1、4.3 4.3 角角/ / 4.3 4.3 角角 4.3.3 4.3.3 余角和补角余角和补角 人教版人教版 数学数学 七年级七年级 上册上册 4.3 4.3 角角/ / 如图坝底是由石块堆积而成，如图坝底是由石块堆积而成， 要测出要测出1的度数，你有什么简单的度数，你有什么简单 的方法吗？的方法吗？ 要解决这问题，我们先来学习要解决这问题，我们先来学习余角余角和和补角补角. . 导入新知导入新知 4.3 4.3 角角/ / 2. 了解了解方位角方位角的概念，并能用方位角知识解的概念，并能用方位角知识解 决一些简单的实际问题决一些简单的实际问题. 1. 了解了解余角余角、补角补角的概念，掌握余
2、角和补角的概念，掌握余角和补角 的的性质性质，并能利用余角、补角的知识解决相，并能利用余角、补角的知识解决相 关问题关问题. 素养目标素养目标 4.3 4.3 角角/ / 1 如果两个角的和如果两个角的和等于等于90( 直角直角 )，就说这两个角，就说这两个角 互为互为余角余角 ( 简称为两个角互余简称为两个角互余 ). 如图，可以说如图，可以说1 是是2 的余角，或的余角，或2 是是1的余角，的余角， 或或1和和2互余互余. 2 余角和补角的概念余角和补角的概念 知识点 1 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 图中给出的各角，哪些互为余角？图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 2
3、4o 66o 75o 46.2o 43.8o 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 如果两个角的和如果两个角的和等于等于180( (平角平角) )，就说这两个角，就说这两个角 互为互为补角补角 ( ( 简称为两个角互补简称为两个角互补 ).). 如如图，可以说图，可以说3 是是4 的补角，或的补角，或4是是3 的补角，的补角， 或或3 和和4 互补互补. 4 3 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 图中给出的各角，哪些互为补角？图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ /
4、例例1 若一个角的补角等于它的余角的若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角倍，求这个角 的度数的度数. 解：解：设这个角为设这个角为 x，则它的补角是，则它的补角是 ( 180 x )， 余角是余角是 ( 90 x ) . 根据题意，得根据题意，得180 x = 4 ( 90 x ) . 解得解得 x = 60. 答：答：这个角的度数是这个角的度数是 60 . 素养考点素养考点 1 利用余角、补角的概念求角的度数利用余角、补角的概念求角的度数 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 已知已知 A 与与B 互余互余，且且 A 的度数比的度数比B 度数的度数的 3 倍还多倍还多30，
5、求求B的度数的度数. 解：解：设设B的度数为的度数为x，则，则 A 的度数为的度数为 (3x+30). 根据题意得：根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解解得得 x=15. 故故 B 的度数为的度数为15. 巩固练习巩固练习 4.3 4.3 角角/ / 例例2 如图，已知如图，已知O为为AD上一点，上一点，AOC与与AOB互补，互补，OM， ON分别为分别为AOC，AOB的平分线，若的平分线，若MON=40，试求试求 AOC与与AOB的度数的度数 O D A B C N M 素养考点素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目余角、补角、角平分线相结合的题目 探究新知探究新
6、知 4.3 4.3 角角/ / 所以所以 oo 11 (180 -)-= 40 , 22 xx 解得解得x=50，则，则180 x =130. 即即AOB=50，AOC=130. 探究新知探究新知 所以所以AOM= ， AON= . o 1 (180 - ) 2 x 1 2 x 解：解：设设AOB=x， 因为因为AOC与与AOB互补，互补， 则则AOC=180 x 因为因为OM，ON分别为分别为AOC，AOB的平分线，的平分线， O D A B C N M 4.3 4.3 角角/ / 如如图，图，AB是一条直线，是一条直线，OC是一条射线，是一条射线，AOC 2AOF，BOC2BOE. ( (
7、1) )1与与2互余吗？互余吗？ 巩固练习巩固练习 解：解：互余互余. 因为因为 AOC2AOF，BOC2BOE, 所以所以 AOF= FOC=1 2 AOC, BOE= COE =1 2 BOC. 所以所以1+ 2 =1 2 ( AOC+ BOC） =1 2 180 =90. 所以所以1与与 2 互余互余. 4.3 4.3 角角/ / ( (2) )指出图中所有互余和互补的角指出图中所有互余和互补的角 解：解：互余的角互余的角：1与与2；1与与BOE；2与与 AOF；BOE与与AOF. 互补互补的角的角：BOE与与AOE；2与与AOE； AOF与与BOF；1与与BOF；AOC与与BOC. 巩
8、固练习巩固练习 4.3 4.3 角角/ / 的余角的余角 的补角的补角 5 32 45 77 6223 x(0 x90) 2737 11737 85 175 58 148 45 135 103 13 (90 x) (180 x) 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_. 90 想一想想一想 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 1 与与2，3都互为补角，都互为补角， 2 与与3 的大小有什么关系？的大小有什么关系？ 思考思考： 1 2 同角同角 (等角等角) 的补角相等的补角相等. 结论结论： 3 2=1801 3=1801 同角同角 (等角等角)
9、的余角相等的余角相等. 类似地，可以得到：类似地，可以得到： = 余角和补角的性质余角和补角的性质 知识点知识点 2 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 例例 如图，点如图，点A，O，B在同一直线上，射线在同一直线上，射线 OD 和射线和射线 OE 分别平分分别平分AOC 和和BOC， 图中哪些角互为余角？图中哪些角互为余角？ 解解：因为点因为点A，O，B在同一直线上，在同一直线上， 所以所以AOC和和BOC 互为补角互为补角. O A B C D E 又又因为因为射线射线 OD 和射线和射线 OE 分别平分分别平分AOC 和和BOC， 所以所以COD+COE = AOC+ BOC
10、= (AOC+BOC ) = 90. 1 2 1 2 1 2 素养素养考点考点 余角和补角的识别余角和补角的识别 探究新知探究新知 所以所以COD和和COE互为余角，互为余角， 同理同理AOD和和BOE，AOD和和COE，COD和和BOE也互为余角也互为余角. 4.3 4.3 角角/ / 如如图，图，O为直线为直线AB上一点，上一点，OD平分平分AOC，DOE=90 （1）AOD的余角是的余角是_，COD的余角是的余角是 _; （2）OE是是BOC的平分线吗？请说明理由的平分线吗？请说明理由 COE、BOE O A B C D E COE、BOE 解：解：OE平分平分BOC，理由如下，理由如下
11、： 因为因为DOE=90，所以所以AOD+BOE=90， 所以所以COD+COE=90， 所以所以AOD+BOE=COD+COE， 因为因为OD平分平分AOC,所以所以AOD=COD， 所以所以COE=BOE，所以所以OE平分平分BOC 巩固练习巩固练习 4.3 4.3 角角/ / 如如图图,已知已知AOB=90， AOC= BOD，则与，则与 AOC互余的角有互余的角有_. BOC 和和 AOD O A B C D 巩固练习巩固练习 4.3 4.3 角角/ / 方位角方位角 知识点知识点 3 探究新知探究新知 东东 西西 北北 南南 O 正东正东： 正南正南： 正西正西： 正北正北： 西北方
12、向西北方向： 西南方向西南方向： 东北方向东北方向： 东南方向东南方向： 射线射线 OA A B C D 45 E G F H 45 45 45 射线射线 OB 射线射线 OC 射线射线 OD 射线射线 OE 射线射线 OF 射线射线 OH 射线射线 OG 八八 大大 方方 位位 4.3 4.3 角角/ / 45 如图，说出下列方位如图，说出下列方位. ( (1) ) 射线射线 OA 表示的方向表示的方向 为为_ . ( (2) ) 射线射线 OB 表示的方向表示的方向 为为_. ( (3) ) 射线射线 OC 表示的方向表示的方向 为为_ . ( (4) ) 射线射线 OD 表示的方向为表示
13、的方向为_. 北北 东东 西西 南南 C A B D 北偏东北偏东 40 北偏西北偏西 65 南偏西南偏西 45(西南西南) 南偏东南偏东 20 40 65 70 O 20 探究新知探究新知 说一说 4.3 4.3 角角/ / 例例 如如图图,货轮货轮O在航行过程中在航行过程中,发现灯塔发现灯塔A在它南偏东在它南偏东60的的 方向上方向上.同时同时,在它北偏东在它北偏东40,南偏西南偏西10,西北西北(即北偏西即北偏西 45)方向上又分别发现了客轮方向上又分别发现了客轮B， 货轮货轮C和海岛和海岛D.仿照表示灯塔方位仿照表示灯塔方位 的方法画出表示客轮的方法画出表示客轮B，货轮货轮C和和 海岛
14、海岛D方向的射线方向的射线. 东东 南南 西西 北北 60 B 40 10 C A D O 素养考点素养考点 利用方位角解答实际问题利用方位角解答实际问题 探究新知探究新知 4.3 4.3 角角/ / 费费俊龙、聂海胜乘坐俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当神舟”六号遨游太空时，我国当 时派出远望一号时派出远望一号四号船队，跟踪检测四号船队，跟踪检测. 其中远望一、其中远望一、 二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六 号在北偏东号在北偏东60和北偏东和北偏东30的方向，你能在下图中的方向，你能在下图中 画出当时神舟六号所处的位置吗
15、？画出当时神舟六号所处的位置吗？ 远望一号远望一号 远望二号远望二号 巩固练习巩固练习 4.3 4.3 角角/ / 远望一号远望一号 远望二号远望二号 60 30 巩固练习巩固练习 4.3 4.3 角角/ / 1.若若一个角为一个角为65，则它的补角的度数为（，则它的补角的度数为（ ） ） A25 B35 C115 D125 C 2.如如图，快艇从图，快艇从P处向正北航行到处向正北航行到A处时，向左转 处时，向左转50航行到航行到B 处，再向右转处，再向右转80继续航行，此时的航行方向为（继续航行，此时的航行方向为（ ） A北偏东北偏东30 B北偏东北偏东80 C北偏西北偏西30 D北偏西北偏
16、西50 解析：解析：如图，因为如图，因为2=1=50 3=4 2=8050=30， 此时的航行方向为此时的航行方向为北偏东北偏东30. A 连接中考连接中考 4.3 4.3 角角/ / 1.一个角的余角是它的一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（倍，这个角的度数是（ ） A30 B45 C60 D75 A 2.下列说法正确的是下列说法正确的是（ ） A一个角的补角一定大于它本身一个角的补角一定大于它本身 B一个角的余角一定小于它本身一个角的余角一定小于它本身 C一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D一个角的余角一定小于其补角一个角的余角一定小于其补角
17、 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.3 4.3 角角/ / 3.如如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中中与与互余的是互余的是 （ ） A图图 B图图 C图图 D图图 4.=35，则，则的补角为的补角为_度度 145 A 课堂检测课堂检测 4.3 4.3 角角/ / 5. 如图，已知如图，已知ACB=CDB=90. ( (1) ) 图中有哪几对互余的角图中有哪几对互余的角？ ( (2) ) 图中哪几对角是相等的角图中哪几对角是相等的角(直角除外直角除外)？为什么？为什么？ 答案答案：A+B=90， A+2=90，
18、 1+B=90， 1+2=90. 答案：答案：B=2, A=1. ( 同角的余角相等同角的余角相等 ) ( 同角的余角相等同角的余角相等 ) A C D 1 2 B 课堂检测课堂检测 4.3 4.3 角角/ / 一个角的补角是它的一个角的补角是它的3倍倍,这个角是多少度这个角是多少度? 解解: : 180 x=3x 解得解得:x = 45 答答: : 这个角是这个角是45. 则它的补角为则它的补角为(180 x), 得得: 设这个角为设这个角为x, 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 4.3 4.3 角角/ / 60 30 垃圾垃圾打捞船打捞船 A 和和 B 都停驻在湖边观
19、测湖面，从都停驻在湖边观测湖面，从 A 船船发现发现 它它的北偏东的北偏东60方向有白色漂浮物，方向有白色漂浮物， 同时，从同时，从 B 船也发船也发 现该白色漂浮物在它的北偏西现该白色漂浮物在它的北偏西30方向方向. ( (1) ) 试在图中确定白色漂浮物试在图中确定白色漂浮物C的位置；的位置； A B 北 北 C 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 4.3 4.3 角角/ / 60 北 A. 南偏东南偏东30 B. 南偏西南偏西30 C. 南偏东南偏东60 D. 南偏西南偏西60 ( (2) ) 点点 C 在点在点 A 的北偏东的北偏东60的方向上，那么点的方向上，那么
20、点 A在在 点点 C 的的_方向上方向上. 60 30 A B 北北 北北 C D 课堂检测课堂检测 4.3 4.3 角角/ / 互余互余 互补互补 两角间的两角间的 数量关系数量关系 对应图形对应图形 性质性质 同角或等角的同角或等角的 补角相等补角相等 同角或等角的同角或等角的 余角相等余角相等 课堂小结课堂小结 1+2=90 1+2=180 1=90-2 1=180-2 4.3 4.3 角角/ / 方位角方位角 物体运动的方向与正北、正南方向物体运动的方向与正北、正南方向 之间的夹角称为之间的夹角称为方位角方位角，一般以，一般以正正 北、正南北、正南为为基准基准，用，用向东或向西向东或向西旋旋 转的角度表示转的角度表示方向方向. . 定义定义 书写书写 通常要通常要先写北或南先写北或南，再写偏东或偏西再写偏东或偏西 课堂小结课堂小结 4.3 4.3 角角/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习