1、4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短 北师大版北师大版 数学数学 七年级七年级 上册上册 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 如何比较两个人的身高？如何比较两个人的身高？ 我身高我身高1.53米，米， 比你高比你高3厘米厘米. . 我身高我身高1.5米米. . 导入新知导入新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 看看下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的 ？ 导入新知导入新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 1. 了解两点间距离的意义，
2、理解“了解两点间距离的意义，理解“两点之间，两点之间，线段最线段最 短短”的线段性质，并学会运用”的线段性质，并学会运用. 2. 会用会用尺规尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线画一条线段等于已知线段，会比较两条线 段的段的长短长短. 3. 理解线段理解线段中点、等分中点、等分点的意义，点的意义，能够运用线段的能够运用线段的和、和、 差、倍、分差、倍、分关系求线段的长度关系求线段的长度. 素养目标素养目标 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / A F E D B C 如如图：从图：从A地到地到 C 地有四条道路，地有四条道路，哪条路最哪条路最 近？在图上标出近？在图上标出.
3、. 线段线段的性质的性质 知识点 1 探究新知探究新知 想一想想一想 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / A F E D B C 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实： 两点之间的所有连线中，线段最短两点之间的所有连线中，线段最短. . 连接两点间的连接两点间的线段线段的的长度，长度，叫做叫做 这两点的距离这两点的距离. . 你能举出这条性质在生活中的应用吗你能举出这条性质在生活中的应用吗？ 这这一事实可以简述：一事实可以简述：两点之间，线段最短两点之间，线段最短. . 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线
4、段的长短/ / 两点之间线段最两点之间线段最短短. 如如图，这是图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路两地之间的公路，在公路工程工程 改造计划时，为使改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何两地行程最短，应如何 设计设计线路？请在图中画出，并说明理由线路？请在图中画出，并说明理由. . B A . 探究新知探究新知 议一议议一议 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 把原来弯曲的河道改直，把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长两地间的河道长 度度有什么变化？有什么变化？ A B A，B 两地间的河两地间的河 道长度变短道长度变短. 探究新知探究新知 想一想想一想 4
5、.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 如图，如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+ AC BC ( (填“填“”“”“”或“或“”). ”). 其中其中 蕴含的数学道理是蕴含的数学道理是_._. 两点之间线段最两点之间线段最短短. . A B C 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 在一条笔直的公路两侧，分别有在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，两个村庄， 如如图，现在要在公路图，现在要在公路 l 上建一个汽车站上建一个汽车站 C，使汽，使汽 车站车站到到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中两村庄的距离之和最小，请在图中
6、画画出汽车站的位置出汽车站的位置. . C A B l 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 比较比较下图哪棵下图哪棵树高树高？哪哪支铅支铅笔长笔长？窗框窗框相邻的两条边相邻的两条边 哪条边长？你是怎么比较的？哪条边长？你是怎么比较的？ 探究新知探究新知 知识点 2 线段的比较线段的比较 如何比较两条线段的长短呢？如何比较两条线段的长短呢？ 思考思考 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 猜想交流猜想交流 观察这三组图形，你能比较出每组图形中观察这三组图形，你能比较出每组图形中 线段线段 a 和和 b 的长短吗？的长短吗？ 三组图形中，线段三组图形
7、中，线段 a与与b的长度均的长度均相等相等 很多时候，眼见未必为实很多时候，眼见未必为实. . 准确准确比较线段的长短还需要更加严谨比较线段的长短还需要更加严谨 的办法的办法. . ( (1) ) ( (2) ) ( (3) ) a b a a b b 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 合作探究合作探究 做做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较 长的木棍上截下一段，长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短使截下的木棒等于另一根短 木棒的长，我们常采用以上办法木棒的长，我们常采用以上办法. . 探究新知探究新知 4.
8、2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 画画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻 度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它再画一条与它 相等的线段？相等的线段？ 思考思考 小提示：小提示：在可打开角度在可打开角度 的最大范围内，圆规可的最大范围内，圆规可 截取任意长度，相当于截取任意长度，相当于 可以移动的可以移动的“小木棍小木棍”.”. 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 你们你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从平时是如何比较两个同学的身高的？你
9、能从 比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？ 讨论讨论 160cm 170cm 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 比较两个同学高矮的方法：比较两个同学高矮的方法： 叠合法叠合法. 让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮两人的头顶，直接比出高矮. 用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较数值进行比较. 度量法度量法. 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ /
10、D C B 试比较线段试比较线段AB，CD 的的长短长短. ( (1) ) 度量法；度量法； ( (2) ) 叠合法叠合法 将将其中一条线段其中一条线段“移移”到另一条线段上，使其一到另一条线段上，使其一 端点与另一线段的一端点端点与另一线段的一端点重合重合，然后观察两条线段另，然后观察两条线段另 外两个端点的位置作比较外两个端点的位置作比较. ( (A) ) C D A B 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / C D 1. . 若点若点 A 与点与点 C 重合，点重合，点 B 落落 在在C，D之间，那么之间，那么 AB CD. . ( (A) ) B 叠合法
11、叠合法结论：结论： C D A B B ( (A) ) 2. . 若点若点 A 与点与点 C 重合，点重合，点 B 与与 点点 D ，那么，那么 AB = CD. . 3. . 若点若点 A 与点与点 C 重合，点重合，点 B 落在落在 CD 的延长线上，那么的延长线上，那么 AB CD. 重合重合 B A B A C D ( (A) ) ( (B) ) 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 1.为了为了比较线段比较线段AB与与CD的大小，小明将点的大小，小明将点A与点与点C重合重合 使使两条线段在一条直线上，结果点两条线段在一条直线上，结果点B在在CD的延长线
12、上，的延长线上， 则则( ( ) ) AABCD BABCD CABCD D以上都以上都不对不对0 2.如如图所示，图所示，ABCD，则，则AC与与BD的大小关系是的大小关系是( ( ) ) AACBD BACBD CACBD D无法无法确定确定 B C A B C D 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 已知线段已知线段AB,用尺规用尺规作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段 AB. A B 先作一条射线先作一条射线A C ； A C 用圆规量取已知用圆规量取已知线线段段AB的的长度长度； 在射线上截取在射线上截取A B =AB,线段线段A B 就是就
13、是 所求的所求的线段线段. 探究新知探究新知 作一条线段等于已知作一条线段等于已知线段线段( (尺规作图法尺规作图法) ) 知识点 3 例 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 在在直线上画出线段直线上画出线段 AB=a ，再在，再在 AB 的延长线上画线段的延长线上画线段 BC=b，线段，线段AC 就是就是 与与 的的和和，记作，记作 AC= . . 如果在如果在AB上画线段上画线段 BD=b，那么线段，那么线段 AD 就是就是 与与 的的 差差，记作，记作AD= . . A B C D a+ +b a- -b a b b 画一画画一画 a b a+ +b a b a- -b
14、探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 1.如如图，点图，点B，C在线段在线段 AD 上则上则ABBC _； ADCD _；BC _ _ _ _. A B C D AC AC AC AB BD CD 2.如如图，已知线段图，已知线段a，b，画一条线段，画一条线段AB，使使AB2ab. a b A B 2ab 2a b 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 在在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端 点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ A
15、B M 探究新知探究新知 知识点 4 线段的中点线段的中点 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / A B M 如如图，点图，点M 把线段把线段 AB 分成相等的两条线段分成相等的两条线段AM 与与BM， 点点 M 叫做线段叫做线段AB 的的中点中点. .类似类似地，还有线段的三等分点、地，还有线段的三等分点、 四等分点等四等分点等. . 线段的线段的三等分点三等分点 线段的线段的四等分点四等分点 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / A a a M B M 是线段是线段AB的中点的中点 几何语言几何语言：因为因为 M 是是线段线段 AB 的的中点，
16、中点， 所以所以 AM MB 1 2 AB. ( ( 或或AB 2AM 2MB ) ) 反之也成立反之也成立：因为因为 AM MB 1 2 AB ( ( 或或AB 2AM 2MB ) )， 所以所以 M是线段是线段 AB 的的中点中点. 探究新知探究新知 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 点点M , , N 是线段是线段AB的三等分点：的三等分点： AM MN NB _ AB ( (或或 AB _AM _ MN _NB) ) 3 3 3 N M B A 探究新知探究新知 1 3 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 例例1 若若 AB 6cm，点，点 C 是线段
17、是线段 AB 的中点，点的中点，点 D是线段是线段 CB 的中点，求：线段的中点，求：线段 AD 的长是多少的长是多少? ? 解解：因为因为C 是线段是线段AB的中点，的中点， 因为因为D是是线段线段CB的的中点，中点， 所以所以 AC CB 1 2 AB 1 2 6 3 ( (cm) ). 所以所以 CD 1 2 CB 1 2 3 1.5 ( (cm) ). 所以所以 AD AC CD 3 1.5 4.5 ( (cm) ). A C B D 利用中点求线段的长度利用中点求线段的长度 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 2.如图，下列说法
18、，不能判断点如图，下列说法，不能判断点C 是线段是线段AB 的中点的是的中点的是( ) ( ) A. AC CB B. AB 2 AC C. AC CB AB D. CB 1 2 AB C B A 1. .如如图，点图，点C 是线段是线段AB 的中点，若的中点，若AB 8 cm，则，则AC cm. . 4 C ABC A C B 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 3. .如如图，线段图，线段AB 4 cm，BC 6 cm，若点，若点D为线段为线段AB的的 中点，点中点，点E为线段为线段 BC 的中点，求线段的中点，求线段 DE 的长的长.
19、. A D B E C 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / A D B E C 答：答：DE 的长为的长为 5 cm. . 解解：因为因为D 是线段是线段AB的中点，的中点， 因为因为E是线段是线段BC的的中点，中点， 所以所以 AD DB 1 2 AB 1 2 4 2 ( (cm) ). 所以所以 BE 1 2 BC 1 2 6 3 ( (cm) ). 所以所以 DE DB BE 2 3 5( (cm) ). 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 例例2 如如图，图，B，C是线段是线段AD上
20、两点，且上两点，且AB：BC：CD 3：2：5，E，F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且EF24，求线段，求线段 AB，BC，CD的长的长 F E C B D A 解析解析：根据已知条件根据已知条件AB：BC：CD3：2：5，不妨设，不妨设 AB3x,BC2x,CD5x,然后运用线段的和差倍分，用然后运用线段的和差倍分，用 含含x的代数式表示的代数式表示EF的长，从而得到一个关于的长，从而得到一个关于x的一元一的一元一 次方程，解方程，得到次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长的值，即可得到所求各线段的长. 利用比例或倍分关系求线段的长度利用比例或倍分关系求线段的长度 探究
21、新知探究新知 素养考点素养考点 2 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / F E C B D A 解：解：设设AB3x，BC2x，CD5x， 因为因为E，F分别是分别是AB，CD的中点，的中点， 因为因为EF24，所以所以6x24,解得解得x4. 所以所以AB3x12，BC2x8，CD5x20. 探究新知探究新知 所以所以BE 1 2 AB 3 2 x， ， CF 1 2 CD 5 2 x， ， 所以所以EFBEBCCF 3 2 x 2x 5 2 x 6x 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 求求线段的长度时，当题目中涉及到线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的线
22、段长度的 比例或倍分关系比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用时，通常可以设未知数，运用方程方程 思想思想求解求解. 探究新知探究新知 方法方法点拨点拨 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 如图，已知线段如图，已知线段AB和和CD的公共部分的公共部分BD1 3 AB 1 4 CD，线段 ，线段 AB、CD的中点的中点E、F之间距离是之间距离是10cm，求，求AB，CD的长的长 F E B D C A 解析：解析：根据已知条件，不妨设根据已知条件，不妨设BDxcm，则，则AB3xcm, CD4xcm, ,易得易得AC6xcm. .在由线段中点的定义及线段在由线段中点的定义及线段
23、 的和差关系，用含的和差关系，用含x的代数式表示的代数式表示EF的长，从而得到一个的长，从而得到一个 一元一次方程，求解即可一元一次方程，求解即可. . 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 解：解：设设BDxcm,则则AB3xcm，CD4xcm，AC6xcm， 因为因为E，F分别是分别是AB，CD的中点的中点， 所以所以AB3x cm12 cm，CD4x cm16 cm. F E B D C A 因为因为EF10，所以所以 5 2 x 10, ,解得解得x4. 所以所以AE 1 2 AB 3 2 x cm， ， CF 1 2 CD 2 x c
24、m， 所以所以EFACAECF 6x3 2 x 2x 5 2 x（ （cm）. . 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 例例3 A，B，C三点在同一直线上，线段三点在同一直线上，线段AB5cm，BC4cm， 那么那么A，C两点的距离是两点的距离是（ ） A1cm B9cm C1cm或或9cm D以上答案都不对以上答案都不对 解析：解析：分以下两种情况进行讨论分以下两种情况进行讨论： 当当点点C在在AB之间上，故之间上，故ACABBC1cm； 当当点点C在在AB的延长线上时，的延长线上时，ACABBC9cm C 方法总结：方法总结：无图时求线段的长，应注意无图时
25、求线段的长，应注意分类讨论，分类讨论，一般分以下一般分以下 两种情况两种情况：点点在某一线段上在某一线段上；点点在该线段的延长线在该线段的延长线. . 需要分类讨论的问题需要分类讨论的问题 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 已知已知A，B，C三点共线，线段三点共线，线段AB25cm，BC16cm，点，点E， F分别是线段分别是线段AB，BC的中点，则线段的中点，则线段EF的长为（的长为（ ） A21cm或或4cm B20.5cm C4.5cm D20.5cm或或4.5cm D 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 比较比较
26、线段的长短线段的长短/ / 曲桥曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行 走的路程，有利于游人更好地观赏风光如图，走的路程，有利于游人更好地观赏风光如图，A、B两地间修两地间修 建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学 道理是（道理是（ ） A两点之间，线段最短两点之间，线段最短 B平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行 C垂线段最短垂线段最短 D两点确定一条直线两点确定一条直线 A 连接中考连接中考 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的
27、长短/ / 1. 下列说法正确的是下列说法正确的是 ( )( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图，如图，ACDB，则图中另外两条相等的线段为，则图中另外两条相等的线段为 _. C A C D B ADBC 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长
28、短/ / 3.已知线段已知线段 AB6 cm，延长，延长 AB 到到C，使，使BC2AB，若，若 D为为AB 的中点，则线段的中点，则线段DC 的长为的长为_._. C A D B 15 cm 4.点点A，B，C在同一条数轴上，其中点在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别表示的数分别是是 - -3，1，若，若BC5，则，则AC_ 9或或1 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 如图：如图：AB4 cm，BC3 cm，如果点，如果点O 是线段是线段 AC 的中点求线段的中点求线段 OB 的长度的长度 A B C O 解解：因
29、为因为 ACABBC437( (cm) )， 点点O 为线段为线段 AC 的中点的中点， 所以所以 OC1 2AC 1 2 73.5 ( (cm) )， 所以所以OBOCBC3.530.5( (cm) ) 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 已知已知，如图，如图，B，C两点把线段两点把线段AD分成分成2：5：3三部分，三部分， M为为AD的中点，的中点，BM6，求，求CM和和AD的长的长 D A C B M AD10 x20 解解：设设AB2x，BC5x，CD3x, 所以所以ADABBCCD10 x. . 因为因为M是是A
30、D的中点，的中点， 所以所以AMMD5x， 所以所以BMAMAB3x. . 因为因为BM6， 即即3x6，所以，所以x2. . 故故CMMDCD2x4， 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 比较比较线段线段 的长短的长短 线段线段长短的比较长短的比较 线段的线段的性质性质 线段线段中点的概念中点的概念 度量法度量法 叠合法叠合法 两两点之间点之间线段最短线段最短 尺规作图法尺规作图法 把一条线段把一条线段分成相等的两条分成相等的两条 线段的点线段的点，叫做线段的中点，叫做线段的中点 课堂小结课堂小结 4.2 4.2 比较比较线段的长短线段的长短/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习