1、2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 2 24.2 4.2 点点和圆、直线和和圆、直线和圆的圆的 位置关系位置关系 24.2.1 24.2.1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 我国射击运动员在奥运会我国射击运动员在奥运会 上获金牌，为我国赢得荣誉上获金牌，为我国赢得荣誉. 如图是射击靶的示意图，它是如图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半由许多同心圆（圆心相同，半 径不相同）构成的，你知道击径不相同
2、）构成的，你知道击 中靶上不同位置的成绩是如何中靶上不同位置的成绩是如何 计算的吗？计算的吗？ 解决这个问题解决这个问题 要研究要研究点和圆的点和圆的 位置关系位置关系 导入新知导入新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 1. 理解并掌握理解并掌握点和圆的三种位置关系点和圆的三种位置关系. 2. 理解理解不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆 并掌握作图方法并掌握作图方法. 4. 了解反证法的证明思想了解反证法的证明思想. 素养目标素养
3、目标 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 问题问题1：观察观察下图中下图中点和圆的位置关系有哪几种？点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . .A . 点与圆的位置关系有三种点与圆的位置关系有三种： 点在点在圆内圆内，点在点在圆上圆上，点在点在圆外圆外. . 探究新知探究新知 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 知识点 1 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 问题问题2：设点到圆心的距离为设点到圆心的距离为d,圆的半径为圆的半径为r，量一量在，量一量在点和圆点和圆 三种不
4、同位置关系时，三种不同位置关系时，d与与r有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？ 点点P在在O内内 点点P在在O上上 点点P在在O外外 d d d r P d P r d P r d r r = r 反过来，由反过来，由d与与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / r P d P r d P r d 点点P在在O内内 dr 数形结合：数形结合： 位置关系 位置关系 数量关系数量关系 探究新知探究新知 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 2 24 4.
5、.2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 例例1 如如图，已知矩形图，已知矩形ABCD的边的边AB=3，AD=4. （1）以）以A为圆心，为圆心，4为半径作为半径作A，则点，则点B、C、D与与 A的位置关系如何？的位置关系如何？ 解：解：AD=4=r，故，故D点在点在A上上 AB=3r，故，故C点在点在A外外 A BC D 判定点和圆的位置关系判定点和圆的位置关系 素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / （2）若以）若以A点为圆心作点为圆心作A，使，使B、C、D三点中至少有一点三点
6、中至少有一点 在圆内，且至少有一点在圆外，求在圆内，且至少有一点在圆外，求A的半径的半径r的取值范围？的取值范围？ （直接写出答案）（直接写出答案） 3r5 A BC D 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 1. O的半径为的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为三点到圆心的距离分别为 8cm、10cm、12cm，则点，则点A、B、C与与O的位置关系是：的位置关系是： 点点A在在 ；点；点B在在 ；点；点C在在 . 圆内圆内 圆上圆上 圆外圆外 2. 圆心为圆心为O的两个同心圆，半径分别为的两个同心圆，半径分别为1和
7、和2，若，若 OP= ，则点，则点P在（在（ ） A.大圆内大圆内 B.小圆内小圆内 C.小圆外小圆外 D.大圆内，小圆外大圆内，小圆外 3 o D 巩固练习巩固练习 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 问题问题1 如何如何过一个点过一个点A作一个圆？作一个圆？ 过点过点A可以作多少个圆？可以作多少个圆？ 以不与以不与A点重合的任意一点重合的任意一 点为圆心，以这个点到点为圆心，以这个点到A 点的距离为半径画圆即可；点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆可作无数个圆. A 探究新知探究新知 过不共线三点作圆过不共线三点作圆 知识点 2 2 24
8、 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 问题问题2 如何如何过两点过两点A、B作一个圆作一个圆？ 过两点可以作多少个圆过两点可以作多少个圆？ A B 作线段作线段AB的垂直平分线，以其的垂直平分线，以其 上任意一点为圆心，以这点和点上任意一点为圆心，以这点和点 A或或B的距离为半径画圆即可的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆可作无数个圆. 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 问题问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ A B C G F o
9、 经过经过B,C两点的圆的圆心在线段两点的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条 垂直平分线的交点O的位置. 经过经过A,B两点的圆的圆心在线段两点的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上. 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 有且只有 位置关系 定理： 不在同一直线上的三个点 确定一个圆. A B C G F o 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 例例2 已知：不在同一直线上的三点已知：不在同
10、一直线上的三点A、B、C. 求作：求作： O,使它经过点使它经过点A、B、C. 作法：作法：1. 连结连结AB，作线段作线段AB的垂的垂 直平分线直平分线MN； 2. 连接连接AC，作线段，作线段AC的垂直平分的垂直平分 线线EF，交，交MN于点于点O； 3. 以以O为圆心，为圆心，OB为半径作为半径作圆圆. 所以所以O就是所求作的圆就是所求作的圆. O N M F E A B C 利用尺规法作圆利用尺规法作圆 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 问题问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原现
11、在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原 了吗？了吗？ 方法方法: 1. 在圆弧上任取三点在圆弧上任取三点A、B、C; 2. 作线段作线段AB、BC的垂直平分线的垂直平分线, 其交点其交点O即为圆心即为圆心; 3. 以点以点O为圆心，为圆心，OC长为半径长为半径 作圆作圆. O即为所求即为所求. A B C O 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 3. 如图，如图，CD所在的直线垂直平分线段所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样，怎样用这样 的工具找到圆形工件的圆心的工具找到圆形工件的圆心 D A B C O A、B两点在圆
12、上，所以圆心必与两点在圆上，所以圆心必与A、B两两 点的距离相等，点的距离相等， 又又和一条线段的两个端点距离相等的点在和一条线段的两个端点距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上，这条线段的垂直平分线上， 圆心在圆心在CD所在的直线上所在的直线上，因此可以做任意两条直，因此可以做任意两条直 径，它们的交点为圆心径，它们的交点为圆心. 巩固练习巩固练习 解解: : 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 已知已知ABC，用直尺与圆规作出过，用直尺与圆规作出过A、B、C三三 点的圆点的圆. A B C O 探究新知探究新知 三角形的外接圆及外心三角形的
13、外接圆及外心 知识点 3 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做 三角形的外接圆三角形的外接圆. O叫做ABC的_， ABC叫做O的_. 到三角形三个顶点的距离相等到三角形三个顶点的距离相等. . 三角形的外心：三角形的外心： 定义定义： 外接圆 内接三角形 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点， 叫做三角形的叫做三角形的外心外心. . 作图作图： 三角形三边中垂线的交点三角形三边中垂线的交点. . 性质性
14、质： O A B C 要 点 归 纳 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 【练一练练一练】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确. (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆任意的一个三角形一定有一个外接圆.( ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形任意一个圆有且只有一个内接三角形.( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆经过三点一定可以确定一个圆. ( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( ) 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、
15、直线和圆的位置关系/ / 画一画：画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位 置关系置关系. . 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C O A B C C A B O O 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 例例3 3 如图如图，将，将AOB置于平面直角坐标系中，置于平面直角坐标系中，
16、O为原点，为原点， ABO60，若，若AOB的外接圆与的外接圆与y轴交于点轴交于点D(0，3) (1)求求DAO的度数的度数； (2)求点求点A的坐标和的坐标和AOB外接圆的面积外接圆的面积 解：解：(1)ADOABO60， DOA90， DAO30； 圆与平面直角坐标系相结合的问题圆与平面直角坐标系相结合的问题 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / (2)求点求点A的坐标和的坐标和AOB外接圆的面积外接圆的面积 点点D的坐标是的坐标是(0，3)，OD3. 在在RtAOD中，中，DOA90 ， AD为直径为
17、直径. 又又DAO=30，AD2OD6， OA 因此因此圆的半径为圆的半径为3 AOB外接圆的面积是外接圆的面积是9. 解题妙招解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外确定外 接圆的直径接圆的直径( (或半径或半径) )长度长度 探究新知探究新知 3 3 点点A的坐标的坐标( ， 0) 3 3 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 4. 如图如图,已知直角坐标系中已知直角坐标系中,A(0,4), B(4,4), C(6,2). (1)写出经过写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心三点的圆弧所在圆的
18、圆心M的坐标的坐标. (2)判断点判断点D(5,-2)和圆和圆M的位置关系的位置关系. 巩固练习巩固练习 解：解：(1)在方格纸中，线段在方格纸中，线段AB和和BC的垂直的垂直 平分线相交于点平分线相交于点(2，0)，所以圆心所以圆心M的坐的坐 标为标为(2，0). (2)圆的半径圆的半径 线段线段DM ,所以点所以点D在圆在圆M内内. 22 AM242 5. 22 5220132 5 ， 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 例例4 如图，在如图，在ABC中，中，O是它的外心，是它的外心，BC24cm，O到到 BC的距离是的距离是5cm，求，求
19、ABC的外接圆的半径的外接圆的半径 解：解：连接连接OB，过点，过点O作作ODBC. D 则则OD5cm， 1 12cm. 2 BDBC 在在RtOBD中中 22 13cm.OBODBD 即即ABC的外接圆的半径为的外接圆的半径为13cm. 考查三角形的外接圆的有关知识考查三角形的外接圆的有关知识 探究新知探究新知 素养考点素养考点 4 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 5. 在在RtABC中中,C=90,AC=6 cm, BC=8cm,则它的外心与顶点则它的外心与顶点C的距离为的距离为( ( ) ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm
20、 D.8 cm 巩固练习巩固练习 A 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 思考：思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ l1 l2 A B C P 探究新知探究新知 反证法反证法 知识点 4 如图，假设过同一条直线如图，假设过同一条直线l上三点上三点A、B、C可以作可以作 一个圆，设这个圆的圆心为一个圆，设这个圆的圆心为P. 那么点那么点P既在线段既在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l1上，又在线段上，又在线段 BC的垂直平分线的垂直平分线l2上，即点上，即点P为为l1与与l2的交点的交点. 而而
21、l1l，l2l这与我们以前学过的“过一点有且这与我们以前学过的“过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 所以过同一条直线上的三点不能作圆所以过同一条直线上的三点不能作圆 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 反证法的定义反证法的定义 先先假设假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾 ( (常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾) )，由矛盾判定假，由矛盾判定假 设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做设不正确，从而得到原
22、命题成立，这种方法叫做反证法反证法 反证法的一般步骤反证法的一般步骤 假设假设命题的命题的结论不成立结论不成立（提出与结论相反的假设）（提出与结论相反的假设）; ; 从这个假设出发，经过推理，从这个假设出发，经过推理，得出矛盾得出矛盾; ; 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确结论正确. . 探究新知探究新知 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 例例5 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60. 已知：已知：ABC 求证：求证：ABC中至少有一个
23、内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于60. 证明：证明：假设假设 ， 则则 。 因此因此 这与这与 矛盾假设不成立矛盾假设不成立 因此因此 ABC中没有一个内角小于或等于中没有一个内角小于或等于60 A60,B60,C60 三角形的内角和为三角形的内角和为180度度 ABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于60. A+B+C180 反证法的应用反证法的应用 探究新知探究新知 素养考点素养考点 5 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 6. 利用反证法证明利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个在直角三角形中，至少有一个 锐
24、角不大于锐角不大于45”时，应先假设（时，应先假设（ ） A.有一个锐角小于有一个锐角小于45 B.每一个锐角都小于每一个锐角都小于45 C.有一个锐角大于有一个锐角大于45 D.每一锐角都大于每一锐角都大于45 巩固练习巩固练习 D 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 1.已知已知ABC的三边的三边a，b，c，满足，满足a+b2+|c6|+28= 4 +10b，则，则ABC的外接圆半径的外接圆半径= 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 25 8 1 2.如如图，图，O是是ABC的外接圆，的外接圆，A=45， BC=4，则，则O的直
25、径为的直径为 4 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法? A B C O 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 2. 正方形正方形ABCD的边长为的边长为2cm，以，以A为圆心为圆心2cm为半径作为半径作A， 则点则点B在在A ；点；点C在在A ；点；点D在在A . 上上 上上 外外 3.O的半径的半径r为为5cm，O为原点，点为原点，点P的坐标
26、为（的坐标为（3,4），则），则 点点P与与O的位置关系为的位置关系为 （ ） A.在在O内内 B.在在O上上 C.在在O外外 D.在在O上或上或O外外 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 4.已知：在已知：在RtABC中，中，C=90，AC=6，BC=8，则它，则它 的外接圆半径的外接圆半径= . 5 5.如图，如图，ABC内接于内接于O，若，若OAB20，则，则C的度的度 数是数是_ 70 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .2 2 点和圆、直
27、线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 1. 如图，在如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三三 点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） M R Q A B C P A点点P B点点Q C点点R D点点M B 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 1 2cm 2. 画出由所有到已知点的距离大于或等于画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且并且 小于或等于小于或等于3cm的点组成的图形的点组成的图形. O 课堂检测
28、课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘 要确定其圆心和半径要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 解：解：(1)在圆形瓷盘的边缘选在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；三点； (2)连接连接AB、BC； (3)分别作出分别作出AB、BC的垂直平分线；的垂直平分线； (4)两垂直平分线的交点两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心就是瓷盘的圆心. A B C 课堂检测课
29、堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 点 与 圆 的点 与 圆 的 位 置 关 系位 置 关 系 点 在 圆 外 点 在 圆 上 点 在 圆 内 d r d = r d r 作作 圆圆 过一点可以作过一点可以作无数个无数个圆圆 过两点可以作过两点可以作无数个无数个圆圆 定理：定理： 过不在同一直线上的三个点过不在同一直线上的三个点确定一个确定一个圆圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆 点点P在在圆环圆环内内 rdR R r P 课堂小结课堂小结 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 一个三角形的外接一个三角形的外接 圆是唯一的圆是唯一的. . 反 证 法 反 证 法 定义定义 步骤步骤 假 设假 设 ， 推 理推 理 ， 得 证得 证 三 角 形 的 外 心 三 角 形 的 外 心 定义定义 性质性质 在各类三角形在各类三角形 中的位置中的位置 课堂小结课堂小结 2 24 4. .2 2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习