1、4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 4.2 4.2 一次函数与正比例函数一次函数与正比例函数 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 1. .什么是函数？什么是函数？ 2. .函数有哪些表示法？函数有哪些表示法？ 复习引入复习引入 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和和y，并且对于，并且对于变量变量x的每一个值，的每一个值，变量变量y都有都有唯一的唯一的 值与它对应，值与它对应，那么我们称那么我们称y是是x的函数的函数. 函数的表示法：函数的表示
2、法： 图象图象法法 列表列表法法 关系式关系式法法（解析式（解析式法）法） 导入新知导入新知 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 1. 结合具体情境理解结合具体情境理解一次函数一次函数的意义，能结合的意义，能结合 实际问题中的数量关系写出一次函数的实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式解析式. 2. 能辨别正比例函数与一次函数的能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系区别与联系. 素养目标素养目标 3. 能利用能利用一次函数一次函数解决简单的实际问题解决简单的实际问题. 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / x/kg 1 2 3 4 5 y
3、/cm （1）计算所挂物体的质量分别为）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg， 4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：时弹簧的长度，并填入下表： 3.5 4 4.5 5 5.5 复习引入复习引入 （2）你能写出）你能写出y与与x之间的关系式吗？之间的关系式吗？ 知识点 1 一次函数与正比例函数的概念一次函数与正比例函数的概念 探究新知探究新知 某弹簧的自然长度为某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物，在弹性限度内，所挂物 体的质量体的质量x每增加每增加1 kg，弹簧长度，弹簧长度y增加增加0.5 cm. . 问题问题1 解：解：y与与x之间的关系式为之间的关系式为
4、：y=3+0.5x. 分析：分析： 它们它们之间的数量关系是之间的数量关系是: : 弹簧长度弹簧长度= =原长原长+ +增加的长度增加的长度 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 汽车行驶汽车行驶路程路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量耗油量y/L 某某辆汽车油箱中原有汽油辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶，汽车每行驶 50 km耗油耗油6 L. . （1）完成下表：）完成下表： 0 6 12 18 24 36 （2）你能写出耗油量）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程与汽车行驶路程x （km）之间的关系式吗？之间的关系式吗？ （3）你
5、能写出）你能写出油箱油箱剩剩余余油量油量z（L）与汽车行与汽车行 驶路程驶路程x（km）之间的关系式吗？之间的关系式吗？ y=0.12x z = 60- -0.12x 探究新知探究新知 问题问题2 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 研讨以下两个函数关系式研讨以下两个函数关系式: : (1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？它们的结构有什么特点？ 解析解析:1都是含有两个变量都是含有两个变量x，y的等式的等式. 2x和和y的指数都是一次的指数都是一次. 3自变量自变量x的系数都不的系数都不为为0. 探究新知探究新知 4.2 4
6、.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 若两个变量若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成间的对应关系可以表示成 y=kx+b ( (k, b为常数，为常数，k0）的形式，则）的形式，则称称 y是是x的的一一 次函数次函数. . 特别地，当特别地，当b=0时，称时，称y是是x的的正比例函数正比例函数. 函数是一次函数函数是一次函数 关系式为：关系式为：y=kx+b (k,b为常数，为常数，k0） 函数是正比例函数函数是正比例函数 关系式为：关系式为：y=kx ( (k为常数，为常数，k0 0） 定义定义： 探究新知探究新知 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数
7、/ / 思考思考 一次函数一次函数的结构特征有哪些？的结构特征有哪些？ （1）k0 . （2）x 的次数是的次数是1. （3）常数项常数项b可以为一切实数可以为一切实数. 一次函数一次函数 正比例函数正比例函数 探究新知探究新知 答：答：一次函数的结构一次函数的结构特征特征： 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 例例1 下列下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ ( (1) )y=-x-4; ( (2) )y5x2-6； ( (3) )y=2x; ( (6) )y=8x2+x(1-8x); (4); 2 x y
8、2 (5);y x 解：解：( (1) )是一次函数，不是正比例函数；是一次函数，不是正比例函数； ( (2) )不是一次函数，也不是正比例函数；不是一次函数，也不是正比例函数； ( (3) )是一次函数，也是正比例函数；是一次函数，也是正比例函数； ( (4) )是一次函数，也是正比例函数；是一次函数，也是正比例函数； ( (5) )不是一次函数，也不是正比例函数；不是一次函数，也不是正比例函数； ( (6) )是一次函数，也是正比例函数；是一次函数，也是正比例函数； ( (7) )不是不是一次函数，也不是正比例一次函数，也不是正比例函数函数. . （7）y=kx+b. 探究新知探究新知 素
9、养考点素养考点 1 一次函数与一次函数与正比例函数正比例函数的判断的判断 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 探究新知探究新知 方法点拨 1. .判断一个函数是一次函数的条件：判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零；自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2. .判断一个函数是正比例函数的条件：判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，自变量是一次整式，一次项系数不为零， 常数项为零常数项为零 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 下列下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？函数中
10、哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） xy8 8 y x 65 2 xy15.0 xy 答答：（1）是）是一次函数一次函数，又是，又是正比例函数正比例函数； （4）是）是一次函数一次函数. . 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 例例2 已知函数已知函数y=(m-2)x+4-m2 （1）当）当m为何值时，这个函数是一次函数为何值时，这个函数是一次函数? ? 解解：（1）由题意可得）由题意可得m-20， 解得解得m2. . 即即m2时，这个函数是一次函数时，这个函数是一次函数. . 探究新
11、知探究新知 素养考点素养考点 2 利用一次函数的概念求字母的值利用一次函数的概念求字母的值 ykxb 注意注意：利用定义求利用定义求 一次函数一次函数 解析式时，必须保解析式时，必须保 证：证： （1）k 0； （2）自变量自变量x的指的指 数是“数是“1” （2）当当m为何值时，这个函数是为何值时，这个函数是正比例函数正比例函数? ? （2）由题意可得）由题意可得m-20，4-m2=0， 解得解得m=-2. . 即即m=-2时，这个函数是正比例函数时，这个函数是正比例函数. . 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 已知已知函数函数y=2x|m|+(m+1). .
12、（1）若这个函数是一次函数，求）若这个函数是一次函数，求m的值的值； （2）若这个函数是正比例函数，求）若这个函数是正比例函数，求m的值的值. . 解解：（1）由题意得：）由题意得： 因此因此 m=1. （2）由题意得：）由题意得：m+1=0 , 解得解得m= -1. . 1m 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 写出下列各题中写出下列各题中y与与x之间的关系式，并判断：之间的关系式，并判断：y是否是否 为为x的一次函数？是否为正比例函数？的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以）汽车以60km/h的速度匀速行驶的速度匀速行驶
13、, ,行驶路程为行驶路程为y(km) 与行驶时间与行驶时间x(h)之间的关系之间的关系; ; 解解：由路程由路程= =速度速度时间，得时间，得y=60 x ,y是是x的一次函数的一次函数, ,也也 是是x的正比例函数的正比例函数. . 解解：由圆的面积公式，得由圆的面积公式，得y=x2, , y不是不是x的正比例函数，的正比例函数， 也不是也不是x的一次函数的一次函数. . （2）圆的面积）圆的面积y (cm2 )与它的半径与它的半径x (cm)之间的关系之间的关系. . 探究新知探究新知 知识点 2 一次函数与正比例函数的应用一次函数与正比例函数的应用 例例1 4.2 4.2 一次函数一次函
14、数与正比例函数与正比例函数/ / 解解：这个水池每时增加这个水池每时增加5m3水，水，x h增加增加5x m3水，水， 因而因而y=15+5x, ,y是是x的一次函数的一次函数，但，但不是不是x的正比例函数的正比例函数. . （3）某水池有水）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进，现打开进水管进水，进 水速度为水速度为5m3/h，x h后这个水池有水后这个水池有水y m3. . 探究新知探究新知 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 某种某种大米的单价是大米的单价是2.2元元/ /kg，当购买，当购买x kg大米时，大米时， 花费为花费为y元，元，y是是x的一次函
15、数吗？是正比例函数吗？的一次函数吗？是正比例函数吗？ 探究新知探究新知 解：解： y=2.2x，y是是x的一次函数的一次函数, ,是正比例函数是正比例函数. . 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 自自2019年年1 1月月1日起，日起，我国居民我国居民个人劳务报酬所得税预个人劳务报酬所得税预 扣预缴税款的扣预缴税款的计算方法计算方法是是：每次收入不超过每次收入不超过800元的，元的，预扣预缴预扣预缴 税款为税款为0；每次收入超过；每次收入超过800元但不超过元但不超过4000元的，元的，预扣预缴税预扣预缴税 款款= =（每次收入（每次收入-800
16、）20%如某人取得劳务报酬如某人取得劳务报酬2000元，元， 他这笔所得应他这笔所得应预扣预缴税款预扣预缴税款(2000-800)20%=240（元）（元）. . （1）当）当每次收入超过每次收入超过800元但不超过元但不超过4000元元时，写出时，写出劳务劳务 报酬所得税预扣预缴税款报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入（元）与每次收入x （元）之间的关（元）之间的关 系式；系式； 解解：当当每次收入超过每次收入超过800元但不超过元但不超过4 000元时元时， y=(x- -800)20%， 即即y=0.2x- -160; 探究新知探究新知 例例2 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比
17、例函数与正比例函数/ / （2）某人某次取得劳务报酬）某人某次取得劳务报酬3 500元，元，他这笔所他这笔所 得应预扣预缴税款得应预扣预缴税款多少元？多少元？ 解解：当当x=3500时时，y=0.23500-160=540（元）；（元）； 探究新知探究新知 （3）如果某人某次）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税预扣预缴劳务报酬所得税600元，元， 那么此人这次取得的那么此人这次取得的劳务报酬劳务报酬是多少元？是多少元？ 解：解： 因为因为(4 000-800)20%=640（元），（元），600640， 所以此人所以此人这次取得的劳务报酬这次取得的劳务报酬不超过不超过4 000元元. . 设此
18、人设此人这次取得的劳务报酬这次取得的劳务报酬是是x元，则元，则 600=0.2x-160， 所以此人所以此人这次取得的劳务报酬这次取得的劳务报酬是是3800元元. . 解得解得x=3800. 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 某某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，元， 另一种是会员卡收费，卡费每月另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本元，租书每本0.4元，小彬元，小彬 经常来该店租书，若每月租书数量为经常来该店租书，若每月租书数量为x本本. . ( (1) )写出零星租书方式应付金额写出零星租书
19、方式应付金额y1（元）与租书数量（元）与租书数量x（本）之（本）之 间的函数关系式间的函数关系式. . ( (2) )写出会员卡租书方式应付金额写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量（元）与租书数量x（本）（本） 之间的函数关系式之间的函数关系式. . ( (3) )小彬选择哪种租书方式更合算？为什么小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? ? 解解: :( (1) ) y1 =x. 解解: :( (2) ) y2=0.4x+12. 解解: :( (3) )由由x=0.4x+12知知, ,当当x20时时, ,会员卡租书会员卡租书方式合算方式合算. . 巩固练习巩固练习 4.2 4.2 一次
20、函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 根据记录根据记录，从地面向上，从地面向上11km以内，每升高以内，每升高1km，气温降低，气温降低6； 又知在距离地面又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变若地面气温为以上高空，气温几乎不变若地面气温为m （），设距地面的高度为），设距地面的高度为x（km）处的气温为）处的气温为y（） （1）写出距地面的高度在）写出距地面的高度在11km以内的以内的y与与x之间的函数表达式；之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻， 她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气
21、温为她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为26时，时， 飞机距离地面的高度为飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；，求当时这架飞机下方地面的气温； 连接中考连接中考 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 小敏想，假如飞机当时在距离地面小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温的高空，飞机外的气温 是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的时，飞机外的 气温气温 解：解：（1）根据题意得：）根据题意得：ym6x； （2）将）将x7，y26代入代入ym6x，得，得26m42，
22、 m16当时地面气温为当时地面气温为16 x1211， y1661150（） 假如当时飞机距地面假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为时，飞机外的气温为50 连接中考连接中考 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 1. 下列函数中，下列函数中，y是是x的一次函数的是（的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 6 xy x y 2 x y 8 xy 7 C 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 2.下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A.一次函数是正比例函数一次函数是正比例
23、函数 B.正比例函数不是一次函数正比例函数不是一次函数 C.不是正比例函数就不是一次函数不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例正比例函数是一次函数函数是一次函数 D 3. 要使要使y=(m-2)xn-1+n是关于是关于x的一次函数的一次函数,n,m应满应满 足足 , . n=2 m2 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 4.已知已知y与与x3成正比例，当成正比例，当x4时，时，y3 ( (1) )写写出出y与与x之间的函数关系式，之间的函数关系式，并指出它是什么函数；并指出它是什么函数； ( (2) )求求x
24、2.5时，时，y的值的值 所以所以y3x9， y是是x的一次函数的一次函数 y32.5 - 9 -1.5 解解 ：( (1) )设设yk(x3)， 把把 x4，y3 代入上式，得代入上式，得 3 k(43)， 解得解得 k3， ( (2) )当当x2.5时时， 所以所以y3(x3)， 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收 费标准如下：每户每月用水量不超过费标准如下：每户每月用水量不超过6 m3时，水费
25、按时，水费按0.6元元/m3收费，每收费，每 户每月用水量超过户每月用水量超过6 m3时，超过的部分按时，超过的部分按1元元/ / m3 收费收费. .设每户每月用设每户每月用 水量为水量为x m3，应交水费，应交水费y元元 （ 1 ）写出每月用水量不超过）写出每月用水量不超过6 m3和超过和超过6 m3时，时，y与与x之间的函之间的函 数关系式，并判断它们是否为一次函数；数关系式，并判断它们是否为一次函数； （ 2 ）已知某户）已知某户5月份的用水量为月份的用水量为8 m3 ，求该用户，求该用户5月份的水费月份的水费 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 （2）当当x=8时
26、时，y=8- -2.4=5.6（元元）. 解：解：（1）不超过）不超过6 m3 时：时：y=0.6x； 超过超过6 m3 时：时：y=0.66+1(x-6)=x-2.4；y是是x的一次函数；的一次函数； 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 如如图，图，ABC是边长为是边长为x的等边三的等边三角形角形. . （1）求）求BC边上的高边上的高h与与x之间的函数解析式之间的函数解析式.h是是x的一次函的一次函 数吗？如果是，请指出相应的数吗？如果是，请指出相应的k与与b的值的值. 解解: : ( (1) )因为因为BC边上的高边上的高AD也是也是BC边上的中线，边上的中线
27、， 所以所以BD= . 2222 13 , 42 hADABBDxxx即即 3 . 2 hx 所以所以h是是x的一次函数，的一次函数，且且 3 ,0. 2 kb 1 2 x 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 在在RtABD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 A B C D 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / （2）当）当 时，时，求求x的的值值. . 3h （3）求）求ABC的面积的面积S与与x的函数解析式的函数解析式.S是是x的一次函数吗的一次函数吗？ 解解: : （2）当）当 ，有，有 . . 3 3 2 x 解得解得x=2. . （3）
28、因为因为 2 1133 , 2224 SAD BCx xx 即即 所以所以S不是不是x的一次函数的一次函数. . 2 3 , 4 Sx 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 3h 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 一次函数一次函数 与正比例与正比例 函数函数 一次函数形式：一次函数形式：y=kx+b（k0） 特别地，特别地，当当b=0时时，y=kx(k0)是是 正比例函数正比例函数 一次一次函数的简单应用函数的简单应用 课堂小结课堂小结 4.2 4.2 一次函数一次函数与正比例函数与正比例函数/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习