1、5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程 追赶小明追赶小明 北师大版北师大版 数学数学 七年级七年级 上册上册 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 龟兔赛跑龟兔赛跑 导入导入新知新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 1. 通过学习列方程通过学习列方程解决实际问题解决实际问题，进一步感知数学，进一步感知数学 在生活中的作用在生活中的作用. 2. 通过分析通过分析追及问题追及问题中的数量关系，从而建立方程解中的数量关系，从而建立方程解 决实际问
2、题决实际问题.进一步发展分析问题，解决问题的能力进一步发展分析问题，解决问题的能力. 素养目标素养目标 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 分析：分析：1.这个问题中的等量关系是什么？这个问题中的等量关系是什么？ 2.如何借助“线段图”表示等量关系？如何借助“线段图”表示等量关系？ 前者走的路程前者走的路程= =追者走的追者走的路程路程. 线段的总长线段的总长= =各个分段长的各个分段长的和和. 小小明同学每天早上要在明同学每天早上要在7：50之前赶到距家之前赶到距家1000米的学校米的学校 上学上学. .一天，小明以一天，小明以80米米/分的速度出发，分的
3、速度出发，5分后，小明的爸爸发分后，小明的爸爸发 现他忘了带语文书现他忘了带语文书. .于是，爸爸立即以于是，爸爸立即以180米米/分的速度去追小明，分的速度去追小明， 并且在途中追上了他并且在途中追上了他. . （1）爸爸追上小明用了多长时间？）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？）追上小明时，距离学校还有多远？ 探究新知探究新知 知识点 行程问题行程问题 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 180 x 805 80 x 小明先走的这段路程是小明先走的这段路程是 多少呢多少呢? ? 爸爸出发后小明所行爸爸出发后小明所行 的这段路
4、程是多少呢的这段路程是多少呢? ? 爸爸所行的路程是多少呢爸爸所行的路程是多少呢? ? 家与学校的距离是家与学校的距离是1000米米, ,小小明的速度明的速度是是80米米/ /分分, , 爸爸的速度爸爸的速度是是180米米/ /分分, , 小明出发小明出发5分钟后爸爸才分钟后爸爸才出发出发. . 思考：思考：小明走后面的这段路与爸爸从家里出发到小明走后面的这段路与爸爸从家里出发到追上小追上小明明 所用的时间有什么关系？所用的时间有什么关系？ 学学 校校 学学 校校 探究新知探究新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 解：解：( (1) )设爸爸追上小明用了
5、设爸爸追上小明用了x分钟分钟,根据题意根据题意,得得 180 x 180 x = = 80 x + + 805. 化简化简,得得 100 x = = 400. x = = 4. 因此因此,爸爸追上小明用了爸爸追上小明用了4分钟分钟. ( (2) )因为因为 180 4= = 720 ( (米米) ) 1000- -720 = = 280 ( (米米) ) 所以所以,追上小明时追上小明时,距离学校还有距离学校还有280米米. 等量关系等量关系:爸爸行的路程爸爸行的路程= =小明行的路程小明行的路程 出出 发发 追及追及 805 80 x 学学 校校 追及追及 学学 校校 探究新知探究新知 5.6
6、 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 设设x秒后小强追上小彬秒后小强追上小彬， 6x 4x 则可得方程则可得方程：6x- -4x= =10 解解得得：x= =5 小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米米，小强，小强 每秒跑每秒跑6米米 . （1）如果小强站在）如果小强站在百米百米跑道的起点处，小彬站在他前跑道的起点处，小彬站在他前 面面10米米处，两人处，两人同时同向同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？起跑，几秒后小强能追上小彬？ 请用线段图表示！请用线段图表示！ 解：解： 巩固练习巩固练习 5.6 5.6 应用一元一次方程
7、应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / （2）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑， 那么几秒后两人相遇？那么几秒后两人相遇？ 小明所跑的路程小明所跑的路程 小彬所跑的路程小彬所跑的路程 小小 强强 小小 彬彬 + =100 小强所跑的路程小强所跑的路程 小彬所跑的路程小彬所跑的路程 100米米 相 遇 追及问题追及问题同向同时同向同时 等量关系：甲的时间等量关系：甲的时间= =乙的时间乙的时间； 乙乙的路程的路程= =甲的甲的路程路程+ +起点起点距离距离. 甲在前，乙在后甲在前，乙在后 巩固练习巩固练习 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一
8、次方程追赶小明追赶小明/ / 等量关系：等量关系：甲所用时间甲所用时间= =乙所用时间；乙所用时间； 甲甲的的路程路程+ +乙乙的路程的路程= =总路程总路程. 相遇问题相遇问题相向而行相向而行 解解：( (2) ) 设设y秒后相遇，秒后相遇， 则可得方程则可得方程： 4y+ +6y= =100 解解得：得：y= =10 巩固练习巩固练习 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 追及问题：追及问题：男跑路程男跑路程AC- -女女跑路程跑路程BC= =相距相距路程路程AB. 相遇问题：相遇问题：男跑路程男跑路程AC+ +女女跑路程跑路程BC= =相距相距路程路程A
9、B. 行程问题行程问题 探究新知探究新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / （1）从时间考虑：）从时间考虑： 速度慢的用速度慢的用时时- -速度速度快的用快的用时时= =多多用的时间用的时间 （2）从路程考虑：）从路程考虑： 速度快的速度快的行程行程- -速度速度慢的慢的行程行程= =两者两者的距离的距离 一一.行程行程问题中的基本等量关系为：问题中的基本等量关系为： 路程路程= =速度速度时间时间 二二.一般一般可从可从两个两个方面寻找追及问题中的等量关系：方面寻找追及问题中的等量关系： 三三.解决解决路程问题的关键是画出线段图，方法是列路程问题的关键是
10、画出线段图，方法是列方程方程. 归纳小结归纳小结 探究新知探究新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 敌我敌我两军相距两军相距25km，敌军以，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同的速度逃跑，我军同 时以时以8km/h的速度追击，并在相距的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战处发生战斗，问战 斗是在开始追击后几小时发生的？斗是在开始追击后几小时发生的？ 解：解：设战斗是在开始追击后设战斗是在开始追击后x小时发生的小时发生的. . 根据题意，得根据题意，得 8x- -5x= =25- -1. 解解得得 x= =8. 答答：战斗是在开始追击后战斗是在开始追击
11、后8小时发生的小时发生的. . 巩固练习巩固练习 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 问题问题1：后队追上前队用了多长时间？后队追上前队用了多长时间？ 育育红学校七年级学生步行到郊外旅行红学校七年级学生步行到郊外旅行.七（七（1）班的学生组成）班的学生组成 前队，步行的速度为前队，步行的速度为4千米千米/小时，七（小时，七（2）班的学生组成后队，）班的学生组成后队， 速度为速度为6千米千米/小时小时.前队出发前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派小时后，后队才出发，同时后队派 一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑一名联络员骑自行车在两队之
12、间不间断地来回进行联络，他骑 车的速度为车的速度为12千米千米/小时小时. 解：解：设后队追上前队用设后队追上前队用了了x小时小时，由题意，由题意 列方程得：列方程得： . 6x= =4x+ +4 解方程得解方程得：x= =2. 答：答：后队追上前队时用后队追上前队时用了了2小时小时. 议一议议一议 根据根据下面的事实提出问题并尝试去解答下面的事实提出问题并尝试去解答. 探究新知探究新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 问题问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？：后队追上前队时联络员行了多少路程？ 解：解：由问题由问题1得后队追上前队用了得后队追上前
13、队用了2小时，因此联络员共行小时，因此联络员共行 进了进了 12 2 = = 24 （千米）（千米） 答：答：后队追上前队时联络员行了后队追上前队时联络员行了24千米千米. 问题问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？：联络员第一次追上前队时用了多长时间？ 解：解：设联络员第一次追上前队时用设联络员第一次追上前队时用了了x小时小时， 由题意列方程得：由题意列方程得： 12x = = 4x + + 4. 解方程得解方程得：x = =0.5. 答：答：联络员第一次追上前队时用联络员第一次追上前队时用了了0.5小时小时. 探究新知探究新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明
14、追赶小明/ / 问题问题4：当后队追上前队时，他们已经行进了多少路程？：当后队追上前队时，他们已经行进了多少路程？ 解：解：设当后队追上前队时，他们已经行进了设当后队追上前队时，他们已经行进了x x千米，由题意千米，由题意 列方程得：列方程得： 解解得得：x = =12 答：答：当后队追上前队时，他们已经行进当后队追上前队时，他们已经行进12千米千米. . 问题问题5：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？ 解解：设联络员在前队出发设联络员在前队出发x x小时后第一次追上前队小时后第一次追上前队， 由由题意列方程得：题意列方程得： 4x = =
15、12（x - - 1） 解方程得：解方程得：x = = 1.5 答：答：联络员在前队出发后联络员在前队出发后1.5小时后第一次追上前队小时后第一次追上前队. . x 6+ +1= = x 4 探究新知探究新知 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 一一队学生去校外进行军事训练，他们以每小时队学生去校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度千米的速度 行进，走了行进，走了18分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通 讯员从学校出发，骑自行车以每小时讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路千米的速度按原路 追上去，通
16、讯员需要多长时间可以追上学生队伍？追上去，通讯员需要多长时间可以追上学生队伍？ 解：解：设需要设需要x小时可以追上，则可以列方程：小时可以追上，则可以列方程： 解方程，解方程，得得 解解得得 即即需要需要1 6小时 小时可以可以追上追上. . 5（18 60+ +x） ）= =14 x 9x= =3 2 x= =1 6 巩固练习巩固练习 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / “今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章 算术）意思是：同样时间段内，走路快的人能算术）意思是：同样时间段内，走路快的人能走走10
17、0步步，走路，走路 慢的人只能慢的人只能走走60步步假定两者步长相等，据此回答以下问题：假定两者步长相等，据此回答以下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百 步，问孰至于前，两者几何步隔之步，问孰至于前，两者几何步隔之？ 即即：走路慢的人：走路慢的人先走先走100步步，走路快的人开始追赶，当走路慢的，走路快的人开始追赶，当走路慢的 人再人再走走600步步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步
18、及之？ 即即：走路慢的人：走路慢的人先走先走200步步，请问走路快的人走多少步才能追上，请问走路快的人走多少步才能追上 走路慢的人？走路慢的人？ 连接中考连接中考 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 解：解：（1）设当走路慢的人再走）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走步时，走路快的人的走x步步， 由由题意得题意得 x：600= =100：60. 解解得得x= =1000. 所以所以1000- -600- -100= =300（步步）. 答：答：当走路慢的人再走当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔步时，走路快的人在前面，两人相隔 3
19、00步步 （2）设走路快的人）设走路快的人走走y步步才能追上走路慢的人才能追上走路慢的人， ， 由题意得由题意得y= =200+ + 60 100 y，解得 ，解得y= =500. 答答：走路快的人走走路快的人走500步才能追上走路慢的人步才能追上走路慢的人 连接中考连接中考 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 1.两列火车同时从相距两列火车同时从相距600千米地甲乙两地相向而行千米地甲乙两地相向而行, 经过经过4 小时后两列火车在途中相遇，已知客车每小时行小时后两列火车在途中相遇，已知客车每小时行80千米千米, 货货 车每小时行多少千米车每小时行多少千米?
20、 解解: 设货车的速度为设货车的速度为x千米千米/小时，根据题意可列出方程小时，根据题意可列出方程： 804+ +x4= =600， 解得解得: x= =70 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 货车每小时行货车每小时行70千米千米. 答：答： 课堂检测课堂检测 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 解：解：72 km/h= =20 m/s，设听到回声时设听到回声时，汽车离山谷汽车离山谷x m. . 2汽车以汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷， 驾驶员摁一下喇叭，驾驶员摁一下喇叭，4s后听到回声，已知空
21、气中声音的传播后听到回声，已知空气中声音的传播 速度约为速度约为340 m/s，这时汽车离山谷多远？，这时汽车离山谷多远？ 1 由题意由题意，得得2x+ +420= =3404， 解得解得x= =640. . 答答：听到回声时，汽车离山谷：听到回声时，汽车离山谷640 m. . 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 3一个车队共有一个车队共有n( (n为正整数为正整数) )辆小轿车，正以辆小轿车，正以36 km/h的速的速 度在一条笔直的街道上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为度在一条笔直的街道上匀速行驶，
22、行驶时车与车的间隔均为 5.4 m，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头 到最后一辆车的车尾经过自己身边共用了到最后一辆车的车尾经过自己身边共用了20 s的时间，假设的时间，假设 每辆车的车长均为每辆车的车长均为4.87 m.求求n的值的值. 解：解：36 km/h= =10 m/s，则则4.87n+ +5.4( (n- -1)=)=2010， 解解得得n= =20. 答：答：n的值是的值是20. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 操场操场一周是一
23、周是400米，小明每秒跑米，小明每秒跑5米米,小华骑自行车每秒小华骑自行车每秒 10米米, ,两人绕两人绕跑道跑道同时同时同地同地相背相背而行，则两个人何时相遇？而行，则两个人何时相遇？ 小华小华 小明小明 同时同地同时同地 相背而行相背而行 解：解：设经过设经过x秒两人第一次相遇秒两人第一次相遇， 依依题意，得题意，得 10 x+ +5x= =400, 解得解得x= =80 3 . 答：答：经过经过80 3 秒秒两人两人第一次相遇第一次相遇. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / A、B两站相距两站相距
24、300千米，一列快车从千米，一列快车从A站开出，行驶速度是站开出，行驶速度是 每小时每小时60千米，一列慢车从千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时站开出，行驶速度是每小时40千米千米. 问问: （1）两）两车同时开出，相向而行，几小时相遇车同时开出，相向而行，几小时相遇？ （2）快车）快车先开先开15分钟分钟, 两车相向而行两车相向而行, 慢车慢车开出几小时后两车相开出几小时后两车相 遇遇? ? （3）两）两车同时同向开出车同时同向开出,慢车在前慢车在前, 出发多少长时间后快车追上出发多少长时间后快车追上 慢车慢车? ? （4）慢车）慢车先开先开30分钟分钟, 两车同向而行两车同向而行,
25、 慢车在前慢车在前, 快车出发多快车出发多长长 时间时间后追上慢车后追上慢车? ? 此时慢车行驶了多少千米此时慢车行驶了多少千米? ? 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 将所有时间设为将所有时间设为x小时，小时， （1）60 x+ +40 x= =300, （2） （3）60 x= =300+ +40 x, （4） 慢车慢车行驶行驶距离为：距离为： 解得解得x= =2.85. 解得解得x= =3. 解得解得x= =15. 解得解得x= =16. 解：解： 60 x+ +40 x = =300- -60
26、 15 60 ， ， 4030 60+ +300+ +40 x = =60 x， ， 40（30 60+ +16） ） = =660（千米千米）. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / （1） 借助借助 分析分析行程问题行程问题. （2） 行程问题中的规律行程问题中的规律. 追追及问题：及问题： 相遇问题：相遇问题： 总路程总路程 乙路程乙路程甲路程甲路程 甲路程甲路程 乙路程乙路程路程差路程差 线段图线段图 路程差路程差 + 乙路程乙路程 = 甲甲路程路程. 甲路程甲路程 + 乙路程乙路程 = 总总路程路程. 课堂小结课堂小结 5.6 5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程追赶小明追赶小明/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业