1、1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 1 1.1 .1 探索勾股定理探索勾股定理 （第第1 1课时）课时） 北师大版北师大版 数学数学 八八年级年级 上册上册 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 同学们同学们，在我们美丽的，在我们美丽的 地球王国上，原始森林，参地球王国上，原始森林，参 天古树带给我们神秘的遐想；天古树带给我们神秘的遐想； 绿树成荫，微风习习，给我绿树成荫，微风习习，给我 们以美的享受们以美的享受. .你知道吗？你知道吗？ 在古老的数学王国，有一种在古老的数学王国，有一种 树木它很奇妙，生长速度大树木它很奇妙，生长速度大 的惊人，它是什么呢？下面的惊人
2、，它是什么呢？下面 让我们带着这个疑问一同到让我们带着这个疑问一同到 数学王国去欣赏吧！数学王国去欣赏吧！ AB 勾股树 导入新知导入新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 1. .通过通过数格子的方法数格子的方法探索探索勾股定理；学生理解勾股定勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系理反映的是直角三角形三边之间的数量关系. . 素养目标素养目标 2. .在探索过程中，学生经历了“在探索过程中，学生经历了“观察观察- -猜想猜想- -归纳归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来的教学过程，将形与数密切联系起来. . 3. .学生初步学生初步运用勾股定理运
3、用勾股定理进行简单的计算和实际的进行简单的计算和实际的 应用应用. . 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 在在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表分别测量它们的三条边长，并填入下表. .看看三边长看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流. . 知识点 勾股定理的探索勾股定理的探索 做一做做一做 a b c a2,b2,c2之间关系 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 问题问题1 你你能发现下图中能发现下图中三个正方形面积三个
4、正方形面积之间有怎样的关系之间有怎样的关系? ? A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图1 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 正方形正方形A中含有中含有 个小方格个小方格,即即 A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积. 同理同理:正方形正方形B的面积是的面积是 个单个单 位面积位面积. 9 9 9 思考思考1 用用什么办法能求出图什么办法能求出图1中中A, , B的面积的面积? ? 数格子数格子 图图1 探究新知探究新知 1 1.
5、1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 分割成若干个直角边为整数的三角形分割成若干个直角边为整数的三角形 （单位面积单位面积） 思考思考2 怎样怎样求出求出C的面积的面积? A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图1 探究新知探究新知 S正方形 正方形C = = 41 2 33 = =18 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 练一练练一练 通过通过对图对图1的学习，的学习， 求出图求出图2正方形正方形A, ,B, ,C中面积中面积 各是多少各是多少? ? A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表
6、一个单位面积） 图图 1 图图 2 探究新知探究新知 解：解：正方形正方形A的面积的面积是是4个个 单位单位面积面积，正方形正方形B的的面积面积 是是4个个单位单位面积面积，正方形正方形C 的的面积面积是是8个个单位面积单位面积. . 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / （1）观察图）观察图3、图、图4： （2）填表（每个小正方形的面积为单位）填表（每个小正方形的面积为单位1）：）： A的面积的面积 B的面积的面积 C的面积的面积 图图3 图图4 4 9 16 9 ？ ？ A B C C B A 图图3 图图4 做一做做一做 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾
7、股定理/ / （3）你是怎样得到）你是怎样得到正方形正方形C的面积的？与同伴交流的面积的？与同伴交流. . 图图3 A B C C B A 图图4 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / “补”补” “割”割” “拼”拼” 分分割割为四个直角为四个直角 三角形和一个小三角形和一个小 正方形正方形 补补成大正方形，成大正方形， 用大正方形的面用大正方形的面 积减去四个直角积减去四个直角 三角形的面积三角形的面积 将几个小块将几个小块拼拼成一个正成一个正 方形，如图中两块红色方形，如图中两块红色 （或绿色）可拼成一个（或绿色）可拼成一个 小正方形小正方形 探究新知探究新
8、知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / （4）分析填表数据）分析填表数据 A B C C B A 图图4 图图3 探究新知探究新知 A的面积的面积 B的面积的面积 C的面积的面积 图图3 图图4 4 9 16 9 13 25 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 结论：结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于等于以斜边为边长的正方形的面积以斜边为边长的正方形的面积. . 问题问题2 通过通过以上观察分析，你能发现三个正方形以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的的 面积之间有什么关系吗？面积之间有什
9、么关系吗？ 探究新知探究新知 SA + + SB = = SC 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 做一做做一做 如果如果直角三角形的两直直角三角形的两直 角边分别为角边分别为1.6个单位长度和个单位长度和2.4 个单位长度，上面猜想的数量个单位长度，上面猜想的数量 关系还成立吗？说明你的理由关系还成立吗？说明你的理由. . 2.4 1.6 ? ? 问题问题4 你你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 探究新知探究新知 a2 + + b2 = = c2 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 勾股定理勾股定理 如果直角
10、三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b, ,斜边为斜边为c，那么，那么 即即 直角三角形直角三角形两直角边的两直角边的平方和平方和等于斜边的等于斜边的平方平方. . a b c 表示为：表示为：RtABC中，中，C= =90, , 则 则a2 + + b2 = = c2. . 在西方又称毕在西方又称毕 达哥拉斯定理达哥拉斯定理 探究新知探究新知 a2 + + b2 = = c2 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 勾勾 较短的直角边较短的直角边称为称为 ， 股股 较长的直角边较长的直角边称为称为 ， 直角三角形中直角三角形中 弦弦 斜边斜边称为称为 . . 勾勾2
11、 + + 股股2 = = 弦弦2 股股 勾勾 弦弦 在在中国古代，中国古代， 人们把弯曲成直角人们把弯曲成直角 的手臂的上半部分的手臂的上半部分 称为称为“勾勾”，下半下半 部分部分称为“称为“股股”. . 趣味小常识趣味小常识 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 2002年在北京召开年在北京召开 了第了第24届国际数学家大届国际数学家大 会，它是最高水平的全会，它是最高水平的全 球性数学科学学术会议，球性数学科学学术会议， 被誉为数学界的“奥运被誉为数学界的“奥运 会”，这就是本届大会会”，这就是本届大会 会徽的会徽的图案图案. 探究新知探究新知 1 1.1
12、.1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 素养考点素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长利用勾股定理求直角三角形的边长 方法点拨：方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边已知直角三角形的两边求第三边, ,关键关键是是 先先明确明确所求的边是所求的边是直角边直角边还是还是斜边斜边, ,再应用再应用勾股定理勾股定理. . 例例1 如果如果直角三角形两直角边长分别为直角三角形两直角边长分别为 BC= =5厘米厘米, ,AC= =12厘米厘米, , 求斜边求斜边AB的长度的长度. . a b c A C B 解：解：在在RtABC中中根据根据勾股定理勾股定理, , AC + +BC = =AB ， A
13、C= =12，BC= =5 所以所以12 + +5 = =AB ， 所以所以AB = =12 + +5 = =169， 所以所以AB= =13厘米厘米. . 答：答：斜边斜边AB的长度为的长度为13厘米厘米. . 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 变式训练变式训练 求求下列图形下列图形中未知中未知边的长度：边的长度： 所以所以x= =8. . 解解：由由勾股定理得：勾股定理得： 62+ +x2= =102 , , 所以所以x2= =64, , 巩固练习巩固练习 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 1. .寻求寻求图形面积之间的关系图形面积之间的关
14、系 素养考点素养考点 2 利用勾股定理求面积问题利用勾股定理求面积问题 方法点拨方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形 或半圆，都能形成简单的或半圆，都能形成简单的勾股图勾股图，对于勾股图都有相同的结论，对于勾股图都有相同的结论， 即即S1= =S2+ +S3（S1是是以斜边为基础向外作的图形的面积，以斜边为基础向外作的图形的面积，S2和和S3分分 别别是以直角边基础向外所作图形的是以直角边基础向外所作图形的面积面积. . 例例2 如如图，以图，以RtABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的三边为边，分别向外作正方形，它们 的的
15、面积分别面积分别为为S1、S2、S3，若若S1+ +S2+ +S3= =16，则则S1的值为（的值为（ ） A7 B8 C9 D10 探究新知探究新知 B 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 例例3 如如图，在图，在ABC中，中，AB= =AC= =13，BC= =10，求，求ABC的面积的面积 方法点拨方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造构造 直角三角形直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积求面积. . 2. .求求非直角三角形的面积非直角三角形的面积 解：解：作
16、作ADBC于于D， 在在等腰等腰ABC中中，因为因为AB= =AC= =13，BC= =10， 所以所以BD= =CD= =5， 所以所以AD2= =AB2- -BD2 = =132- -52 = =144，AD= =12 所以所以S ABC= =1 2 BCAD= = 1 2 1012= =60 探究新知探究新知 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 如如图，图，ABC中，中，ACB= =90，以它的各边为边向外作，以它的各边为边向外作 三个正方形，面积分别为三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知，已知S1= =6，S2= =8，则则 S3= = 14 变式训练变式训练 巩
17、固练习巩固练习 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 连接中考连接中考 1. 在在直角三角形中，若勾为直角三角形中，若勾为3，股为 ，股为4，则弦为（，则弦为（ ） A5 B6 C7 D 8 2. 如如图，点图，点E在正方形在正方形ABCD的边的边AB上，若上，若EB= =1，EC= =2， 那么正方形那么正方形ABCD的面积为的面积为 3 A 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 A B C D 1.判断题判断题 （1）ABC的两边的两边AB= =5, ,AC= =12, ,则则BC= =13. ( ( ) )
18、（2）ABC的的a= =6, ,b= =8, ,则则c= =10. ( ( ) ) 2.在在ABC中中, , C= =90, ,AC= =6, ,CB= =8, ,则则ABC面积为面积为 _, ,斜边为上的高为斜边为上的高为_. 24 4.8 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 15 cm 17 cm 64 cm 课堂检测课堂检测 3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.求出图中直角三角形第三边的长度求
19、出图中直角三角形第三边的长度. . 4 4 3 3 1212 x 课堂检测课堂检测 所以所以x= =8 . . 解解：由由勾股定理得：勾股定理得： 152+ +x2= =172 , , 所以所以x2= =64 , , 所以所以x= =13 . . 解解：由由勾股定理得：勾股定理得： x2= = 32 + +42+ +152 , , 所以所以x2= =169 , , 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.已知已知ACB= =90,CDAB, ,AC= =3, ,BC= =4. 求求CD的长的长. . A D B C 3 4 课堂检测课堂检测
20、解解：因为因为ACB= =90，AC= =3，BC= =4， 所以所以AB2= =AC2+ +BC2= =25，即即AB= =5. 根据根据三角形面积公式，三角形面积公式， ACBC= = ABCD. 1 2 1 2 所以所以CD= = . 15 2 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1、S2、S3, ,则则S1、S2、S3的关系是的关系是（ ） A. S1+ +S2= =S3 B. S12+ +S22= =S32 C. S1+ +S
21、2 S3 D. S1+ +S2 S3 A 课堂检测课堂检测 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 如如图，已知图，已知ABC是腰长为是腰长为1的等腰直角三的等腰直角三 角形，以角形，以RtABC的斜边的斜边AC为直角边，画为直角边，画 第第2个等腰个等腰RtACD，再以，再以RtACD的斜边的斜边 AD为直角边，画第为直角边，画第3个等腰个等腰RtADE， 依此类推，则第依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜个等腰直角三角形的斜 边长是边长是_ （ 2）2018 课堂检测课堂检测 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 勾 股 定 理 的 探 索 勾 股 定 理 的 探 索 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a，b， 斜边长为斜边长为 c ，那么，那么a2+ +b2= =c2 利用利用勾股定理勾股定理进行计算进行计算 课堂小结课堂小结 1 1.1 .1 探索探索勾股定理勾股定理/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业