1、2021 年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷 一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.下列各数中，无理数是（ ） A0.121221222 B C D 2 下列各根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 3 下列运算正确的是（ ） A3m2+4m27m4 B4m35m320m3 C （2m）36m3 Dm10m5m5 4 将一副直角三角板（AFDE90，F45，C60，点 D 在边 AB 上）按图中所示位置摆 放，两条斜边为 EF，BC，且 EFBC，则ADF 等
2、于（ ） A70 B75 C80 D85 5 如图，在O 中，点 A、B、C 在圆上，ODAB，ACB45，OA2，则 AD 的长是（ ） A B2 C2 D3 6 如图，DEF 和ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点若 DEF 的面积为 S，周长为 l，则下列说法正确的是（ ） AABC 的面积为 2S BABC 的面积为S CABC 的周长为 2l DABC 的周长为l 7 若样本 x1，x2，x3，xn的平均数为 10，方差为 4，则对于样本 x13，x23，x33，xn3，下 列结论正确的是（ ） A平均数为 10，方差为 2 B众数
3、不变，方差为 4 C平均数为 7，方差为 2 D中位数变小，方差不变 8 关于 x 的方程（x3） （x+2）p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A两个正根 B两个负根 C一个正根，一个负根 D无实数根 9 某商店为了促销一种定价为 5 元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过 4 件，则按原价付 款；若一次性购买 4 件以上，则超过部分按原价的八折付款如果小莹有 42 元钱，那么她最多可以购买 该商品（ ） A9 件 B11 件 C10 件 D12 件 10 如图甲，直角三角形 ABC 的三边 a，b，c，满足 a2+b2c2的关系利用这个关系，探究下面的问题：
4、 如图乙，OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形，OAB90，延长 OA 至 B1，使 AB1OA，以 OB1 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形 OA1B1，再延长 OA1至 B2，使 A1B2OA1，以 OB2为底，在 OA1B1外侧作等腰直角三角形 OA2B2，按此规律作等腰直角三角形 OAnBn（n1，n 为正整数） ，则 A2B2的长及OA2021B2021的面积分别是（ ） A2，22020 B4，22021 C2，22020 D2，22019 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.） 11 因式分解：m3nmn3 12. 2020 年 12 月 8 日，
5、中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰最新高度为 8848.86 米8848.86 用科学记数法表 示为 13 如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为 cm2 14 如图，点 A 是反比例函数 y（x0）上的一点，过点 A 作 ACy 轴，垂足为点 C，AC 交反比例函数 y的图象于点 B，点 P 是 x 轴上的动点，则PAB 的面积为 15 如图 1，四边形 ABCD 中，ABCD，ADC90，点 P 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度， 按 ABCD 的顺序在边上匀速运动，设 P 点的运动时间为 t 秒，PAD 的面积为 S，S 关于 t 的函数 图象如图 2 所示，当
6、P 运动到 BC 中点时，APD 的面积为 三、解答题： （本大题共 7 小题，共 55 分） 16（1）计算：|1|+（） 1 +tan30 （2）解方程：+5 17 为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的 成绩，将成绩绘制成统计图表： “病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表 级别 成绩（分） 频数 A 95x 100 22 B 90 x 95 18 C 85x 90 D 80 x 85 3 （1）本次共随机抽取了 名学生，在频数分布统计表中，成绩是 C 级的频数是 ； （2）在扇形统计图中，成绩是 B 级的圆心角的度数是多少？ （3）
7、学校将从获得 A 级成绩里最好的 4 名学生中，任选 2 名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北 恰在这 4 名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率 18 如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8 （1）尺规作图：作菱形 AECF，使点 E，F 分别落在 BC，AD 上； （保留作图痕迹，不写作法，不必证明） （2）求菱形 AECF 的周长 19 如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡度 i1：1，为了测量山顶 A 的高 度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为 ，已知 tan0.8，tan2，求山顶 A
8、的 高度 AE（点 C，B，E 在同一水平面上） 20 某小区准备把一块长 80m， 宽 60m （AB60， BC80） 的矩形空地建成花园小广场， 设计方案如图所示， 阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形） ，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EF GHMNPQ） ，设 APxm（15x35） （1）图中 AE 的长为 （用含 x 的代数式表示） ； （2）绿化区的面积和活动区的面积能否相同，为什么？ （3）当出口宽多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？ 21 新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相 等，则这个点叫做“
9、和谐点” 例如，如图，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形 OAPB 的周长与面积相等，则点 P 是“和谐点” （1）点 M（1，2） “和谐点” （填“是”或“不是” ） ；若点 N（3，a）是第一象限内的一个“和谐 点” ，则点 N 坐标是 ； （2）如图，若点 P（2，3） ，点 E 是线段 PB 上一点且 BEn，连接 OE 并延长交 AP 的延长线于点 Q， 请用含有 n 的代数式表示 PQ 的长（需要写出解题过程） （3）在（2）的条件下，当 SOBESEPQ2 时，求点 Q 的坐标 22 在直角坐标系中， A 的半径是 4， 圆心 A 的坐标为 （2， 0）
10、 ， A 与 x 轴交于 E、 F 两点， 与 y 轴交于 C、 D 两点，直线 BC 与A 交于点 C 与 x 轴交于点 B（6，0） （1）求证：BC 为A 的切线； （2）若抛物线 yax2+bx+c 的顶点在直线 BC 上，与 x 轴的交点恰好为点 E、F，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，当ECM 的周长最小时，请直接写出 M 点的坐标 2021 年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷 一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求
11、的） 1.下列各数中，无理数是（ ） A0.121221222 B C D 【考点】算术平方根；无理数 【专题】实数；数感 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答】解：A、0.121221222 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C、 是无理数，故本选项符合题意； D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C 2 下列各根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【考
12、点】最简二次根式；分母有理化 【专题】二次根式；应用意识 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可 【解答】解：A.，分母中包含根式，被开发数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式，这样 的二次根式是最简二次根式，因此选项 A 符合题意； B.|a|，被开方数含有能开得尽方的因式 a2，因此选项 B 不符合题意； C.，因此选项 C 不符合题意； D.2，因此选项 D 不符合题意； 故选：A 3 下列运算正确的是（ ） A3m2+4m27m4 B4m35m320m3 C （2m）36m3 Dm10m5m5 【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；单项式乘单项式 【专
13、题】整式；运算能力 【答案】D 【分析】 根据同底数幂的乘法， 同底数幂的除法， 幂的乘方及合并同类项运算法则进行计算， 可得答案 【解答】解：A、3m2+4m27m2，故 A 不符合题意； B、4m35m320m6，故 B 不符合题意； C、 （2m）38m3，故 C 不符合题意； D、m10m5m5，故 D 符合题意； 故选：D 4 将一副直角三角板（AFDE90，F45，C60，点 D 在边 AB 上）按图中所示位置摆 放，两条斜边为 EF，BC，且 EFBC，则ADF 等于（ ） A70 B75 C80 D85 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质 【专题】线段、角、相交线与平行线；
14、几何直观；推理能力 【答案】B 【分析】依据平行线的性质，即可得到BGD 的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到ADG 的 度数 【解答】解：如图所示，CB 与 FD 交点为 G， EFBC， FBGD45， 又ADG 是BDG 的外角，B30， ADGB+BGD30+4575， 故选：B 5 如图，在O 中，点 A、B、C 在圆上，ODAB，ACB45，OA2，则 AD 的长是（ ） A B2 C2 D3 【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理 【专题】与圆有关的计算；推理能力 【答案】B 【分析】证明AOB 是等腰直角三角形，即可解决问题 【解答】解：AOB2ACB90, OAOB2,
15、ABOA4, ODAB, ADDBAB2, 故选：B 6 如图，DEF 和ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点若 DEF 的面积为 S，周长为 l，则下列说法正确的是（ ） AABC 的面积为 2S BABC 的面积为S CABC 的周长为 2l DABC 的周长为l 【考点】三角形中位线定理；位似变换 【专题】图形的相似；推理能力 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到 DFAC，根据位似图形的性质得到DEFABC，根据相似 三角形的性质计算，得到答案 【解答】解：点 D，F 分别是 OA，OC 的中点， DFAC， DEF 和ABC
16、 是位似图形， DEFABC，且相似比为， DEF 的面积为 S，周长为 l， ABC 的面积为 4S，周长为 2l， C 选项说法正确， 故选：C 7 若样本 x1，x2，x3，xn的平均数为 10，方差为 4，则对于样本 x13，x23，x33，xn3，下 列结论正确的是（ ） A平均数为 10，方差为 2 B众数不变，方差为 4 C平均数为 7，方差为 2 D中位数变小，方差不变 【考点】算术平均数；中位数；众数；方差 【专题】统计的应用；应用意识 【答案】D 【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断 【解答】解：样本 x1，x2，x3，xn的平均数为 10，方差为 4， 样
17、本 x13，x23，x33，xn3 的平均数为 7，方差为 4，众数和中位数变小 故选：D 8 关于 x 的方程（x3） （x+2）p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A两个正根 B两个负根 C一个正根，一个负根 D无实数根 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力 【答案】C 【分析】先把方程（x3） （x+2）p2化为 x2x6p20，再根据b24ac1+24+4p20 可得方 程有两个不相等的实数根，由6p20 即可得出结论 【解答】解：（x3） （x+2）p2（p 为常数） ， x2x6p20， b24ac1+24+4p22
18、5+4p20， 方程有两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6p20， 一个正根，一个负根 故选：C 9 某商店为了促销一种定价为 5 元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过 4 件，则按原价付 款；若一次性购买 4 件以上，则超过部分按原价的八折付款如果小莹有 42 元钱，那么她最多可以购买 该商品（ ） A9 件 B11 件 C10 件 D12 件 【考点】一元一次不等式的应用 【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识 【答案】A 【分析】设小莹可以购买 x 件，根据该商店的促销策略结合总价各不超过 42 元，即可得出关于 x 的一元 一次不等式，解之
19、取其中最大的整数值即可得出结论 【解答】解：设小莹可以购买 x 件， 依题意，得：54+50.8（x4）42， 解得：x9 又x 为整数， x 的最大值为 9 故选：A 10 如图甲，直角三角形 ABC 的三边 a，b，c，满足 a2+b2c2的关系利用这个关系，探究下面的问题： 如图乙，OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形，OAB90，延长 OA 至 B1，使 AB1OA，以 OB1 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形 OA1B1，再延长 OA1至 B2，使 A1B2OA1，以 OB2为底，在 OA1B1外侧作等腰直角三角形 OA2B2，按此规律作等腰直角三角形 OAnBn（n1，n 为
20、正整数） ，则 A2B2的长及OA2021B2021的面积分别是（ ） A2，22020 B4，22021 C2，22020 D2，22019 【考点】规律型：图形的变化类；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出 A1B1，A2B2，A3B3，进而得出规律，求出 A2021B2021，再 利用三角形的面积公式即可求出OA2021B2021的面积 【解答】解：OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形， OAAB1， AB1OA， OB12， A1B1OA1OB1， A1B2OA1， OB22， A
21、2B2OA2OB22（）2， A2B3OA2， OB34， A3B3OA3OB32（）3， A2021B2021（）2021， OA2021B2021的面积（）2021（）202122020 故选：A 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.） 11 因式分解：m3nmn3 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】因式分解；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式mn（m2n2） mn（m+n） （mn） 故答案为：mn（m+n） （mn） 12. 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗
22、玛峰最新高度为 8848.86 米8848.86 用科学记数法表 示为 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【答案】8.84886103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：8848.868.84886103， 故答案为：8.84886103 13 如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为 cm2 【考点】由三视图判断几何体 【专题】投影与
23、视图；空间观念 【答案】见试题解答内容 【分析】正六角螺母的侧面积是六个长方形面积的和 【解答】解：这个正六角螺母的侧面积为：6S长方形63236（cm2） 答：该正六角螺母的侧面积为 36cm2 故答案为：36 14 如图，点 A 是反比例函数 y（x0）上的一点，过点 A 作 ACy 轴，垂足为点 C，AC 交反比例函数 y的图象于点 B，点 P 是 x 轴上的动点，则PAB 的面积为 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；应用意识 【答案】2 【分析】连接 OA、OB、PC，由于 ACy 轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比
24、例系数 k 的几何 意义得到 SAPCSAOC3，SBPCSBOC1，然后利用 SPABSAPCSAPB进行计算 【解答】解：如图，连接 OA、OB、PC， ACy 轴， SAPCSAOC|6|3，SBPCSBOC|2|1， SPABSAPCSAPB2， 故答案为：2 15 如图 1，四边形 ABCD 中，ABCD，ADC90，点 P 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度， 按 ABCD 的顺序在边上匀速运动，设 P 点的运动时间为 t 秒，PAD 的面积为 S，S 关于 t 的函数 图象如图 2 所示，当 P 运动到 BC 中点时，APD 的面积为 【考点】动点问题的函数图象 【专题】函
25、数及其图象；应用意识 【答案】7 【分析】首先结合图形和函数图象判断出 CD 的长和 AD 的长，进而可得 AB 的长，从而可得 E 点坐标， 然后再计算出当 5t10 时直线解析式，然后再代入 t 的值计算出 s 即可 【解答】解：根据题意得：四边形 ABCD 是梯形， 当点 P 从 C 运动到 D 处需要 2 秒，则 CD2，ADP 面积为 4， 则 AD4， 根据图象可得当点 P 运动到 B 点时，ADP 面积为 10， 则 AB5，则运动时间为 5 秒， E（5，10） ， 设当 5t10 时，函数解析式为 skt+b， ， 解得， 当 5t10 时，函数解析式为 st+16， 当 P
26、 运动到 BC 中点时时间 t7.5， 则 s7， 故答案为：7 三、解答题： （本大题共 7 小题，共 55 分） 16（1）计算：|1|+（） 1 +tan30 （2）解方程：+5 【考点】实数的运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值 【专题】实数；分式方程及应用；运算能力 【答案】 （1）3； （2）无解 【分析】 （1）原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数 值计算即可求出值； （2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方 程的解 【解答】解： （1）原式1+22+ 1+22+ 3；
27、 （2）原方程变形为：5， 去分母得： （x2）15（x3） ， 解得：x3， 检验：当 x3 时，x30， x3 不是原分式方程的解， 原分式方程无解 17 为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的 成绩，将成绩绘制成统计图表： “病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表 级别 成绩（分） 频数 A 95x 100 22 B 90 x 95 18 C 85x 90 D 80 x 85 3 （1）本次共随机抽取了 名学生，在频数分布统计表中，成绩是 C 级的频数是 ； （2）在扇形统计图中，成绩是 B 级的圆心角的度数是多少？ （3）学校将从获
28、得 A 级成绩里最好的 4 名学生中，任选 2 名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北 恰在这 4 名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率 【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数；列表法与树状图法 【专题】统计的应用；概率及其应用；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由 D 级的人数和所占百分比求出抽取的人数，减去 A、B、D 的人数得出成绩是 C 级的频 数即可； （2）由 360乘以 B 级所占的比例即可； （3）画树状图，共有 12 个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有 2 个，再由概率公式求 解即可 【解答】解： （1）本
29、次共随机抽取了学生的人数为：36%50（名） ，成绩是 C 级的频数是 5022 1837， 故答案为：50，7； （2）在扇形统计图中，成绩是 B 级的圆心角的度数为：360129.6； （3）把小江、小北分别记为 A、B，其他 2 名学生记为 C、D，画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有 2 个， 小江、小北两人同时被选中的概率为 18 如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8 （1）尺规作图：作菱形 AECF，使点 E，F 分别落在 BC，AD 上； （保留作图痕迹，不写作法，不必证明） （2）求菱形 AECF 的周长 【考点】菱形的判定与性质；
30、矩形的性质；作图复杂作图 【专题】作图题；几何直观 【答案】 （1）作图见解析部分 （2）25 【分析】 （1）连接 AC，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 E，交 AD 于 F，通过证明 AEAF 可证明四边形 AECF 为菱形 （2）设 AECEx，则 BE8x，利用勾股定理构建方程求出 x 即可 【解答】解： （1）作图如图所示： 菱形 AECF 就是所求作的图形 （2）由（1）得四边形 AECF 是菱形， AECE， 设 AECEx，则 BE8x， 四边形 ABCD 是矩形， B90， 在 RtABE 中，AB2+BE2AE2， 即 62+（8x）2x2， 解得 x 菱形 AECF
31、的周长425 19 如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡度 i1：1，为了测量山顶 A 的高 度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为 ，已知 tan0.8，tan2，求山顶 A 的 高度 AE（点 C，B，E 在同一水平面上） 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】设 AEx 米由斜坡 AB 的坡度为 i1：1，得出 BEAEx 米根据锐角三角函数列出方程 求出 x 即可 【解答】解：如图，作 AFCD 于 F
32、设 AEx 米 斜坡 AB 的坡度为 i1：1， BEAEx 米 在 RtBDC 中，C90，CD96 米，DBC， BC48（米） ， ECEB+BC（x+48）米， AFEC（x+48）米 在 RtADF 中，AFD90，DAF， DFAFtan0.8（x+48）米， DFDCCFDCAE（96x）米， 0.8（x+48）96x，解得 x32 故山顶 A 的高度 AE 为 32 米 20 某小区准备把一块长 80m， 宽 60m （AB60， BC80） 的矩形空地建成花园小广场， 设计方案如图所示， 阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形） ，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样
33、（EF GHMNPQ） ，设 APxm（15x35） （1）图中 AE 的长为 （用含 x 的代数式表示） ； （2）绿化区的面积和活动区的面积能否相同，为什么？ （3）当出口宽多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用 【专题】几何图形问题；数形结合；一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识 【答案】 （1） （x10）m； （2）绿化区的面积和活动区的面积不能相同，理由见解析； （3）出口宽 50m 时，活动区的面积最大，最大面积是 4650m2 【分析】 （1）设 AEym，根据全等三角形的性质及线段的和与差分别表示出 PQ、E
34、F，再利用边相等即 可表示出 y，从而求得答案； （2）先根据公式表示出绿化区的面积，再令其等于 2400，从而得关于 x 的一元二次方程，推得无解即 可作出判断； （3）先表示出活动区的面积，再将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）设 AEym， 四块绿化区为全等的等腰直角三角形， APDQ，AEFB， ABCD60，BCAD80， PQADAPDQ802x， EFABAEBF602y， EFGHMNPQ， 802x602y， yx10， 故答案为： （x10）m； （2）， 依题意 2x220 x2400，即 x210 x12000， 解得 x30 或 40，都不
35、符合题意， 绿化区的面积和活动区的面积不能相同； （3）S活动区8060（2x220 x） 2x2+20 x+4800 2（x5）2+4850， 20，且 15x35， 当 x15 时活动区的面积最大，最大面积是 4650m2 此时，出口宽 8021550m， 出口宽 50m 时，活动区的面积最大，最大面积是 4650m2 21 新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相 等，则这个点叫做“和谐点” 例如，如图，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形 OAPB 的周长与面积相等，则点 P 是“和谐点” （1）点 M（1，2）
36、“和谐点” （填“是”或“不是” ） ；若点 N（3，a）是第一象限内的一个“和谐 点” ，则点 N 坐标是 ； （2）如图，若点 P（2，3） ，点 E 是线段 PB 上一点且 BEn，连接 OE 并延长交 AP 的延长线于点 Q， 请用含有 n 的代数式表示 PQ 的长（需要写出解题过程） （3）在（2）的条件下，当 SOBESEPQ2 时，求点 Q 的坐标 【考点】四边形综合题 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力 【答案】 （1）不是； （3，6） ； （2）； （3） （2，4） 【分析】 （1）根据题意即可得到结论，因为点 N（3，a）是第一象限内的一个“和谐点” ，所以根据题意
37、得 3a2（3+a） ，解答即可 （2）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （3）根据三角形面积公式解答即可 【解答】解： （1）M 不是和谐点 根据题意，对于 M 而言，面积为 122，周长为 2（1+2）6， 所以 M 不是和谐点； 根据题意，对于 N 而言，面积为 3a，周长为 2（3+a） ， 点 N（3，a）是第一象限内的一个“和谐点” ， 3a2（3+a） ， 解得：a6， 点 N 坐标是（3，6） ， 故答案为：不是；点 N（3，6） ； （2）P（2，3） ， BP2，PA3， BEn，故设 E（n，3） ，则 PE2n， OBPQPE90，BEOPEQ， BOEPQE， ，
38、 即， 解得，； （3）SOBESEPQ2， ， 解得， PQ1， Q（2，4） 22 在直角坐标系中， A 的半径是 4， 圆心 A 的坐标为 （2， 0） ， A 与 x 轴交于 E、 F 两点， 与 y 轴交于 C、 D 两点，直线 BC 与A 交于点 C 与 x 轴交于点 B（6，0） （1）求证：BC 为A 的切线； （2）若抛物线 yax2+bx+c 的顶点在直线 BC 上，与 x 轴的交点恰好为点 E、F，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，当ECM 的周长最小时，请直接写出 M 点的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题
39、；几何直观；创新意识 【答案】 （1）见解答； （2）yx2+x+2； （3）点 M 的坐标为（2，） 【分析】 （1）由 AB2BC2+AC2，即可求解； （2）求出抛物线顶点坐标为（2，） ，将点 E 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （3）由题意知，EC 的长度不变，点 M 在抛物线的对称轴上，连接 CF 交对称轴于点 M，此时ECM 的 周长最短，进而求解 【解答】解： （1）连接 AC， 圆的半径为 4，则 CA4， 由点 A、B 的坐标知，OA2，OB6，则 ABOA+OB8， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：OC2， 在 RtBOC 中，BC2OC2+OB248， 则 AB2
40、BC2+AC2， 故ACB90， BC 为A 的切线； （2）由点 B、C 的坐标可得直线 BC 的解析式为 yx+2； 由题意得，A 与 x 轴的交点分别为 E（2，0） 、F（6，0） ， 则抛物线的对称轴为过点 A 的直线 x2 抛物线的顶点在直线 BC 上， 当 x2 时，yx+2， 抛物线顶点坐标为（2，） 设抛物线解析式为 ya（x2）2+， 抛物线过点 E（2，0） ， 0a（22）2+， 解得 a 抛物线的解析式为 y（x2）2+x2+x+2； （3）由题意知，EC 的长度不变，点 M 在抛物线的对称轴上， 连接 CF 交对称轴于点 M，此时ECM 的周长最短， 设直线 CF 的表达式为 ymx+n，则，解得， 直线 CF 的表达式为 yx+2， 当 x2 时，yx+2， 故点 M 的坐标为（2，）