1、2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 24.1 24.1 圆的有关性质 24.1.4 24.1.4 圆周角 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 问题问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心顶点在圆心的角叫圆心角的角叫圆心角, , BOC. 问题问题2 如图，如图，BAC的顶点和边有哪些特点的顶点和边有哪些特点? A BAC的顶点在的顶点在O上，角的两边分别交上，角的两边分别交O于于 B、C两点两点. 导入新知导入新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有
2、关性质/ / 1. 理解理解圆周角圆周角的概念，的概念，会叙述并证明会叙述并证明圆周角定理圆周角定理. 3. 理解掌握理解掌握圆周角定理的推论圆周角定理的推论及其证明过程及其证明过程. 2. 掌握圆周角与圆心角的关系并掌握圆周角与圆心角的关系并能运用能运用圆周角定圆周角定 理理解决简单的几何问题解决简单的几何问题. 4. 掌握掌握圆内接多边形圆内接多边形的概念的概念及及圆内圆内接四边形接四边形的的 性质并能运用其性质进行计算性质并能运用其性质进行计算. 素养目标素养目标 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做顶点在圆上，并且两边都与圆相
3、交的角叫做圆周角圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 探究新知探究新知 圆周角的定义圆周角的定义 知识点 1 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / C O A B C O B C O B A A C O A B C O B C O B A A 练一练练一练：下列各图中的下列各图中的BAC是否为圆周角是否为圆周角 并简述理由并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 如图，连接如图，连接BO、CO，得圆心角，得圆心角BOC.试猜想试猜想
4、 BAC与与BOC存在怎样的数量关系存在怎样的数量关系. 1 2 BACBOC 探究新知探究新知 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 知识点 2 测量与猜想测量与猜想 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 圆心圆心O 在在 BAC 的的 内部内部 圆心圆心O在在BAC 的的一边上一边上 圆心圆心O在在BAC 的的外部外部 探究新知探究新知 推导与论证推导与论证 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 圆心圆心O在在BAC的一边上（特殊情形）的一边上（特殊情形） OA=OC A= C BOC= A+ C 1 2 BACBOC 证明：证明： 探究新知探究新知
5、 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / O A B C D 圆心圆心O在在BAC的内部的内部 11 () 22 BAC BADDAC BODDOCBOC 证明：证明：连接连接AO并延长交并延长交O于于D. 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / B C O A D 圆心圆心O在在BAC的外部的外部 证明：证明：连接连接AO并延长交并延长交O于于点点D. 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 探究新知探究新知 圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角 的一半； 2 24 4. .1
6、1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 问题问题1 如图，如图，OB，OC都是都是O的半径，点的半径，点A ,D 是上是上 任意两点，连接任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与与BDC 相等吗？请说明理由相等吗？请说明理由. D 1 , 2 BACBOC 1 , 2 BDCBOC BAC=BDC 答：答：相等相等. . 证明：证明：在在O中中， 探究新知探究新知 互动探究互动探究 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / D A B O C E F 问题问题2 如图，若如图，若 A与与B相等吗？相等吗？ ，CDEF ，CDEF 答：答：相等相等 .CODEOF ， 11 2
7、2 ACODBEOF .AB 想一想：想一想：(1)反过来，若反过来，若A=B，那么，那么 成立吗？成立吗？ CDEF (2)若若CD是直径，你能求出是直径，你能求出A的度数吗？的度数吗？ 证明：证明：连接连接OC，OE，OD，OF 成立成立 90 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / D A B O C E F 问题问题3 如图，若如图，若 = , A与与B相等吗？相等吗？ = ， 答：答：相等相等 .CODEOF ， 11 22 ACODBEOF .AB 证明：证明：连接连接OC，OE，OD，OF 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性
8、质圆的有关性质/ / A1 A2 A3 探究新知探究新知 圆周角定理的推论圆周角定理的推论 同弧或等弧所对同弧或等弧所对的的 圆周角相等圆周角相等. . 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 试一试试一试 如图，点如图，点A、B、C、D在在O上，点上，点A与点与点D在在 点点B、C所在直线的同侧，所在直线的同侧，BAC=35 . (1)BOC= ，理由，理由 是是 ; (2)BDC= ，理由是，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 探究新知探究新知 2 24 4
9、. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 如图，线段如图，线段AB是是O的直径，点的直径，点C是是 O上的任上的任 意一点（除点意一点（除点A、B外），那么，外），那么，ACB就是直径就是直径AB 所对的圆周角，想一想，所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？会是怎样的角？ O A C B 解解：OA=OB=OC， AOC、BOC都是等腰三角形都是等腰三角形. OAC=OCA，OBC=OCB. 又又 OAC+OBC+ACB=180. ACB=OCA+OCB=1802=90. 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 探究新知探究新知 圆周角和直径的关系圆
10、周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角是半圆或直径所对的圆周角是直角直角， 90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径. 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例1 如图，如图，AB是是O的直径，的直径，A=80.求求ABC的的 大小大小. O C A B 解：解： AB是是O的直径的直径， ACB=90 ABC=180- -A- -ACB =180- -90- -80=10. 利用圆周角定理及推论求角的度数利用圆周角定理及推论求角的度数 素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1. 如图，如图，AB是是O
11、的直径，的直径，A10， 则则ABC_ O C BA 巩固练习巩固练习 80 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例2 如图，分别求出图中如图，分别求出图中x的大小的大小. 60 x 30 20 x 解：解：(1)同弧所对圆周角相等同弧所对圆周角相等，x=60. A D B E C (2)连接连接BF， F 同弧所对圆周角相等同弧所对圆周角相等， ABF=D=20，FBC=E=30. x=ABF+FBC=50. 60 x A B D C 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2. 如图如图,正方形正方形ABCD的顶点都在的顶点都在O
12、上上,P是弧是弧DC 上的一点上的一点,则则BPC=_. 解析：解析：连接连接BD,则则BD是直径是直径, BCD是等腰直角三角形是等腰直角三角形, BDC=45,BPC=BDC=45. 巩固练习巩固练习 45 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例3 如如图，图，O的直径的直径AC为为10cm，弦，弦AD为为6cm. （1）求）求DC的长的长； （2）若）若ADC的平分线交的平分线交O于于B, 求求AB、BC的长的长 B 解解：( (1) )AC是直径是直径， ADC=90. 在在RtADC中中， 2222 1068;DCACAD 利用圆周角定理及推论进行计算及证明线
13、段相等利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 在在RtABC中中，AB2+BC2=AC2， ( (2) ) AC是直径是直径, ABC=90. BD平分平分ADC, ADB=CDB. 又又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB, AB=BC. 22 105 2(cm). 22 ABBCAC B 解题妙招解题妙招 在圆周角问题中，若题在圆周角问题中，若题 干中出现“干中出现“直径直径”这个”这个 条件，则找直径所对的条件，则找直径所对的 圆周角，通过圆周角，通过构造直角构造直角 三
14、角形三角形来解决。来解决。 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3. 如图，如图，BD是是O的直径，的直径，CBD30， 则则A的度数为的度数为( ( ) ) A30 B45 C60 D75 C 巩固练习巩固练习 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 如果如果一个多边形所有一个多边形所有顶点都在同一个圆上顶点都在同一个圆上，这个多边形，这个多边形 叫做叫做圆内接多边形圆内接多边形，这个圆叫做这个，这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆. . 探究新知探究新知 圆内接四边形圆内接四边形 知识点 3 2 24 4. .1 1 圆的有关
15、性质圆的有关性质/ / 如图，四边形如图，四边形ABCD为为O的内接四边形，的内接四边形，O 为四边形为四边形ABCD的外接圆的外接圆. 猜想：猜想：A与与C, B与与D之间之间 的关系为：的关系为： A+ C=180 ， B+ D=180 想一想：想一想：如何证明你的猜想呢？如何证明你的猜想呢？ 探究新知探究新知 探究性质探究性质 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 弧弧BCD和弧和弧BAD所对的圆心角的和是周角，所对的圆心角的和是周角， AC180， 同理同理BD180， 推论：推论：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补. . 证明：证明： 探究新知探究新知
16、2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / C O D B A 弧弧BCD和弧和弧BAD所对的圆心角的和是周角，所对的圆心角的和是周角， AC180， 同理同理BD180， E BCDDCE180. ADCE. 想一想：想一想：图中图中A与与DCE的大小有何关系？的大小有何关系？ 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 推论：推论：圆的内接四边形的任何一个圆的内接四边形的任何一个 外角都等于它的内对角外角都等于它的内对角. . C O D B A E 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例4 如如图，图
17、，AB为为O的直径，的直径，CFAB于于E，交，交O 于于D，AF交交O于于G. 求证：求证：FGDADC. 证明：证明：四边形四边形ACDG内接于内接于O， FGDACD. 又又AB为为O的直径，的直径，CFAB于于E， AB垂直平分垂直平分CD， ACAD， ADCACD， FGDADC. 素养考点素养考点3 圆内接四边形性质的应用圆内接四边形性质的应用 素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 4. 如图，在如图，在O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中， BOD120，那么，那么BCD是是( ( ) ) A120 B100 C8
18、0 D60 A 巩固练习巩固练习 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1.如如图，图，O中，弦中，弦BC与半径与半径OA相交于点 相交于点D，连接，连接 AB，OC若若A=60，ADC=85，则，则 C的的 度数是（度数是（ ） A25 B 27.5 C30 D 35 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 D 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2.如如图，点图，点B，C，D在在O上，若上，若 BCD=130， 则则BOD的度数是（的度数是（ ） A50 B60 C80 D100 解析：解析：圆上取一点圆上取一点A，连接，连接AB，AD，
19、点点A、B、C、D在在O上上BCD=130， BAD=50， BOD=100 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 D 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1.判断判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（相等（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也）相等的弦所对的圆周角也相等（相等（ ） （3）同弦所对的圆周角）同弦所对的圆周角相等（相等（ ） 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2.已知已知ABC的三个顶点在的三个顶点在O上上,BAC=50, ABC=47
20、, 则则AOB= B A C O 166 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3. 如图，已知如图，已知BD是是O的直径，的直径，O的弦的弦ACBD于于 点点E，若，若AOD=60，则，则DBC的度数为（的度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60 A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / A B C D O 4.如图，四边形如图，四边形ABCD内接于内接于O,如如BOD=130 则则BCD的度数是（的度数是（ ） A. 115 B
21、. 130 C. 65 D. 50 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / A O B C ACB=2BAC 证明：证明： 如图，如图，OA，OB，OC都是都是O的半径，的半径，AOB= 2BOC. 求证：求证：ACB=2BAC. QACBAOB 1 , 2 1 , 2 BACBOC AOB=2BOC， 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是 否遇到暗礁，如图，否
22、遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经表示灯塔，暗礁分布在经 过过A、B两点的一个圆形区域内，优弧两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点上任一点C 都是有触礁危险的临界点，都是有触礁危险的临界点，ACB 就是“危险角”，当船位于安全区就是“危险角”，当船位于安全区 域时，域时，与“危险角”有怎样的与“危险角”有怎样的 大小关系？大小关系？ 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 解：解：当船位于安全区域时，即船位当船位于安全区域时，即船位 于暗礁区域外（即于暗礁区域外（即O外）外） ，与两，与两 个灯塔的夹角个灯塔
23、的夹角小于“危险角”小于“危险角”. . 即：在即：在O中，中，ACB=AEB 在在PEB中，中，AEB= ACB= 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 圆心角圆心角 类比 圆周角圆周角 圆周角定义圆周角定义 圆周角定理圆周角定理 圆周角定理的圆周角定理的 推论推论 在同圆或等圆中，同弧在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相或等弧所对的圆周角相 等，都等于该弧所对的等，都等于该弧所对的 圆心角的一半；相等的圆心角的一半；相等的 圆周角所对的弧相等圆周角所对的弧相等. 1.90的圆周角的圆周角 所对的弦是直径；所对的弦是直径； 2.圆内接四边形圆内接四边形 的对角互补的对角互补. 1.顶点在圆上，顶点在圆上， 2.两边都与圆相两边都与圆相 交的角（二者交的角（二者 必须同时具备）必须同时具备） 圆周角与直圆周角与直 径径的的关系关系 半圆或直径半圆或直径 所对的圆周所对的圆周 角是直角角是直角. 课堂小结课堂小结 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习