1、第八单元第八单元 数学广角数学广角 【例【例 1 1】观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点。 解析： 本题考查的知识点是数与形结合的规律，考查的方法是通过特例分析归纳出一般结论的 方法。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析 找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。 第（1）个图有 1+2+3=6 个点，第（2）个图有 2+3+4=9 个点，第（3）个图有 3+4+5=12 个点第个图就有个点，所以第（9）个图中应有 9+10+11=30（个）点。 解答：30。 【例【例 2】先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第 10 个方框里有（
2、）个点，第 51 个方框里有（ ）个点。 解析：本题考查的知识点是数与形结合的规律，解答时，应找出哪些部分发生了变化，是按照 什么规律变化的。按照给出的规律，以此类推，第五个图形有 1+44 个点，如下图。因为第 n 个图中共有 1+4（n-1）个点，所以第 10 个图中有 1+4（10-1）=37 个点，则第 51 个图共 有 1+4（51-1）=201 个点。 解答：37 201 【例【例 3 3】按下面用小棒摆正六边形。摆 4 个正六边形需要（ ）根小棒；摆 10 个正六边 形需要（ ）根小棒；摆个正六边形需要（ ）根小棒。 解析：本题考查的知识点是是数形结合规律。解答时，根据已知图形的
3、排列特点及数量关系， 推理得出一般的结论进行解答。 摆 1 个六边形需要 6 根小棒，可以写作 51+1；摆 2 个六边形需要 11 根小棒，可以写作 52+1；摆 3 个六边形需要 16 根小棒，可以写作 53+1由此可以推理得出一般规律，即 摆个六边形需要根小棒。 解答：21 51 5n+1 【例【例 4 4】观察下列由五角星组成的等边三角形图案： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20 个图形共有多少个？ 解析：本题考查的知识点是利用数学结合思想解答五角星组成的图案问题。解答时，设每个图 形的每边的五角星个数是 n，每个图案的总点数即五角星总数用 S 表示。 当 n=2 时，S=3
4、（2-1）=3 当 n=3 时，S=3（3-1）=6 当 n=4 时，S=3（4-1）=9 所以，S=3（n-1）=3n-3，当第 20 个图形，n=21，所以 S=321-3=60（个） 解答：60 【例【例 5 5】现在有若干圆环，它的外直径 5 厘米，环宽 5 毫米，将它们扣在一起，拉紧后测其长 度，请你完成下列各题。 （1）根据表中规律，则 8 个环拉紧后的长度是多少厘米？ （2）设环的个数为 a，拉紧后总长为 S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ 解析：本题考查的知识点是数学结合规律解答问题。解答时，根据题干可知：1 个圆环的长度 是 5 厘米，以后每增加一个圆环，就增加 5-0
5、.52=4 厘米，由此可以完成表格。 （1）当有 n 个环时，拉紧后的总长度就是：1+4n 厘米；据此求出 n=11 时的长度。 （2）设环 的个数为 a，拉紧后总长为 S，则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式是：S=0.52+（5-0.5 2）a，即：S=1+4a。 解答：5 毫米=0.5 厘米，1 个圆环的长度是 5 厘米，以后每增加一个圆环，就增加 5-0.52=4 厘米，由此可以完成表格， （1） 当有 n 个环时， 拉紧后的总长度就是 1+4n 厘米， 当 n=8 时， 总长度是 1+84=33 （厘米） 答：8 个圆环拉紧后的长度是 33 厘米 （2）设环的个数为 a，拉紧后总长为 S， S=0.52+（5-0.52）a，即：S=1+4a 答：这个关系式是：S=1+4a。 【例【例 6 6】用长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形纸按下图的顺序摆出山字形。 （1）排成 5 层时，这个图形的周长是多少厘米？ （2）写出层数和周长的关系式 解析： 本题考查的知识点是数形结合思想解答图形排列问题。 解答时， 先看一层时， 周长是 （2+1） 2；两层时，周长是（22+12）2；三层时周长是（23+13）2，所以 n 层时， 周长是（2n+n）2=6n，据此解答即可。 解答： （1）当 n=5 时，65=30（厘米） （2）n 层时，周长是（2n+n）2=6n