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 等积问题有哪些等量关系呢？等积问题有哪些等量关系呢？ 前后容积（体积）前后容积（体积）相等相等; ; 前后面积前后面积相等相等. . 探究新知探究新知 思考：思考： 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 在这个问题中的等量关系是在这个问题中的等量关系是_ 设水箱的高变为设水箱
4、的高变为 x 米，填写下表：米，填写下表： 旧水箱旧水箱 新水箱新水箱 底面半径底面半径 高高 容积容积 = 旧水箱的容积旧水箱的容积= =新水箱的新水箱的容积容积. 列方程时关键是找出问题中的列方程时关键是找出问题中的_ 等量等量关系关系. 4 2 m 3.2 2 m 4 m x m 4 2 2 4 3.2 2 2 x 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 解解：设水箱的高变为设水箱的高变为 x米，米， 解得解得 答：答：高变成了高变成了 6.25 米米. 探究新知探究新知 4 2 2 4= = 3.2 2 2 x x= = 6.25
5、5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 什么发生了变化？什么发生了变化？ 什么没有发生变化？什么没有发生变化？ 想一想想一想 张师傅张师傅要将一个底面直径要将一个底面直径为为20厘米厘米，高为高为9厘米厘米的的 “矮胖”形圆柱，锻压成底面直径“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径为为10厘米厘米 的“瘦长”形的“瘦长”形 圆柱圆柱.假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么 圆柱的高变成了多少？圆柱的高变成了多少？ 做一做做一做 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/
6、 / 锻压前锻压前 锻压后锻压后 底面半径底面半径 高高 体积体积 解：解：设锻压后圆柱的高为设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：厘米，填写下表： 等量关系：等量关系： 锻压前的体积锻压前的体积= =锻压后的体积锻压后的体积 20 2 cm 10 2 cm 9 cm x cm 20 2 2 9 10 2 2 x 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 根据等量关系，列出方程：根据等量关系，列出方程： 解方程解方程得：得：x= =36. 因此，高变成了因此，高变成了 厘米厘米. . 36 等体积变形等体积变形 关键问题：关键问题： = =
7、 1029 52x 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 解：解：（1）设长方形的宽为设长方形的宽为x米米， 则则它的长为它的长为( (x+ +1.4) )米米， 由题意由题意得得 2 ( ( x+ +1.4 + +x ) =) =10. 解得解得 x= =1.8. 长长为为：8+ +1.4= =3.2（米米）; 答：答：长方形的长为长方形的长为3.2米，宽为米，宽为1.8米米,面积是面积是5.76平方米平方米. 等量关系：等量关系： （长（长+宽）宽） 2 = = 周长周长. x x+ +1.4 用一根长为用一根长为10米的铁丝围成一个
8、长方形米的铁丝围成一个长方形. （1）使得该长方形的长比宽多使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽米，此时长方形的长、宽 各是多少米呢？面积是多少各是多少米呢？面积是多少？ 例例 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / （2）使得该长方形的长比宽多）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各米，此时长方形的长、宽各 为多少米？它所围成的长方形与（为多少米？它所围成的长方形与（1）所围成的长方形相比，）所围成的长方形相比， 面积有什么变化？面积有什么变化？ 解：解：设长方形的宽为设长方形的宽为x 米，则它的长为米，则它的
9、长为（x+0.8）米米. 由由题意题意,得得 2( (x + +0.8+ + x) =) =10. 解得解得 x = =2.1. 长长为为 2.1+ +0.8= =2.9（米）米）; 面积面积为为 2.92.1= =6.09( (平方米平方米) ); 面积面积增加增加了了：6.09- -5.76= =0.33（平方米平方米）. x x+0.8 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / （3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此 时正方形的边长是多少米？围成的面积与（时正方形的边长是多少
10、米？围成的面积与（2）所围成的面）所围成的面 积相比，又有什么变化？积相比，又有什么变化？ 解：解：设正方形的边长设正方形的边长为为x米米. 由题意得由题意得 4x = = 10. 解，得解，得 x= =2.5. 边边长为长为：2.5米米； 面积面积为为：2.52.5= =6.25( (平方米平方米) ). 面积面积增加增加：6.25- -6.09= =0.16（平方米）平方米）. 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 2.变形前体积变形前体积 = = 变形变形后体积后体积. 1.列方程的关键是正确找出等量关系列方程的关键是正确找出等量关
11、系. 4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大. 3.线段长度一定时，不管围成线段长度一定时，不管围成怎样的怎样的图形，周长不变图形，周长不变. 归纳小结归纳小结 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 墙墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物， 小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个 长方形长方形，如下图所示，那么，如下图所示，那么，小颖所钉长方形的长和，小颖所钉长方形的长和 宽各为多
12、少厘米？宽各为多少厘米？ 10 10 10 10 6 6 ？ 分析：等量关系是分析：等量关系是 变形前后周长变形前后周长相等相等, , 解：解：设长方形的长是设长方形的长是 x 厘米厘米. .则则 解得解得 因此，因此，小小颖颖所所钉长方形的长是钉长方形的长是16厘米，宽是厘米，宽是10厘米厘米. . 小颖所钉长方形的小颖所钉长方形的宽宽是是10厘米厘米. . 2（x+ +10）= = 104+ + 62 x = = 16 巩固练习巩固练习 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 把把一一根根9m长长的钢管截的钢管截成成1m长和长和2m长长两种规格均有的短钢
13、管，两种规格均有的短钢管， 且没有余料，设某种截法且没有余料，设某种截法中中1m长长的钢管的钢管有有a根根，则则a的的值可能有值可能有 （ ） A3种 种 B4种 种 C5种 种 D9种 种 B 连接中考连接中考 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 1如图如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的的 长条后长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条的长条如果如果 两次剪下的长条面积正好相等两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是那么原正方形的边长是 ( ( ) )
14、A20 cm B24 cm C48 cm D144 cm B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 2.从一个底面半径是从一个底面半径是10cm的凉水杯中的凉水杯中，向一个底面半径为向一个底面半径为 5cm，高为高为8cm的空玻璃杯中倒水的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后当玻璃杯倒满水后，凉凉 水杯的水面将下降水杯的水面将下降( ( ) ) A8cm B2cm C5cm D4cm B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱
15、变高了/ / 3有一块棱长为有一块棱长为4厘米的正方体铜块厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成要将它熔化后铸成 长长4厘米厘米、宽宽2厘米的长方体铜块厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是铸成后的铜块的高是 _厘米厘米( (不计损耗不计损耗) ) 4李红用李红用40cm长的铁丝围成一个长方形长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多要使长比宽多 4cm，求围成的长方形的面积求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为若设长方形的宽为xcm，根根 据题意列出方程是据题意列出方程是_，面积是面积是_ 8 x+(+(x+ +4)=)=20 96cm2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.3
16、5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 5如图如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为饮料的高度为 20cm；把饮料瓶倒过来放置；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为饮料瓶空余部分的高度为5cm. . 已知饮料瓶的容积为已知饮料瓶的容积为30cm3，则瓶内现有饮料则瓶内现有饮料_cm3. . 24 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 一一种牙膏出口处直径为种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出，小明每次刷牙都挤出1cm 长
17、的牙膏，这样一支牙膏可以用长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包次，该品牌牙膏推出新包 装，只是将出口处直径改为装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出，小明还是按习惯每次挤出 1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：解：设这一支牙膏能设这一支牙膏能用用x次次，根据题意得，根据题意得 2.521036= =3210 x. 解这个方程，解这个方程，得得x= =25. 答：答：这一支牙膏能这一支牙膏能用用25次次 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变
18、高了水箱变高了/ / 用用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已 知正方形的边长比圆的半径长知正方形的边长比圆的半径长2( (- -2) ) m，求这两根等长的，求这两根等长的 铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大 解析解析: :比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系 列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为 正方形的正方形的周长周长= =圆圆的周长的周长 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课
19、堂检测课堂检测 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 解：解：设圆的半径为设圆的半径为r m，则正方形的边长为，则正方形的边长为 r+ +2(- -2)m. 根据根据题意，得题意，得 答：答：铁丝的长为铁丝的长为8 m，圆的面积较大，圆的面积较大 因为因为444， 所以所以1642，所以圆的面积大，所以圆的面积大 正方形的面积为正方形的面积为 4+ +2( (- -2)2= =42( (m2) ) 所以圆的面积是所以圆的面积是42= =16( (m 2) )， 所以铁丝的长为所以铁丝的长为2r= =8( (m) ) 2r= =4( (r+ +2- -4)
20、)，解得，解得r= =4. . 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 一一. .物体物体锻压或液体更换容器题，锻压或液体更换容器题，体积（或容积）体积（或容积）不变不变. . 二二. .固定固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是 应抓住图形的应抓住图形的总周长不变总周长不变. . 三三. .图形图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住 图形的图形的面积、体积不变面积、体积不变. . 课堂小结课堂小结 5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业