1、第二十二章 二次函数一、单选题（每题3分，共30分）1（2021安徽九年级月考）以x为自变量的函数：；是二次函数的有（ ）ABCD2（2021陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：-20136-4-6-4下列各选项中，正确的是A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图象与x轴无交点C这个函数的最小值小于-6 D当时，y的值随x值的增大而增大3（2021山东东营市中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D4（2021山西晋中初三月考）已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）A B C的函数值一定大于的函
2、数值 D若，则当时，5（2021四川眉山市中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）A B C D6（2021河北张家口市九年级一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米当喷射出的水流距离喷水头20米时达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌下列说法正确的是（）A水流运行轨迹满足函数yx2x+1B水流喷射的
3、最远水平距离是40米C喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌7（2021浙江嘉兴市九年级二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）A或B或C且D或8（2021浙江杭州市九年级期末）若是关于x的一元二次方程的两根，且，则的大小关系是（ ）ABCD9（2020山东日照市中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为直线x1，下列结论：abc0；3ac；若m为任意实数，则有abmam2+b； 若图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|
4、），则2x1x25其中正确的结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个 10（2021辽宁营口市九年级一模）如图，菱形的边长为，其中，动点同时从点A都以的速度出发，点沿路线，点沿路线运动连接设运动时间为，的面积为，则下列图像中能大致表示S与的函数关系的是（ ）ABCD二、填空题（每题3分，共24分）11（2021河南开封市九年级一模）小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为 秒。12（2020北京门头沟初二期
5、末）阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b0（k0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集例，如图1，一次函数kx+b0（k0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b0（k0）的解是x1；kx+b0（k0）的解集为x1结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图1可以得到kx+b0（k0）的解集为_；（2）通过图2可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的解为 ；关
6、于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为_ 13（2021福建省初三学业考试）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为_14（2020内蒙古自治区中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_15（2021湖北武汉市中考真题）如图（1），在中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是_ 16（2020四川乐山中考真题）我们用符号表示不大于的最大整数例如：，
7、那么：（1）当时，的取值范围是_；（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方则实数的范围是_17（2021江苏泰州市九年级一模）已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是_18（2021浙江湖州市九年级期末）“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高cm，碗底宽cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽cm，此时面汤最大深度cm，将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当时停止，此时液面到_cm；碗内面汤的最大深度是_cm三、解答题（19-24题每题
8、8分，其他每题9分，共66分）19（2021江苏苏州市九年级一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）（1）已知抛物线，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；（2）平移抛物线，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式20（2021安徽合肥市九年级期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水
9、点与点C的距离21（2021浙江绍兴市中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长22（2020河北初三其他）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例；乙种产品所获年利润（万
10、元）与投入资金（万元）的平方成正比例，并得到表格中的数据设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和（1）分别求和关于的函数关系式；（2）求关于的函数关系式（用含的式子表示）；（3）当时，公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；公司从全年总利润中扣除投入乙种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围（万元）2（万元）1（万元）0.123（2021河南郑州九年级月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质
11、进行了探究，探究过程如下，请补充完整x-3-2-10123y30-10-103（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质_（3）进一步探究函数图象发现：方程的实数根为_方程有_个实数根关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围_24（2021浙江杭州市九年级二模）二次函数的顶点是直线和直线的交点（1）当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围（2）若直线与交于点当时，二次函数的最小值为，求的取值范围和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围25（2021江苏扬州市中考真题）如图，在平面直角坐标系
12、中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C（1）_，_；（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标26（2021河北保定市九年级一模）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0x30统计数据如下表：时间x（分钟）051015202530人数y（人）0275500675800875900（1）求出y与x之间的函数关系式（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检
13、测20人，学生按要求排队测温求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）附加题（1-2题，每题5分， 3-4题每题10分，共30分）1（2021河北唐山市九年级一模）如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）ABCD 2（2021浙江湖州市九年级二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是
14、有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是_3（2021福建厦门市九年级期末）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为（如图所示）由于潮汐变化，该海湾涨潮后达到最高潮位，此最高潮位维持，之后开始退潮如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间变化的情况大致如表所示（在涨潮的内，该变化关系近似于一次函数）涨潮时间（单位：）123456桥下水位上涨的高度（单位：）44（1）求桥下水位上涨的高度（单位：
15、）关于涨潮时间（，单位：）的函数解析式；（2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示：涨潮时间（单位：）桥下水面宽（单位：）现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高，宽，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由4（2021湖北襄阳市九年级一模）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=x1与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQl于Q，求PQ的最大值（3）如图2，点C（2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m的
16、取值范围第二十二章 二次函数一、单选题（每题3分，共30分）1（2021安徽九年级月考）以x为自变量的函数：；是二次函数的有（ ）ABCD【答案】C【分析】根据二次函数的定义进行判断【详解】解：，符合二次函数的定义，故是二次函数；，符合二次函数的定义，故是二次函数； ，符合二次函数的定义，故是二次函数；，不符合二次函数的定义，故不是二次函数所以，是二次函数的有，故选：C【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键2（2021陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：-20136-4-6-4下列各选项中，正确的是A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图
17、象与x轴无交点C这个函数的最小值小于-6 D当时，y的值随x值的增大而增大【答案】C【分析】利用表中数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断【详解】解：设二次函数的解析式为，依题意得：，解得：，二次函数的解析式为=，这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；，这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；，当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；这个函数的图象的顶点坐标为(，)，当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键3（
18、2021山东东营市中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论【详解】A. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误故
19、选C【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键4（2021山西晋中初三月考）已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）A B C的函数值一定大于的函数值 D若，则当时，【答案】C【分析】根据函数的对称性，函数图象与x轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.【解析】二次函数的图象关于直线对称，,b=-4，故A错误；不能判断出图象与x轴交点的个数，故不能确定，故B错误；抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故的函数值一定大于的函数值，即C正确；若，则当时，y0，故D错误
20、；故选：C.【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.5（2021四川眉山市中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）A B C D【答案】A【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式【详解】解:当x=0时，y=5，C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解
21、析式可得：，新抛物线的解析式为：；故选：A【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等6（2021河北张家口市九年级一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米当喷射出的水流距离喷水头20米时达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平
22、距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌下列说法正确的是（）A水流运行轨迹满足函数yx2x+1B水流喷射的最远水平距离是40米C喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌【答案】D【分析】A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；B、把y=0代入函数yx2+x+1即可水流喷射的最远水平距离C、当x=20时y=11，减去2即可； D、向后平移后的解析式为，把x=37代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断【详解】解：A、设石
23、块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x= 2 +20，水流喷射的最远水平距离是2 +20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，11-2=9喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.5 8.5-3=5.52.3， 可以避开对这棵石榴树的喷灌； 故选：D【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键7（2021浙江嘉兴市九年级二模）在平面直角坐标系中，已知
24、点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）A或B或C且D或【答案】A【分析】用待定系数法求出AB的解析式，根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），则点，解得：； AB的解析式为， 由整理得4ax2-7x-2=0， 由=（-7）2+44a20得，当a0时，当抛物线经过B（2，1）时，则4a-4+1=1，解得a=1当a0时，当抛物线经过点时，则4a+4+1=2，解得综上，a的取值范围为或故选：A【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合，分类讨论是解题的关键8（2021浙江杭州市九年级期末）若
25、是关于x的一元二次方程的两根，且，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【分析】由（xa）（xb）30可以将（m，3），（n，3）看成直线y13与抛物线y2（xa）（xb）两交点，画出大致图象即可以判断【详解】解：如图，抛物线y2（xa）（xb）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y13的交点为（m，3），（n，3），由图象可知mabn故选：D【点睛】此题考查的是一元二次方程根的分布，一元二次方程转化为二次函数与x轴的交点问题，在此题中关键在于能够对（xa）（xb）30拆分成直线y13与抛物线y2（xa）（xb），再通过大致图象即可解题，这也给我提供了一种解决此类问题的技巧9（202
26、0山东日照市中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为直线x1，下列结论：abc0；3ac；若m为任意实数，则有abmam2+b； 若图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），则2x1x25其中正确的结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】C【分析】由图象可知a0，c0，由对称轴得b=2a0，则abc0，故错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c0，得正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+cam2+bm+c，得错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交
27、点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出正确，即可得出结论【详解】解：由图象可知：a0，c0， ，b2a0，abc0，故abc0错误；当x1时，ya+b+ca+2a+c3a+c0，3ac，故3ac正确；x1时，y有最大值，ab+cam2+bm+c（m为任意实数），即abam2+bm，即abmam2+b，故错误；二次函数yax2+bx+c（a0）图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），二次函数yax2+bx+c与直线y2的一个交点为（3，2），抛物线的对称轴为直线x1，二次函数yax2+bx+c与直线y2的另一个交点为（1，2），即x11，
28、x23，2x1x22（3）5，故正确所以正确的是；故选：C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）10（2021辽宁营口市九年级一模）如图，菱形的边长为，其中，动点同时从点A都以的速度出发，点沿路线，点沿路线运动连接设运动时间为，的面积为，则下列图像中能大致表示S与的函数关系的是（ ）ABCD【答案】C【分析】分两种情况：当点E在AB上运
29、动时和当点E在BC上运动时，分别得出S与t之间的关系，然后对照选项即可确定答案【详解】， 当点E在AB上运动时，即时，动点同时从点A都以的速度出发， ，为等边三角形， 图象为开口向上的抛物线；当点E在BC上运动时，即时，此时， 四边形ABCD是菱形， ，为等边三角形， ， ， ， ， ，图象为开口向下的抛物线，综上所述，C选项符合题意，故选：C【点睛】本题主要考查函数图象，能够根据题意找到S与t之间的关系是关键二、填空题（每题3分，共24分）11（2021河南开封市九年级一模）小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画如图记录了该摩天
30、轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为 秒。【答案】【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值【详解】解：把（160，60），（190，67.5）分别代入，可得，解得：，则，当时，有最大值，当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题12（2020北京门头沟初二期末）阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴交点横坐标，是一元
31、一次方程kx+b0（k0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集例，如图1，一次函数kx+b0（k0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b0（k0）的解是x1；kx+b0（k0）的解集为x1结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图1可以得到kx+b0（k0）的解集为_；（2）通过图2可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的解为 ；关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为_ 【答案】x1 x11，x22 x1或x2 【分析】（1）直接根据
32、图象即可得出答案；（2）直接根据抛物线与x轴的交点即可得出答案；直接根据图象即可得出答案【解析】解：（1）通过图1可以得到kx+b0（k0）的解集为x1；（2）通过图2可以得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的解为x11，x22；关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为x1或x2故答案为：x1；x11，x22；x1或x2【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键13（2021福建省初三学业考试）已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为_【答案】或【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解【解析】解：点是该抛物线的
33、顶点，且，该函数有最小值，则函数开口向上，；当时，点B、C重合，则，不符合题意；的取值范围为：或故答案为：或【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键14（2020内蒙古自治区中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_【答案】4【分析】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值【解析】A、B的纵坐标一样,A、B是对称的两点,对称轴,即,b
34、=4抛物线顶点(2,3)满足题意n得最小值为4,故答案为4【点睛】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键是根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴15（2021湖北武汉市中考真题）如图（1），在中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是_【答案】【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离
35、之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得：CD=,AE= AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 当y=0时，x=故填【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键16（2020四川乐山中考真题）我们用符号表示不大于的最大整数例如：，那么：（1）当时，的取值范围是_；（2）当时，函数的图象始终
36、在函数的图象下方则实数的范围是_【答案】 或 【分析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数【解析】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2当取0时， ；当取1时， ；当=2时，故综上当时，x的取值范围为：（2）令，由题意可知：，当时，=，在该区间函数单调递增，故当时， ，得当时，=0， 不符合题意当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，得，当时，因为 ，故，符合题意故综上：或【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，
37、需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型17（2021江苏泰州市九年级一模）已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是_【答案】4或-2【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0（0nm）的两个整数根，从而可以解答本题【详解】二次函数的图像经过点与，ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c
38、+m=0（m0）有两个根，方程ax2+bx+c+m=0（m0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，方程ax2+bx+c+m=0（m0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，方程ax2+bx+c+m=0（m0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，方程ax2+bx+c+n=0（0nm）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，方程ax2+bx+c+n=0（0nm）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，关于的方程的两个整数根是4或-2，故答案为： 4或-2【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点
39、、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答18（2021浙江湖州市九年级期末）“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高cm，碗底宽cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽cm，此时面汤最大深度cm，将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当时停止，此时液面到_cm；碗内面汤的最大深度是_cm【答案】 【分析】以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，得出E、C的坐标用待定系数法求抛物线的解析式，将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前CH与水
40、平方向的夹角为30，即，求出CH与y轴的交点坐标G，把点C、G代入求出直线CH的解析式，液面到平面的距离实际就是点B到直线CH的距离，求出垂直于CH的函数解析式，联立两个函数求出交点坐标，用两点间的距离公式求出B点到CH的距离；将直线CH向下平移与抛物线只有一个交点时，两直线间的距离最短，利用二次函数与一次函数的交点问题求出平移后的函数解析式，作GJ，得出直角三角形，求出两条直线间的距离即为碗内面汤的最大深度是【详解】解： 以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：由题意知：F（0，0），E（0,1），C（，7），D（，7），设抛物线的解析式为：，把点C（，7）代入
41、得，解得：， ，将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30，即 设直线CH的解析式为，与y轴交于点G，如图：由题意知：点C（，7），CK， KG，即点G（0,3） ，解得：，直线CH的解析式为：， 液面到平面的距离实际就是点B到直线CH的距离，过B作BLCH，与CH交于点L，即BL的长为液面到平面的距离设直线BL的解析式为：，过点B（，0），解得：，直线BL的解析式为：，联立，解得，即点L（）与G点重合，液面到平面的距离为：把直线CH：，向下平移m个单位得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点I时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ，交于点J，与y轴交
42、于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度联立整理为：，只要一个交点， 0，即b24ac，解得：，直线的解析式为：， 点M（0，），GM， CH与水平面的夹角为30，直线与水平面的夹角为30，即MGJ30， 在RtGMJ中，GJGMcos30，即碗内面汤的最大深度为：故答案为：；【点睛】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键三、解答题（19-24题每题8分，其他每题9分，共66分）19（2021江苏苏州市九年级一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）（1）已知抛物线，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；（2）平移抛物线，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式【答案】（1），；（2）或【分析】（1）据配方可求出点A的坐标；再根据“和谐点”的定义得出横、纵坐标关系与抛物线联立方程组求解即可；（2）设，得新抛物线，再把代入求出m的值即可得出结论【详解】解：（1）= 抛物线的顶点坐标为，设“和谐点”B（x，y）x+y=0 又B在上联立得 解得，（2）设，则平移后的抛物